問君哪得清如渠，為有“課本”活水來

桂曉宇

摘 要：心理學(xué)研究表明，人對他第一次接觸的事物是最敏感，也是印象最深刻的. 教學(xué)成功與否，重要的一條是看首次接觸問題時教師如何引導(dǎo)學(xué)生去探究和學(xué)習(xí)，而概念是學(xué)生開始學(xué)習(xí)一個新知識的起步. 作為教師在進行概念教學(xué)時應(yīng)該格外精心準備，切忌草草結(jié)束教學(xué). 因此，在新課標下高中數(shù)學(xué)概念課的教學(xué)，要堅持以人為本的教育理念，尊重學(xué)生的主體性，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)概念的興趣；讓學(xué)生體會概念產(chǎn)生的源頭，親歷概念形成的過程；自主抽象概括形成概念，自覺應(yīng)用概念解決問題.

關(guān)鍵詞：概念教學(xué)；概念引入；概念理解；學(xué)習(xí)策略

[?] 問題提出

作為高三的任課老師，始終有這么一個信念：高三學(xué)生，無論從認知規(guī)律來看，還是從他們的知識儲備來分析，對一些基本概念、基礎(chǔ)知識的理解應(yīng)該比較深刻，但最近兩個題目的低級錯誤的產(chǎn)生，引起筆者對我們在高一、高二的概念教學(xué)中的一些思考. 讓我們來看看這兩個題目：

案例1 已知a∈R，設(shè)集合A={x

x-1≤2a-a2-2}，則A的子集個數(shù)共有（ ）

A. 0個 B. 1個

C. 2個 D. 無數(shù)個

解析：正確答案為B.

學(xué)生的誤區(qū)：以為空集就是空的，沒有任何東西，所以錯誤答案為A.

案例2 已知a∈R，函數(shù)f（x）=x2（x-a），當(dāng)a=3時，求f（x）的零點.

解析：正確答案為：x=0和x=3.

學(xué)生的誤區(qū)：①從字面理解零點就是一個點，所以答案為（0，0），（3，0）.

②把函數(shù)零點跟導(dǎo)數(shù)的零點混為一談，錯誤解法為：f ′（x）=3x2-6x=0，所以零點為x=0和x=2.

[?] 高中數(shù)學(xué)概念的重要地位

《普通高中數(shù)學(xué)課程標準》（實驗）（以下簡稱新課標）指出：數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)加強對基本概念和基本思想的理解和掌握，對一些核心概念和基本思想要貫穿高中數(shù)學(xué)教學(xué)的始終，幫助學(xué)生逐步加深理解. 因此，數(shù)學(xué)概念的教學(xué)具有十分重要的基礎(chǔ)性地位.

[?] 高中數(shù)學(xué)概念教學(xué)之怪現(xiàn)狀

盡管教學(xué)大綱和新課標都強調(diào)了概念的重要性和基礎(chǔ)性，但現(xiàn)在許多教師仍然存在著“重解題技巧教學(xué)，輕數(shù)學(xué)概念教學(xué)”的傾向，有的教師還刻意追求概念教學(xué)的最小化和習(xí)題教學(xué)的最大化，并美其名曰“快節(jié)奏，大容量”. 實際上是應(yīng)試教育下典型的舍本逐末的錯誤做法；使得許多學(xué)生也出現(xiàn)兩種錯誤的傾向，其一是認為概念學(xué)習(xí)單調(diào)乏味，不去重視它，不求甚解，導(dǎo)致對概念的認識模糊；其二是對基本概念只是死記硬背，沒有透徹理解，只是機械的、零碎的認識. 結(jié)果導(dǎo)致學(xué)生在沒能正確理解數(shù)學(xué)概念，無法形成能力的情況下，匆忙去解題，使得學(xué)生只會模仿老師解決某些典型的題型和掌握某類特定的解法；一旦遇到新的背景、新的題目就束手無策，進一步導(dǎo)致教師和學(xué)生為了提高成績，陷入無底的題海之中.

[?] 新課標下高中數(shù)學(xué)概念課的教學(xué)

（一）重視概念引入的必要性和重要性

1. 概念引入的目的

在概念教學(xué)中，要使學(xué)生明確為什么要引入這個概念？沒有這個概念行不行？這個概念是用來解決什么問題的？只有讓學(xué)生明確了這個概念引入的目的，才能調(diào)動學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性. 例如：為什么要引入“函數(shù)”這個概念？原因在于后面映射概念的學(xué)習(xí). 映射概念具有很強的抽象性，書中給出的定義雖然比較簡潔，似乎也容易掌握. 但往往到學(xué)生具體判斷時，差錯較多. 因此，教這個概念時，應(yīng)注意先從它的上承——對應(yīng)出發(fā)，下延到函數(shù)，只有把這三個概念搞清楚后學(xué)生才能真正掌握.

2. 數(shù)學(xué)概念的引入方法

（1）演示實驗引入概念

數(shù)學(xué)是一門抽象的基礎(chǔ)學(xué)科，所以在實施概念教學(xué)時，演示實驗法往往是一種行之有效的教學(xué)方法，一個生動的演示實驗，可創(chuàng)設(shè)一種良好的數(shù)學(xué)環(huán)境，提供給學(xué)生鮮明具體的感性認識，再通過引導(dǎo)學(xué)生對現(xiàn)象特征的概括形成自己的概念.

案例3 平面幾何中兩條直線的垂直關(guān)系在學(xué)生頭腦中已根深蒂固，如何使他們接受不相交的兩條空間直線也可以垂直這一概念，確實困難. 教師為幫助學(xué)生掌握其本質(zhì)屬性，可設(shè)計這樣的實驗：讓兩個學(xué)生各拿一支筆，先讓它們垂直相交，得到交角為90°，然后把兩支筆拿開（使其不相交），但必須做到平行移動. 由于直線可以平移，所成角度仍舊不變，所以平移后的位置關(guān)系就叫做兩條異面直線垂直，從而給出異面直線垂直的概念：空間兩條直線不相交，且相互所成的角為90°，這樣的位置關(guān)系就叫做異面直線互相垂直.

（2）生活實例引入概念

新課標強調(diào)“數(shù)學(xué)教學(xué)要緊密聯(lián)系學(xué)生的生活實際”. 在數(shù)學(xué)概念的引入上，盡可能地選取學(xué)生日常生活中熟悉的事例，并且注意選取事例不在于數(shù)量的多少，關(guān)鍵是要貼近學(xué)生的認知經(jīng)歷，能夠反映概念的本質(zhì)特征.

案例4 教學(xué)直線和平面垂直的定義之前，先給以下幾個實際問題：（1）教室內(nèi)直立的墻角線和地面的位置關(guān)系是什么？直立于地面的旗桿和地面的位置關(guān)系又是什么？（2）陽光下，旗桿與它在地面上的影子所成的角度是多少？隨著時間的變化，影子的位置會移動，而旗桿與影子所成的角度是否發(fā)生改變呢？旗桿AB與地面上任意一條不過點B 的直線的位置關(guān)系又是什么？所成的角為多少？（3）將書打開直立在桌面上，觀察書脊和桌面上任何直線的位置關(guān)系.由問題（1）使學(xué)生在頭腦中產(chǎn)生直線和平面垂直的初步形象；由問題（2）和（3）使學(xué)生從感性認識逐步上升到理性認識. 根據(jù)這幾個實例，讓學(xué)生歸納，概括出線面垂直的定義.

（3）創(chuàng)設(shè)情境引入概念

教師要善于恰當(dāng)?shù)貏?chuàng)設(shè)趣味性、探索性的問題情境，激發(fā)學(xué)生概念學(xué)習(xí)的興趣，使學(xué)生能夠從問題分析中，歸納和抽象出概念的本質(zhì)特征，這樣形成的概念才容易被學(xué)生理解和接受.

案例5 向量概念的引入，可創(chuàng)設(shè)這樣的問題情境：一只老鼠向西逃竄10米，假如貓向北或向西北方向追去，貓能追上老鼠嗎？用多媒體演示這幅“貓追老鼠”的動畫，這樣引入生動、有趣、自然，能激起學(xué)生學(xué)習(xí)、探討的興趣. 進一步設(shè)問：為什么貓追不上老鼠？將學(xué)生由“好奇”帶入“小惑”的狀態(tài)，接著教師指出：貓只注意到10米這一數(shù)量是無法追上老鼠的，因此必須引進一個新的量——向量，這樣使學(xué)生認識到學(xué)習(xí)向量的必要性. 同時得出貓不僅要多跑10米，而且還要跑對方向才能追上老鼠，這樣讓學(xué)生解“惑”，并且初步接觸向量的兩個本質(zhì)特征：長度和方向，從而引出向量的概念.

（4）從舊概念引入新概念

任何數(shù)學(xué)概念必定有與之相關(guān)的最近概念，因此教學(xué)中要以學(xué)生已掌握了的知識為基礎(chǔ)，從學(xué)生的最近概念出發(fā)，引導(dǎo)學(xué)生探求新舊概念之間的區(qū)別和聯(lián)系. 這樣有助于學(xué)生形成相互聯(lián)系的知識，提高學(xué)生對數(shù)學(xué)知識之間的整體認識.

案例6 “函數(shù)”概念的引入，初中學(xué)生已有的知識是“對于給定區(qū)間上的每一個值x都有唯一的一個值y與之對應(yīng)，則x就是y的函數(shù)”的直觀理解，在此基礎(chǔ)上我們用集合的語言，從映射的觀點出發(fā)來講解函數(shù)的概念.

（二）注重對概念的理解，在教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)思想方法

數(shù)學(xué)概念是為了解決數(shù)學(xué)問題，對概念理解不深刻，解題時就會出現(xiàn)這樣或那樣的錯誤，要正確而深刻地理解一個概念并不是一件容易的事，教師要根據(jù)學(xué)生的知識結(jié)構(gòu)和能力特點，從多方面著手，適當(dāng)?shù)匾龑?dǎo)學(xué)生正確地分析解剖概念，充分認識概念的科學(xué)性，抓住概念的本質(zhì). 因此，教師要充分利用概念課，培養(yǎng)學(xué)生的能力，訓(xùn)練學(xué)生的思維，使學(xué)生認識到數(shù)學(xué)概念，既是進一步學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的理論基礎(chǔ)，又是進行再認識的工具. 為此，我們可以從以下幾個方面努力，加深對概念的理解.

（1）用準確的語言講述概念

教學(xué)過程是教師向?qū)W生傳授知識，培養(yǎng)能力的過程. 也就是教師按照既定教學(xué)目的，通過語言對學(xué)生有組織、有系統(tǒng)的影響過程. 因此，能否使用準確語言進行教學(xué)，特別是對一些概念的闡述，是關(guān)系著能否達到教學(xué)目的的關(guān)鍵. 很多有經(jīng)驗的教師常常用簡練的語言解釋和分析概念，用準確的數(shù)學(xué)語言定義概念. 用詞準確與否會直接影響學(xué)生對概念的正確理解. 由于概念和解釋的詞語是密切關(guān)聯(lián)著的，因此，在有關(guān)概念教學(xué)中，如果我們對解釋概念所用詞的含義講得含混不清，必然會妨礙學(xué)生的正確思考，并且使他們對概念的理解和應(yīng)用受到很大影響.

對于一些不能用實物、模型、圖表等來說明的概念，在堅持用語準確的前提下，應(yīng)盡量用一些生動有趣的語言、合理的比喻，配以恰當(dāng)?shù)氖謩莺托误w語言來幫助學(xué)生形成概念.

（2）用運動、發(fā)展、變化的觀點深化概念

每個概念，都有它各自的確定含義，但隨著事物的發(fā)展，知識的不斷豐富，學(xué)習(xí)的逐步深入，有些概念也不斷的發(fā)展和變化. 概念的確定和發(fā)展變化存在著辯證統(tǒng)一關(guān)系，正確處理好他們的關(guān)系，才能做到確切的形成和使用它.因此，在教學(xué)中通過對概念的限制和概括去揭露概念的本質(zhì)，使學(xué)生認識到概念的確切的定義往往是相對的，在一定條件下，定義并非永遠不變.

教學(xué)是循序漸進的過程，學(xué)生獲得的知識是一點一滴積累起來的，經(jīng)過一段時間的學(xué)習(xí)，教師要善于教給學(xué)生加工整理知識的方法，把有關(guān)知識串成知識鏈，編成網(wǎng)絡(luò)，配以圖示，縱橫聯(lián)系在一起，使學(xué)生獲得的是一個完整的知識整體，從整體中看到部分，從部分中體現(xiàn)整體. 這樣得到的知識才能牢固，學(xué)生學(xué)會了這種方法，書就會越念越薄，而能力卻越來越強.

案例7 不等式的證明千變?nèi)f化，但離不開一個基本性質(zhì)a2≥0（a∈R），一個核心不等式a2+b2≥2ab（a，b∈R），許多不等式都可以從變換這兩條性質(zhì)出發(fā)推證出來.

（三）概念學(xué)習(xí)的策略

概念的學(xué)習(xí)除了教師要有比較科學(xué)合理的教學(xué)方法外，還要求學(xué)生有較好的學(xué)習(xí)概念的策略，即概念的學(xué)習(xí)也要遵循一般的學(xué)習(xí)規(guī)律. 比如

（1）皮亞杰的建構(gòu)主義學(xué)習(xí)理論：皮亞杰認為學(xué)習(xí)從屬于發(fā)展；知覺受制于心理運演；學(xué)習(xí)是一種能動建構(gòu)的過程；偶爾的錯誤也是有意義的學(xué)習(xí)所必需的；同時他還認為否定也是一種有意義的學(xué)習(xí).

（2）布魯納的發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)理論：布魯納認為在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中強調(diào)學(xué)習(xí)過程是相當(dāng)重要的；強調(diào)直覺思維和內(nèi)在動機的激發(fā)；同時他對記憶過程持比較激進的觀點，他認為，人類記憶的首要問題不是儲存，而是提取.

（3）布魯姆的掌握學(xué)習(xí)理論：他認為學(xué)習(xí)程度是學(xué)生實際用于某一學(xué)習(xí)任務(wù)上的時間與掌握該學(xué)習(xí)任務(wù)所需時間的函數(shù)，即學(xué)習(xí)程度f=. 實際用于學(xué)習(xí)的時間量是由三個變量組成的：一是機會，即允許學(xué)習(xí)的時間；二是毅力，即學(xué)生愿意積極從事學(xué)習(xí)的時間；三是能力傾向，即在理想條件下掌握該任務(wù)所需要的時間. 所以要想提高有效學(xué)習(xí)程度，就要想辦法讓實際用于學(xué)習(xí)的時間量越大越好.

[?] 結(jié)束語

學(xué)好數(shù)學(xué)概念是理解數(shù)學(xué)思想，運用數(shù)學(xué)方法，掌握基本技能，提高數(shù)學(xué)能力的前提，教師在數(shù)學(xué)教學(xué)中要轉(zhuǎn)變觀念，使課堂教學(xué)由知識型向能力型轉(zhuǎn)化，切實搞好數(shù)學(xué)概念教學(xué)，充分發(fā)揮數(shù)學(xué)概念教學(xué)的指導(dǎo)作用，全面提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng). 在新課標的指引下，教師要不斷反思自己的教學(xué)，切實抓好概念課的教學(xué)，這是提高教學(xué)效率，減輕學(xué)生負擔(dān)的有效途徑；也是提高教學(xué)質(zhì)量與教學(xué)水平，深化課程改革的必然要求.