談高中數(shù)學(xué)概念的有效教學(xué)

劉正岳

摘 要：學(xué)生對概念的掌握直接影響著數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)與應(yīng)用，應(yīng)用概念教學(xué)能夠有效地提高學(xué)生對于數(shù)學(xué)概念的認(rèn)識，能夠培養(yǎng)學(xué)生正確的思維方式和合理的解決問題的方式方法，并提高學(xué)習(xí)效果，從而能讓學(xué)生真正地掌握高中數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識和技能，為其以后的實(shí)際應(yīng)用打下良好的基礎(chǔ).

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué)；概念教學(xué)；有效

高中數(shù)學(xué)概念的有效教學(xué)，是建立在數(shù)學(xué)概念的有效應(yīng)用基礎(chǔ)之上的. 學(xué)生對概念的掌握直接影響著數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)與應(yīng)用，應(yīng)用概念教學(xué)能夠有效地提高學(xué)生對于數(shù)學(xué)概念的認(rèn)識，能夠培養(yǎng)學(xué)生正確的思維方式和合理地解決問題的方式方法，并提高高中數(shù)學(xué)階段的學(xué)習(xí)效果，從而能讓學(xué)生真正地掌握高中數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識和技能，為其以后的實(shí)際應(yīng)用打下良好的基礎(chǔ). 如果初學(xué)概念時沒有掌握好，那有可能在后續(xù)的很長時間里都會出現(xiàn)負(fù)面的影響. 因此，概念教學(xué)歷來是高中數(shù)學(xué)教學(xué)的重要內(nèi)容之一. 在有效教學(xué)的背景下，高中數(shù)學(xué)教學(xué)可以從概念、規(guī)律、數(shù)學(xué)知識應(yīng)用、實(shí)際問題解決等領(lǐng)域進(jìn)行研究，相應(yīng)的也就有了有效語境下的高中數(shù)學(xué)教學(xué)理解. 值得注意的是，很多時候我們對有效教學(xué)的理解只停留在結(jié)果的有效上，而忽略了概念形成過程中學(xué)生的思維是否有效，因此有必要再對概念的有效教學(xué)作進(jìn)一步分析.

下面本文就對數(shù)學(xué)概念在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的正確引入及其有效教學(xué)措施進(jìn)行一些分析與探討.

[?] 數(shù)學(xué)概念怎樣引入才有效

數(shù)學(xué)概念的有效引入方法很多，其中情境化被公認(rèn)為有效的一種. 問題在于，情境化的策略遠(yuǎn)遠(yuǎn)不是創(chuàng)設(shè)一個簡單的情境那樣簡單，情境創(chuàng)設(shè)中的素材選取整合、情境的呈現(xiàn)、學(xué)生對情境的理解等，需要做細(xì)致的分析與研究.

高中數(shù)學(xué)教學(xué)中每一個概念都有其知識背景，這種背景既有數(shù)學(xué)史的，也有生活情境的，因而在概念導(dǎo)入教學(xué)過程中，可以結(jié)合數(shù)學(xué)概念的現(xiàn)實(shí)模型，創(chuàng)建一些合適的引入情境. 例如，在講解球、圓錐、圓柱的概念時，由于用簡單的平面直觀圖形難以形成真實(shí)的視覺效果，因而可以結(jié)合生活中的實(shí)例，或者借助于幾何畫板動畫展、教具，給學(xué)生以直觀、形象的解釋；還可以應(yīng)用學(xué)生所熟知的交通運(yùn)輸車輪在路面上的影子、管道的斜截口、行星的運(yùn)行軌跡等，幫助學(xué)生理解橢圓的定義. 當(dāng)然，這里要注意的是，不是說弄個球或柱體放到講臺上就是情境，而在于根據(jù)這些實(shí)物將學(xué)生的思維引向數(shù)學(xué)，從數(shù)學(xué)的角度來看這些物體，用數(shù)學(xué)語言來描述這些物體的特點(diǎn)；同時讓學(xué)生尋找數(shù)學(xué)語言的共同特點(diǎn)與關(guān)系，從而為把握一個完整的數(shù)學(xué)概念奠定基礎(chǔ).

與此類似的還有，為了讓學(xué)生理解數(shù)列知識中的遞推思想，我們可以在講解遞推的概念時，使用多米諾骨牌游戲來幫助學(xué)生建立遞推思想的物質(zhì)模型：觀看或想象多米諾骨牌，第一張骨牌倒下，就會聯(lián)動地引起第二、第三、第四及剩余所有骨牌的倒下. 以這樣的物質(zhì)模型去理解遞推的方法模型，學(xué)生就產(chǎn)生了遞推概念，會對遞推在數(shù)學(xué)問題解決中的作用有一個鮮明的理解. 同理，在對于周期性概念進(jìn)行講授的過程中，可以通過列舉生活中常見的周而復(fù)始的現(xiàn)象，加深學(xué)生對于周期性的理解，如可以列舉四季的周期變化、時鐘的周期性運(yùn)作等.

[?] 數(shù)學(xué)概念怎樣講解才有效

對于數(shù)學(xué)概念的精確理解，往往關(guān)系到數(shù)學(xué)公式的正確應(yīng)用. 這種理解往往學(xué)生依據(jù)原有的知識基礎(chǔ)是不夠的，一般情況下我們讓學(xué)生通過自主學(xué)習(xí)去理解一個概念，生成的往往是一種生活化的、經(jīng)驗(yàn)化的理解，離真正的數(shù)學(xué)理解還有一定的距離. 因而，每一個數(shù)學(xué)概念細(xì)節(jié)要點(diǎn)的理解離不開教師的講解，這也是數(shù)學(xué)概念有效教學(xué)的必然選擇. 值得強(qiáng)調(diào)的是，這種講授屬于布魯姆所說的“有意義的講授”，與灌輸是兩個完全的概念. 那么，什么樣的概念解釋才是有意義的講解呢？我們可以通過以下幾個例子來理解.

例如，在“線面垂直”的概念講授過程中，教師在學(xué)生自主理解的基礎(chǔ)上，要帶領(lǐng)學(xué)生仔細(xì)剖析概念中的每一個詞語的應(yīng)用. “平面外的一條直線與平面內(nèi)的任意一條直線垂直，那么這條直線與這個平面垂直”，基于這一表述，我們要引導(dǎo)學(xué)生注重對其中“任意”一詞的分析，讓學(xué)生理解到其意思是指“平面內(nèi)的所有直線”、“平面內(nèi)的每一條直線”，其與“平面內(nèi)的無數(shù)條直線”的意思是不一樣的，但這種不同學(xué)生往往看不出來，因此需要教師必要的講授. 再如，在進(jìn)行函數(shù)周期性的概念教學(xué)中，要指導(dǎo)學(xué)生認(rèn)真分析“定義域內(nèi)的任意一個值x”的含義，它是指函數(shù)定義域內(nèi)的所有的x值. 如果在定義域內(nèi)有一個x0，f（x0+T）≠f（x0），那么T就不是函數(shù)f（x）的周期. 又如，在進(jìn)行“等差數(shù)列”概念的講解過程中，對于“同一個常數(shù)”、“第二項(xiàng)”的理解，就十分重要. 如果不存在“同一個常數(shù)”，例如4、5、7、9這種數(shù)字中，盡管后一項(xiàng)與前一項(xiàng)的差是一個常數(shù)，卻由于不是同一個常數(shù)，而不被列入等差數(shù)列的定義范圍之內(nèi). 類似于這樣的概念教學(xué)，學(xué)生往往能夠自主獲得一些理解，但這些理解往往是經(jīng)驗(yàn)性的、不完整的，甚至是不科學(xué)的，如果教師不加以講授，學(xué)生就無法發(fā)現(xiàn)自己理解的不足，而這會給后面知識的學(xué)習(xí)埋下隱患，故而必須進(jìn)行講授.

另外對于數(shù)學(xué)概念的生成過程，教師也不能只是進(jìn)行照本宣科式的講解，應(yīng)該啟發(fā)學(xué)生對相應(yīng)概念的形成過程進(jìn)行了解，以能夠提高學(xué)生對數(shù)學(xué)概念的感性認(rèn)識，對其理解力和應(yīng)用能力進(jìn)一步提高. 例如，在講授橢圓概念的定義的時候，最好能夠引導(dǎo)學(xué)生得出“F1和F2是定點(diǎn)，M是F1，F(xiàn)2的距離之和等于定長的動點(diǎn)”等一些結(jié)論，那么在學(xué)生得出這些結(jié)論之后，自然也就可以總結(jié)出橢圓的定義. 有興趣的教師不妨做一個比較試驗(yàn)，看講授與不講授會有多大的區(qū)別. 根據(jù)筆者對所聽課的跟蹤觀察，這種差異與影響是相當(dāng)大的，如果在概念學(xué)習(xí)之初就化解這一難題，后面將會少掉許多問題. 我們高中數(shù)學(xué)教學(xué)強(qiáng)調(diào)在學(xué)生學(xué)習(xí)概念之初，就要幫助學(xué)生形成準(zhǔn)確的認(rèn)識，否則后患無窮.

[?] 數(shù)學(xué)概念本質(zhì)怎樣凸顯才有效

在進(jìn)行概念教學(xué)的過程中，往往會產(chǎn)生由于對概念的理解不準(zhǔn)確，而發(fā)生概念的混用現(xiàn)象，從數(shù)學(xué)教學(xué)的角度來看，這是因?yàn)閿?shù)學(xué)概念的本質(zhì)沒有得到凸顯. 針對這種情況，教師可以對同一個概念設(shè)定出幾個不同的問題形式，以舉一反三的思路，加深學(xué)生對于不同的理解方式的應(yīng)用，進(jìn)而有效地把握準(zhǔn)確的概念定義.

例如，在解釋橢圓的定義公式的過程中，有學(xué)生對于a>c這一條件并不十分注重，導(dǎo)致在練習(xí)過程中經(jīng)常出錯. 針對這種情況，教師可以通過設(shè)定三個不同的例子，讓學(xué)生自己加以比較和區(qū)分：

①平面上的動點(diǎn)P到兩個定點(diǎn)（-4，0），（4，0）的距離之和為6，則P 點(diǎn)的運(yùn)動軌跡是什么？

②平面上的動點(diǎn)P到兩個定點(diǎn)（-4，0），（4，0）的距離之和為8，則P 點(diǎn)的運(yùn)動軌跡是什么？

③平面上的動點(diǎn)P到兩個定點(diǎn)（-4，0），（4，0）的距離之和為10，則P 點(diǎn)的運(yùn)動軌跡是什么？

通過分析，可以很容易地得出：①當(dāng)2a<2c時，軌跡不存在；②當(dāng)2a>2c時，軌跡為橢圓；③當(dāng)2a=2c時，軌跡為一條線段. 通過這樣的練習(xí)方式，學(xué)生就能夠很容易理解a>c這一限定條件.

而一些意義相近的或者容易混淆的概念，則是教師在進(jìn)行概念教學(xué)過程中通常會遇到的另一個令人頭疼的問題，因而必須采用有效的措施，才能夠讓學(xué)生更加準(zhǔn)確地掌握這些概念，并正確地應(yīng)用到實(shí)際的習(xí)題演練過程中. 對于這一問題，筆者采取的思路是讓學(xué)生在比較中鑒別，在比較中發(fā)現(xiàn)問題并解決問題.

例如，對于“不都”、“都不”這兩個數(shù)學(xué)習(xí)題中經(jīng)常出現(xiàn)的條件，教師可以通過使用a與b之間的關(guān)系予以說明. “a，b不都為零”等價于三種情況：“a≠0，b≠0；a=0，b≠0；a≠0，b=0”，“a，b‘都不為零”等價于“a≠0，b≠0”；或者可以從反面來證明、比較，以幫助學(xué)生認(rèn)識到錯誤. 例如，在解x2>16這一不等式過程中，有學(xué)生會錯誤地得出x>±4，此時教師可以從學(xué)生的錯誤之處入手，利用反例來加深學(xué)生對二次不等式的理解.

[?] 對高中數(shù)學(xué)概念有效教學(xué)的進(jìn)一步思考

有效教學(xué)經(jīng)常處于一種簡單的理解中，筆者總結(jié)此文時也提醒自己不要陷入淺顯理解的境地. 筆者所理解的有效不只是有效果，因?yàn)闊o論什么樣的概念教學(xué)都會有效果，只是效果有大有小而已. 我們所說的有效教學(xué)，其實(shí)既是指結(jié)果的高效，更是指過程的有效. 這里尤其要強(qiáng)調(diào)的是過程的有效，而這種有效體現(xiàn)在教學(xué)過程上要符合學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn)，要能夠以學(xué)生喜歡的方式實(shí)施包括概念在內(nèi)的數(shù)學(xué)知識的教學(xué).

總之，概念教學(xué)在高中數(shù)學(xué)教學(xué)工作中具有重要的意義，而有效的概念教學(xué)是有效培養(yǎng)學(xué)生合理的認(rèn)知習(xí)慣和思維模式，形成良好的學(xué)習(xí)方法的重要方式. 我們認(rèn)為，在進(jìn)行概念教學(xué)的過程中，必須根據(jù)學(xué)生的身心發(fā)展特點(diǎn)，合理地選擇適合學(xué)生認(rèn)知特點(diǎn)的教學(xué)方式，才能夠讓學(xué)生在感悟、探索、應(yīng)用中真正地掌握數(shù)學(xué)的概念，形成對于數(shù)學(xué)本質(zhì)的科學(xué)的認(rèn)識.