計(jì)及次近鄰原子作用平面正三角晶格振動(dòng)的色散關(guān)系

陳志遠(yuǎn)，齊文杰，張端明

(1.湖北科技學(xué)院核技術(shù)與化學(xué)生物學(xué)院, 湖北 咸寧 437100;2.湖北科技學(xué)院電子與信息工程學(xué)院, 湖北 咸寧437100;3.華中科技大學(xué)物理學(xué)院，湖北 武漢430074)

0 引 言

晶格振動(dòng)色散關(guān)系是晶格動(dòng)力學(xué)研究的重要內(nèi)容之一，國(guó)內(nèi)外固體物理教科書(shū)都會(huì)涉及，但是，幾乎所有的教科書(shū)對(duì)晶格振動(dòng)色散關(guān)系的討論，都局限在一維晶格，并且往往只考慮最近鄰原子相互作用[1-2]．對(duì)于二維或三維晶格振動(dòng)色散關(guān)系的研究并不多見(jiàn)[3-4]，而且增加計(jì)及次近鄰原子相互作用的討論更是少見(jiàn)．因此，本研究選擇平面正三角晶格為研究對(duì)象，利用晶格動(dòng)力學(xué)理論推導(dǎo)了計(jì)及次近鄰原子作用下晶格振動(dòng)的色散關(guān)系，得到第一布里淵區(qū)中三種特殊對(duì)稱方向的色散關(guān)系表達(dá)式和曲線，討論了次近鄰原子作用對(duì)平面正三角晶格振動(dòng)色散關(guān)系的影響．

1 晶格振動(dòng)模型與色散關(guān)系

1.1 晶格振動(dòng)模型

(1)

(2)

(3)

φαβ(0,m)=-γmeα(m)eβ(m)

(4)

(5)

(6)

1.2 色散關(guān)系

考慮平面正三角晶格結(jié)構(gòu)如圖1所示，任意兩個(gè)最近鄰原子的間距為a，由于正三角晶格結(jié)構(gòu)的特點(diǎn)，這種晶格的每一個(gè)原胞中包含有一個(gè)原子．將第0號(hào)原子的最近鄰原子編號(hào)為1、2、3、4、5、6，次近鄰原子分別編號(hào)7、8、9、10、11、12，用γ1和γ2分別表示任意兩個(gè)最近鄰原子間和兩個(gè)次近鄰原子間的彈性力耦合常數(shù)．

圖1 二維平面正三角晶格及其近鄰原子的分布 Fig.1 Two-dimensional equilateral trigonal lattice and distributing of neighbor atoms

在圖1中建立平面直角坐標(biāo)系X-O-Y，則從第0號(hào)原子至其它12個(gè)原子之間的單位向量可以表示為：

由(4)式可以計(jì)算出相應(yīng)的原子之間相互作用力常數(shù)φαβ(0,m)如下：

φxx(0,1)=φxx(0,4)=-γ1

φxx(0,2)=φxx(0,3)=φxx(0,5)=φxx(0,6)=-γ1/4

φxy(0,1)=φyx(0,1)=φxy(0,4)=φyx(0,4)=φyy(0,1)=φyy(0,4)=0

φyy(0,2)=φyy(0,3)=φyy(0,5)=φyy(0,6)=-3γ1/4

φxx(0,7)=φxx(0,8)=φxx(0,10)=

φxx(0,11)=-3γ2/4

φxx(0,9)=φxx(0,12)=φxy(0,9)=

φyx(0,9)=φxy(0,12)=φyx(0,12)=0

φxy(0,7)=φxy(0,10)=φyx(0,7)=

φxy(0,8)=φxy(0,11)=φyx(0,8)=

φyy(0,7)=φyy(0,8)=φyy(0,10)=

φyy(0,11)=-γ2/4

φyy(0,9)=φyy(0,12)=-γ2

因?yàn)榭紤]到了次近鄰原子的相互作用，所以對(duì)0號(hào)原子而言將同時(shí)受到最近鄰和次近鄰原子的作用．由(5)式的求和規(guī)律，可以得到相應(yīng)的自身力常數(shù)為：

φxx(0,0)=3(γ1+γ2),φxy(0,0)=φyx(0,0)=0,φyy(0,0)=3(γ1+γ2)

由久期方程(6)式得：

ω2=

(7)

2 分析與討論

圖2 二維平面正三角晶格的第一布里淵區(qū)Fig.2 First Brillouin Zone of two-dimensional equilateral trigonal lattice

2.1 第一布里淵區(qū)中沿三種特殊對(duì)稱方向的色散關(guān)系

(Ⅰ)沿Γ-M方向上：

將它們代入(7)式得：

(8)

(9)

(Ⅱ)沿M-K方向上：

將它們代入(7)式得：

(10)

(11)

它們與M-K連線方向上每點(diǎn)波矢方向(Γ點(diǎn)與MK線上每點(diǎn)連線方向)既不平行，也不垂直，說(shuō)明沿M-K線上的格波既非縱波，又非橫波．

(Ⅲ )沿Γ-K方向上：

將它們代入(7)式中得到：

(12)

(13)

2.2 次近鄰原子間作用對(duì)第一布里淵區(qū)中三種特殊對(duì)稱方向色散關(guān)系的影響

將有關(guān)物理量取為無(wú)量剛的常數(shù)，如原子質(zhì)量M取單位質(zhì)量，晶格常數(shù)a取單位長(zhǎng)度，最近鄰原子間以及次近鄰原子間相互作用的強(qiáng)弱通過(guò)彈性力耦合常數(shù)γ1和γ2來(lái)描述．我們考慮如下兩種情況：當(dāng)γ1≠0,γ2=0時(shí)，即只考慮最近鄰原子間作用，不考慮次近鄰原子間作用；當(dāng)γ1≠0,γ2≠0時(shí)，即既考慮最近鄰原子間作用，又考慮次近鄰原子間作用．

若給定γ1=0.8，圖3～5分別給出了γ2=0與γ2≠0時(shí)第一布里淵區(qū)中沿Γ-M、M-K和Γ-K三個(gè)特殊對(duì)稱方向色散曲線．從圖3～5中很明顯地看出在缺乏次近鄰原子作用下晶格振動(dòng)頻譜在Γ點(diǎn)從零開(kāi)始，兩支聲學(xué)波在M點(diǎn)是非簡(jiǎn)并的，但是在K點(diǎn)是簡(jiǎn)并的；最近鄰原子間作用足夠可以在整個(gè)第一布里淵區(qū)產(chǎn)生振動(dòng)頻譜．無(wú)論γ2=0還是γ2=0.2、0.4、0.6的任意情況，每一個(gè)對(duì)稱方向都存在兩條聲學(xué)支色散曲線，并且縱波頻率高于橫波頻率．

圖3 當(dāng)γ2=0與γ2=0.2時(shí)第一布里淵區(qū)中三個(gè)特殊對(duì)稱方向色散曲線的比較Fig.3 The comparison of dispersion curves along three symmetry directions in the first Brillouin zone for γ2=0 and γ2=0.2

圖4 當(dāng)γ2=0與γ2=0.4時(shí)，第一布里淵區(qū)中三個(gè)特殊對(duì)稱方向色散曲線的比較Fig.4 The comparison of dispersion curves along three symmetry directions in the first Brillouin zone for γ2=0 and γ2=0.4

圖5 當(dāng)γ2=0與γ2=0.6時(shí)第一布里淵區(qū)中三個(gè)特殊對(duì)稱方向色散曲線的比較Fig.5 The comparison of dispersion curves along three symmetry directions in the first Brillouin zone for γ2=0 and γ2=0.6

圖3～5也顯示，隨著次近鄰原子間作用的增強(qiáng)，聲子頻率不斷增大(除Γ和K點(diǎn))，Γ-M方向橫波和縱波頻率間隙不斷減小，并且縱波頻率出現(xiàn)極大值；M-K方向兩聲學(xué)波頻率間隙也不斷減?。沪?K方向橫波色散曲線部分逐漸趨近與最近鄰原子作用下的縱波色散曲線重合，而縱波聲子頻率的極大值顯著增大．結(jié)果表明，次近鄰原子之間的相互作用對(duì)三角晶格色散關(guān)系影響顯著．此外，經(jīng)過(guò)比較發(fā)現(xiàn)次近鄰原子作用下，聲子頻率在Γ和K點(diǎn)仍然分別都是簡(jiǎn)并的，并且其頻率大小不受次近鄰原子作用的影響，而在M點(diǎn)聲子頻率亦是非簡(jiǎn)并的．

3 結(jié) 語(yǔ)

本研究利用晶格動(dòng)力學(xué)理論推導(dǎo)了計(jì)及次近鄰原子作用下平面正三角晶格振動(dòng)的色散關(guān)系，得到第一布里淵區(qū)中沿三個(gè)特殊對(duì)稱方向的色散關(guān)系表達(dá)式；每一對(duì)稱方向都有兩支聲學(xué)波，其中Γ-M和Γ-K方向有一支縱波和一支橫波，而M-K方向兩支聲學(xué)波既非縱波、又非橫波，且縱波的頻率高于橫波的頻率．分析討論了次近鄰原子作用對(duì)色散關(guān)系的影響：在缺乏次近鄰原子作用下，最近鄰原子間作用足夠可以在整個(gè)第一布里淵區(qū)產(chǎn)生振動(dòng)頻譜；隨著次近鄰原子間作用的增強(qiáng)，聲子頻率不斷增大，Γ-M和M-K方向兩聲學(xué)支的頻率間隙不斷減小，Γ-K方向部分橫波聲子頻率逐漸趨近于最近鄰原子作用下的縱波聲子頻率，而其縱波聲子頻率的極大值顯著增大， 表明次近鄰原子之間的相互作用對(duì)平面正三角晶格色散關(guān)系有顯著的影響．但是，聲子頻率在Γ和K點(diǎn)始終不變并分別簡(jiǎn)并，而在M點(diǎn)頻率非簡(jiǎn)并．

致謝

本工作得到國(guó)家自然科學(xué)基金委員會(huì)和湖北省教育廳提供的資助，在此致以衷心的感謝!

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