與熱庫(kù)耦合的光學(xué)腔內(nèi)三原子間的糾纏動(dòng)力學(xué)?

邢貴超 夏云杰

(曲阜師范大學(xué)物理工程學(xué)院,山東省激光偏光與信息技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,曲阜 273165)

1 引 言

量子糾纏[1,2]是量子力學(xué)最顯著的特征之一,是量子信息理論[3]的重要課題.它在量子隱形傳態(tài)、量子密集編碼、量子糾錯(cuò)、量子密鑰分配和量子計(jì)算等[4?10]方面發(fā)揮著重要作用.近幾年,量子糾纏在量子信息處理中發(fā)揮著越來(lái)越重要的作用,從而引起了人們更加廣泛的關(guān)注.然而,由于實(shí)際系統(tǒng)不可避免地會(huì)與周圍環(huán)境發(fā)生相互作用,進(jìn)而導(dǎo)致糾纏隨時(shí)間不斷衰減,甚至在有限時(shí)間內(nèi)完全消失,即出現(xiàn)糾纏突然死亡(ESD)[11,12].近年來(lái),人們開始從不同的角度探討如何來(lái)保護(hù)糾纏.例如,宗曉嵐等[13]利用弱測(cè)量和反轉(zhuǎn)測(cè)量的方法來(lái)保護(hù)多粒子的糾纏.因此,了解開放量子系統(tǒng)在各種環(huán)境下的動(dòng)力學(xué)性質(zhì),并通過優(yōu)化耦合參量來(lái)對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行調(diào)控具有重要意義.

對(duì)開放量子系統(tǒng)動(dòng)力學(xué),特別是針對(duì)零溫環(huán)境的研究有了較為成熟的方法[14].到目前為止,人們從獨(dú)立環(huán)境和共同環(huán)境兩個(gè)角度分別研究了原子間的糾纏演化特性.例如,Yu和Eberly[15]研究了兩個(gè)相互糾纏的二能級(jí)原子分別與不同的腔作用出現(xiàn)了糾纏死亡的現(xiàn)象;Wu和Zhang[16]研究了分別囚禁在被Kerr介質(zhì)填充的腔中的兩個(gè)二能級(jí)原子間的糾纏特性.但是,由于多體糾纏度本身的復(fù)雜性和不完善性,多體糾纏的研究在某些方面受到了限制.最近,Bai等[17,18]研究了多個(gè)量子比特分別與各自獨(dú)立的腔作用的糾纏動(dòng)力學(xué).對(duì)于共同環(huán)境,Maniscalco等[19]研究了兩個(gè)原子與同一環(huán)境作用的糾纏動(dòng)力學(xué)以及通過量子芝諾效應(yīng)保護(hù)糾纏.Bellomo等[20]研究發(fā)現(xiàn)糾纏在有限時(shí)間內(nèi)死亡后會(huì)出現(xiàn)糾纏復(fù)蘇的現(xiàn)象,這是因?yàn)榉邱R爾科夫熱庫(kù)具有記憶效應(yīng).賀志和李龍武[21]通過精確求解帶有偶極-偶極相互作用的兩個(gè)二能級(jí)原子與一個(gè)共同熱庫(kù)相互作用模型,得到了兩原子間量子糾纏和量子失諧的解析表達(dá)式.相對(duì)于二體系統(tǒng),三體或多體系統(tǒng)的糾纏更加復(fù)雜.例如,Ma等[22?24]研究了對(duì)于不同的共同環(huán)境中的三原子的糾纏動(dòng)力學(xué).封玲娟和夏云杰[25]研究了三個(gè)二能級(jí)原子與共同熱庫(kù)發(fā)生相互作用的系統(tǒng)糾纏動(dòng)力學(xué)演化.

最近,文獻(xiàn)[26,27]分別研究了有熱庫(kù)耦合的光學(xué)腔內(nèi)兩個(gè)相互作用的二能級(jí)原子間的糾纏動(dòng)力學(xué)以及系統(tǒng)馬爾科夫和非馬爾科夫動(dòng)力學(xué)的轉(zhuǎn)換,但是對(duì)于更復(fù)雜體系的研究尚未完善.基于此,本文研究了有熱庫(kù)耦合的光學(xué)腔內(nèi)三個(gè)相互作用的二能級(jí)原子間的糾纏動(dòng)力學(xué)和系統(tǒng)的糾纏轉(zhuǎn)移.

2 理論模型

考慮三個(gè)全同的相互作用的二能級(jí)原子A,B,C(為了處理的方便,我們假設(shè)三原子兩兩相互作用強(qiáng)度均為D,實(shí)驗(yàn)上可以由三個(gè)原子在光學(xué)腔中形成等腰三角形結(jié)構(gòu)來(lái)實(shí)現(xiàn))與一個(gè)同零溫玻色庫(kù)耦合的光學(xué)腔相互作用,假設(shè)原子間距離小于腔場(chǎng)波長(zhǎng),使得原子間偶極-偶極相互作用不可忽略.系統(tǒng)的總哈密頓量可以寫成:

其中,ω0, ωc和ωk分別為原子的躍遷頻率、腔場(chǎng)的本征頻率和熱庫(kù)的第k個(gè)模式的頻率;和分別為第i(i=1,2,3)個(gè)原子的贗自旋算符分別為原子的激發(fā)態(tài)和基態(tài));a和a+分別為光子的淹沒和產(chǎn)生算符,bk和分別為熱庫(kù)第k個(gè)模式的淹沒和產(chǎn)生算符;D,κ和gk分別為原子間偶極-偶極相互作用強(qiáng)度、原子與腔場(chǎng)耦合強(qiáng)度和腔與熱庫(kù)第k個(gè)模式的耦合強(qiáng)度.為方便,令ω0=ωc.

假設(shè)三原子A,B,C初始處于W型糾纏態(tài),初始時(shí)刻腔場(chǎng)和熱庫(kù)均處于真空態(tài),則整個(gè)體系的初態(tài)可表示如下:

將(4)式代入相互作用繪景中的薛定諤方程

可以得到關(guān)于演化系數(shù)的微分方程組:

考慮ak(0)=0對(duì)(6)式進(jìn)行積分得:

將(11)式代入(10)式得:

其中,參數(shù)γ ,λ ,?分別代表腔場(chǎng)與熱庫(kù)的耦合強(qiáng)度、熱庫(kù)的譜寬度和腔場(chǎng)與熱庫(kù)的失諧量.當(dāng)λ>2γ時(shí),腔場(chǎng)與熱庫(kù)之間為弱耦合,反之,為強(qiáng)耦合.通過引入關(guān)聯(lián)函數(shù)f(t?t′)來(lái)定義下面關(guān)于熱庫(kù)譜密度J(ω)的傅里葉變換:

(12)式可以重新寫為

對(duì)(7),(8),(9)式以及(15)式進(jìn)行拉普拉斯變換,得:

3 數(shù)值計(jì)算與理論分析

利用下限共生(LBC)和共生糾纏(concurrence)方法分別度量三原子間糾纏以及腔場(chǎng)和熱庫(kù)間的糾纏.

利用(4)式對(duì)三原子求跡得腔場(chǎng)與熱庫(kù)的約化密度矩陣在基矢下表示為

對(duì)于兩體糾纏度量, 基矢空間為{|00〉,|01〉,|10〉,|11〉}的X型量子態(tài)密度矩陣為

它們可以用Wootters提出的共生糾纏(concurrence)[28]來(lái)度量:

根據(jù)共生糾纏得到腔與熱庫(kù)的糾纏度為

對(duì)于三量子比特的糾纏度量,通常有文獻(xiàn)[29]提出的LBC和文獻(xiàn)[30]提出的三體部分轉(zhuǎn)置負(fù)本征值等方法.本文采用下限共生方法,其表示如下[31]:

其中,

對(duì)(23)式和(20)式做數(shù)值計(jì)算,可得三原子糾纏以及腔場(chǎng)與熱庫(kù)間糾纏隨時(shí)間t的演化規(guī)律如圖1—圖4所示.比較圖像可以看出系統(tǒng)的糾纏動(dòng)力學(xué).

4 不同耦合參數(shù)對(duì)系統(tǒng)糾纏的影響

4.1 原子間耦合強(qiáng)度對(duì)系統(tǒng)糾纏的影響

圖1(a)和圖1(b)分別描述原子與腔場(chǎng)耦合強(qiáng)度κ一定時(shí),腔場(chǎng)與熱庫(kù)弱耦合情況下,對(duì)于不同的原子間耦合強(qiáng)度,原子之間糾纏以及腔場(chǎng)與熱庫(kù)間糾纏隨時(shí)間的演化.由圖可以看出,一定時(shí)間內(nèi)原子之間的耦合強(qiáng)度越強(qiáng),原子間糾纏越大、腔場(chǎng)與熱庫(kù)間的糾纏越小.出現(xiàn)此現(xiàn)象的原因是原子量子態(tài)由態(tài)躍遷到態(tài)時(shí)產(chǎn)生光子,當(dāng)D=0和D=0.1γ時(shí),原子間相互作用相比于原子與腔場(chǎng)的相互作用較小,所產(chǎn)生的光子被腔場(chǎng)吸收的概率大于原子量子態(tài)由態(tài)躍遷到態(tài)時(shí)光子被吸收的概率,所以減小(n=1,2,3),由(23)式原子間糾纏度C3的表達(dá)式可知,原子間糾纏也減小,且一定時(shí)間內(nèi)呈現(xiàn)單調(diào)遞減的趨勢(shì).隨著原子間的相互作用增強(qiáng),原子躍遷得到光子的概率變大,腔場(chǎng)得到光子的概率變小,相應(yīng)三原子間的糾纏度變大,腔場(chǎng)與熱庫(kù)間的糾纏變小.當(dāng)D=γ時(shí),原子間相互作用相比于原子與腔場(chǎng)間的相互作用較大,所產(chǎn)生的光子被腔場(chǎng)吸收的概率小于原子量子態(tài)由態(tài)躍遷到態(tài)時(shí)光子被吸收的概率.隨時(shí)間的演化,光子不斷地產(chǎn)生,不斷地被吸收,此過程不斷循環(huán)發(fā)生.但由于腔場(chǎng)與環(huán)境的相互作用會(huì)導(dǎo)致光子的泄露,所以重吸收光子的概率逐次遞減直至消失,表現(xiàn)為圖像呈現(xiàn)振蕩衰減趨勢(shì).通過數(shù)值計(jì)算,當(dāng)時(shí)間趨于無(wú)窮大時(shí)3),所以原子間糾纏最終趨于一不為零的穩(wěn)定值.對(duì)比圖1(c),可以看出腔場(chǎng)與熱庫(kù)強(qiáng)耦合時(shí)與弱耦合時(shí)三原子間有相似的糾纏動(dòng)力學(xué)行為.

圖1 腔場(chǎng)與熱庫(kù)弱耦合情況下,對(duì)于不同的原子間耦合強(qiáng)度D,(a)三原子間的糾纏隨時(shí)間t的演化,(b)腔場(chǎng)與熱庫(kù)間的糾纏隨時(shí)間t的演化,參數(shù)5γ,κ=0.1γ,?=0,γ=1;(c)腔場(chǎng)與熱庫(kù)強(qiáng)耦合情況下,對(duì)于不同的D三原子間的糾纏隨時(shí)間t的演化,參數(shù)λ=0.2γ,κ=0.1γ,?=0,γ=1Fig.1.(a)The entanglement of three atoms as a function of scaled time t,(b)the entanglement of cavity and reservoir as a function of scaled time t for a weak coupling regime between the cavity and reservoir and different dipole-dipole interaction strength D,param-etersλ=5γ,κ=0.1γ,?=0,γ=1,(c)the entanglement of three atoms as a function of scaled time t for a strong coupling regime between the cav-ity and reservoir and di ff erent dipole-dipole interac-tion strength D,parametersλ=0.2γ,κ=0.1γ,?=0,γ=1.

4.2 原子與腔場(chǎng)耦合強(qiáng)度對(duì)系統(tǒng)糾纏的影響

圖2(a)和圖2(b)分別描述的是在原子間不存在偶極-偶極相互作用,腔場(chǎng)與熱庫(kù)弱耦合情況下,對(duì)于不同的原子與腔場(chǎng)間耦合強(qiáng)度κ,三原子間的糾纏以及腔場(chǎng)與熱庫(kù)間的糾纏隨時(shí)間t的演化.由圖可看出,在短時(shí)間內(nèi),原子間糾纏隨著原子與腔耦合強(qiáng)度的增加而減小,在長(zhǎng)時(shí)極限下趨于穩(wěn)定值.κ較大時(shí),三原子間的糾纏隨時(shí)間t的演化出現(xiàn)明顯的周期性振蕩衰減行為.腔場(chǎng)與熱庫(kù)強(qiáng)耦合時(shí),會(huì)出現(xiàn)相似的糾纏動(dòng)力學(xué)行為.腔場(chǎng)與熱庫(kù)間糾纏由零增大到一定值后最終減小為零,腔與庫(kù)之間的糾纏在短時(shí)間內(nèi)隨原子與腔的耦合強(qiáng)度的增加而增加,當(dāng)原子與腔場(chǎng)耦合強(qiáng)度較強(qiáng)時(shí)會(huì)出現(xiàn)振蕩.由圖可知,當(dāng)κ=0.1γ和κ=0.2γ時(shí),原子與腔場(chǎng)間耦合較弱,由圖像可以看出糾纏沒有出現(xiàn)振蕩衰減現(xiàn)象,說明流入環(huán)境的信息沒有重新流回原子系統(tǒng),即糾纏在演化過程中出現(xiàn)馬爾科夫效應(yīng).當(dāng)κ=2γ時(shí),由圖可以看出糾纏出現(xiàn)振蕩衰減的現(xiàn)象,也就是流入環(huán)境的信息在系統(tǒng)演化過程中重新流回原子系統(tǒng),從而導(dǎo)致原子間糾纏出現(xiàn)了非馬爾科夫效應(yīng).

圖2 腔場(chǎng)與熱庫(kù)弱耦合情況下,對(duì)于不同的原子與腔場(chǎng)耦合強(qiáng)度κ,三原子間的糾纏(a);腔場(chǎng)與熱庫(kù)間的糾纏(b)隨時(shí)間t的演化;參數(shù):=5γ,D=0,?=0,γ=1Fig.2.(a)The entanglement of three atoms as a function of scaled time t;(b)the entanglement of cavity and reservoir as a function of scaled time t for a weak coupling regime between cavity and reservoir and di ff erent coupling strength κ.Parameters:=5γ,D=0,?=0,γ=1.

4.3 熱庫(kù)譜寬對(duì)原子間糾纏以及非馬爾科夫性的影響

當(dāng)λ<2γ時(shí),熱庫(kù)與腔場(chǎng)為強(qiáng)耦合,原子與腔場(chǎng)組成的系統(tǒng)遵循非馬爾科夫動(dòng)力學(xué).由圖可以看出,λ=0.5γ時(shí),糾纏突然死亡后出現(xiàn)了復(fù)蘇,說明從環(huán)境到原子系統(tǒng)有了信息的回流,表現(xiàn)出非馬爾科夫效應(yīng).λ=γ時(shí),此時(shí)原子與腔場(chǎng)組成的系統(tǒng)雖然遵循非馬爾科夫動(dòng)力學(xué),但由圖像可以看出,原子間糾纏單調(diào)遞減,沒有和外部環(huán)境的信息交流,表現(xiàn)出馬爾科夫效應(yīng).隨著λ增加,當(dāng)λ=5γ以及λ=100γ時(shí),熱庫(kù)和腔場(chǎng)為弱耦合,系統(tǒng)遵循馬爾科夫動(dòng)力學(xué),但從原子系統(tǒng)到環(huán)境出現(xiàn)了信息的交流,表現(xiàn)出非馬爾科夫效應(yīng).結(jié)合3.2節(jié)可以看出體系的非馬爾科夫效應(yīng)由參數(shù)κ和λ共同決定.

圖3 當(dāng)系統(tǒng)初始態(tài)為最大糾纏態(tài),對(duì)于不同的熱庫(kù)譜寬λ,三原子間的糾纏隨時(shí)間t的演化0.3γ,D=0,?=0,γ=1)Fig.3.The entanglement of three atoms as a function of scaled time t for di ff erent λ when the initial state is the maximally entangled state parameters:κ=0.3γ,D=0,?=0,γ=1.

4.4 腔場(chǎng)與熱庫(kù)失諧對(duì)系統(tǒng)糾纏的影響

圖4(a)和圖4(b)分別給出了在腔場(chǎng)與熱庫(kù)耦合強(qiáng)度較弱和較強(qiáng)時(shí)原子間糾纏在不同失諧情況下隨時(shí)間t的演化.可以看出當(dāng)腔場(chǎng)與熱庫(kù)耦合強(qiáng)度較弱時(shí),三原子間糾纏隨失諧量的增加而增加,但不是特別明顯,最終在長(zhǎng)時(shí)極限下趨于一穩(wěn)定值.當(dāng)腔場(chǎng)與熱庫(kù)耦合強(qiáng)度較強(qiáng)時(shí),隨失諧量的增大,原子間糾纏增加,呈現(xiàn)周期性振蕩.由于失諧可以抑制從原子到腔場(chǎng)以及熱庫(kù)間的糾纏轉(zhuǎn)移,因此失諧可以抑制熱庫(kù)耗散對(duì)原子間糾纏衰減的影響,使得原子間糾纏增強(qiáng)而腔與熱庫(kù)間糾纏減弱.因此,調(diào)整失諧可以加強(qiáng)對(duì)原子間糾纏的利用.

圖4 對(duì)于不同的失諧量?,三原子間糾纏隨時(shí)間t的演化 (a)腔場(chǎng)與熱庫(kù)弱耦合的情況下,0.1γ,D=0,λ=5γ,γ=1;(b)腔場(chǎng)與熱庫(kù)強(qiáng)耦合的情況下,κ=0.1γ,D=0,λ=0.2γ,γ=1Fig.4.The entanglement of three atoms as a function of scaled time t for di ff erent values of detuning in terms of?:(a)Under weak co upling regimes between the cavity and reservoir,κ=0.1γ,D=0,λ=5γ,γ=1;(b)under strong co upling regimes between the cavity and reservoir,κ=0.1γ,D=0,λ=0.2γ,γ=1.

5 結(jié) 論

本文以三個(gè)相互作用的二能級(jí)原子與一個(gè)同零溫玻色庫(kù)耦合的光學(xué)腔相互作用為模型,研究腔內(nèi)三個(gè)原子之間以及腔與熱庫(kù)之間的糾纏動(dòng)力學(xué).分別研究了原子間耦合強(qiáng)度、原子與腔耦合強(qiáng)度、熱庫(kù)譜寬度以及腔場(chǎng)和熱庫(kù)的失諧量對(duì)原子間以及腔場(chǎng)與熱庫(kù)間糾纏動(dòng)力學(xué)的影響.研究發(fā)現(xiàn):原子間糾纏隨著原子間耦合強(qiáng)度的增加而增加,隨原子與腔場(chǎng)間耦合強(qiáng)度的增加而減小;體系的非馬爾科夫性由參數(shù)κ和λ共同決定;調(diào)整腔場(chǎng)與熱庫(kù)的失諧可以有效抑制熱庫(kù)耗散對(duì)糾纏衰減的影響.

[1]Horodedecki R,Horodedeck P,Horodedecki M,Horodedecki K 2009Rev.Mod.Phys.81 865

[2]Zyczkowski K,Horodedecki P,Horodedecki M,Horodedecki R 2001Phys.Rev.A65 012101

[3]Zhang Y D 2012Principles of Quantum Information Physics(Beijing:Science Press)pp258–307(in Chinese)[張永德2012量子信息物理原理(第一版)(北京:科學(xué)出版社)第258—307頁(yè)]

[4]Bennett C H,Brassard G,Crépeau C,Jozsa R,Peres A,Wootters W K 1993Phys.Rev.Lett.70 1895

[5]Hillery M,Bu?ek V,Berthiaume A 1999Phys.Rev.A59 1892

[6]Ekert A K 1991Phys.Rev.Lett.67 661

[7]Yan L H,Gao Y F,Zhao J G 2009Int.J.Theor.Phys.48 2445

[8]Murao M,Vedral V 2001Phys.Rev.Lett.86 352

[9]Deng F G,Ren B C,Li X H 2017Sci.Bull.62 44

[10]Sheng Y B,Zhou L 2017Sci.Bull.62 1025

[11]Yu T,Eberly J H 2006Phys.Rev.Lett.97 140403

[12]Almeida M P,de Melo F,Hor-Meyll M,Salles A,Walborn S P,Souto Ribeiro P H,Davidovich L 2007Science316 579

[13]Zong X L,Yang M 2016Acta Phys.Sin.65 080303(in Chinese)[宗曉嵐,楊名 2016物理學(xué)報(bào) 65 080303]

[14]Breuer H P,Petruccione F 2002Theory of Oopen Qquantum Systems(Oxford:Oxford University Press)pp568–617

[15]Yu T,Eberly J H 2004Phys.Rev.Lett.93 140404

[16]Wu Q,Zhang Z M 2014Chin.Phys.B23 034203

[17]Bai Y K,Ye M Y,Wang Z D 2009Phys.Rev.A80 044301

[18]Bai Y K,Xu Y F,Wang Z D 2014Phys.Rev.Lett.113 100503

[19]Maniscalco S,Francica F,Zaffino R L,Gullo N L,Plastina F 2008Phys.Rev.Lett.100 090503

[20]Bellomo B,Lo Franco R,Compagno G 2008Phys.Rev.A77 032342

[21]He Z,Li L W 2013Acta Phys.Sin.62 180301(in Chinese)[賀志,李龍武 2013物理學(xué)報(bào) 62 180301]

[22]Ma X S,Wang A M,Yang X D,You H 2005J.Phys.A38 2761

[23]Ma X S,Wang A M,Cao Y 2007Phys.Rev.B76 155327

[24]Ma X S,Liu G S,Wang A M 2011Int.J.Quant.Inf.9 791

[25]Feng L J,Xia Y J 2015Acta Phys.Sin.64 010302(in Chinese)[封玲娟,夏云杰 2015物理學(xué)報(bào) 64 010302]

[26]Yang L Q,Feng L J,Song X X,Xue L J,Man Z X 2016Acta Sin.Quantum Opt.22 6(in Chinese)[楊麗青, 封玲娟,宋曉曉,薛利娟,滿忠曉2016量子光學(xué)學(xué)報(bào)22 6]

[27]Ma T T,Chen Y S,Chen T,Hedemann S R,Yu T 2014Phys.Rev.A90 042108

[28]Wootters W K 1998Phys.Rev.Lett.80 2245

[29]Li M,Fei S M,Song H S 2009J.Phys.A:Math.Theor.42 145303

[30]Sabín C,Garcia-Alcaine G 2008Eur.Phys.J.D48 435

[31]An B N,Kim J,Kim K 2010Phys.Rev.A82 032316