在把握基本思想中設(shè)計學(xué)習(xí)活動

作者簡介：

北京教育學(xué)院初等教育系講師，從事小學(xué)數(shù)學(xué)教師培訓(xùn)工作，畢業(yè)于北京師范大學(xué)教育學(xué)院，教育學(xué)碩士，目前在職攻讀博士學(xué)位。先后在刊物上發(fā)表論文十余篇。

當(dāng)前老師上課時最怕孩子說的不是“不知道”，而是“我知道”。在“我知道”的狀態(tài)下，本該活躍的“探究性”課堂成了效率低下的走過場。也許孩子“知道”的更多是結(jié)果而缺少過程，但是我們也不能夠忽視甚至漠視孩子的“我知道”，避免把孩子已經(jīng)知道的結(jié)果生拉硬拽回認(rèn)知的起點，我們更應(yīng)該深刻挖掘在“我知道”的背后，還有哪些孩子不知道的東西，并以此為生長點，真正激發(fā)孩子的學(xué)習(xí)興趣。在一次培訓(xùn)活動中，組內(nèi)老師選擇“分?jǐn)?shù)基本性質(zhì)”一課作為研究課的內(nèi)容，在研磨本課的過程中，同樣遭遇了“我知道”的尷尬，本文將在分析“分?jǐn)?shù)基本性質(zhì)”核心思想的基礎(chǔ)上，探討如何設(shè)計有價值的學(xué)習(xí)活動。

一、對初上探究課為何這般無趣的困惑

在上課之前，通過對教材的分析發(fā)現(xiàn)，盡管不同版本教材在活動的設(shè)計上略有不同，但卻經(jīng)歷了基本相同的學(xué)習(xí)路徑，尋找相等分?jǐn)?shù)——觀察分子、分母的變化——概括總結(jié)規(guī)律——溝通與商不變性質(zhì)的聯(lián)系——鞏固與應(yīng)用分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)。教師也查閱了大量的文獻(xiàn)和教學(xué)設(shè)計，同樣發(fā)現(xiàn)，這些教學(xué)設(shè)計整體看來，都是在遵循觀察、猜想、驗證、發(fā)現(xiàn)、概括等一系列探索問題的基本過程。在此基礎(chǔ)上教師也作了課堂安排。環(huán)節(jié)一：觀察下面一組分?jǐn)?shù)，猜一猜哪些分?jǐn)?shù)的大小相等？環(huán)節(jié)二：用分?jǐn)?shù)表示出涂色部分，通過觀察驗證你的發(fā)現(xiàn)并進(jìn)行小組交流。環(huán)節(jié)三：全班匯報交流，這幾個分?jǐn)?shù)為什么相等，有什么變化規(guī)律，你試著說明？并舉例以完善結(jié)論。環(huán)節(jié)四：運(yùn)用“分?jǐn)?shù)基本性質(zhì)”尋找相等的分?jǐn)?shù)。課堂上發(fā)現(xiàn)學(xué)生在教師設(shè)定的情境中按部就班地“猜想”，然后被教師“逼著”去驗證分?jǐn)?shù)相等，接著就是理所當(dāng)然的觀察、發(fā)現(xiàn)規(guī)律、得出結(jié)論及應(yīng)用，一切都是那么的順暢、自然，教師的“引導(dǎo)”及時到位，學(xué)生的“探究”毫不費(fèi)力。然而一堂課下來，絲毫沒有感覺到課堂“探究”的活力，十幾分鐘的探究活動似乎是在表演，不時有學(xué)生小聲說“我早就知道了”……

上完課后，教師茫然了，“分?jǐn)?shù)基本性質(zhì)”的課真的只能這般缺乏活力嗎？忙了半天，只不過是上了一節(jié)商不變性質(zhì)的復(fù)習(xí)課，對于這樣的課，是否有新的教學(xué)思路呢？

二、對“分?jǐn)?shù)基本性質(zhì)”的重新審視

為改變這種“無狀態(tài)”課的現(xiàn)狀，對“分?jǐn)?shù)基本性質(zhì)”這一內(nèi)容進(jìn)行了重新審視。

（一）分?jǐn)?shù)基本性質(zhì)“承上啟下”了什么？

大家在教學(xué)設(shè)計中幾乎都會寫到這樣一句話“分?jǐn)?shù)基本性質(zhì)”是一堂“承上啟下”的課，那么“上”承的是什么而“下”啟的又是什么呢？從下表中可以看到“分?jǐn)?shù)基本性質(zhì)”這一內(nèi)容在整個分?jǐn)?shù)學(xué)習(xí)中的位置：

從表中可以看出，對于分?jǐn)?shù)知識，學(xué)生在三年級時就有過接觸，對分?jǐn)?shù)有了基本的了解。在此基礎(chǔ)上，五年級學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)意義、性質(zhì)及應(yīng)用，這為今后應(yīng)用分?jǐn)?shù)知識解決系列的實際問題做了鋪墊。之所以說“分?jǐn)?shù)基本性質(zhì)”是“承上啟下”的，主要體現(xiàn)在：

1.承上。聯(lián)系分?jǐn)?shù)與除法的關(guān)系，分?jǐn)?shù)基本性質(zhì)與商不變規(guī)律，事實上是用不同的形式表達(dá)相同的數(shù)量關(guān)系；分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)有助于學(xué)生對分?jǐn)?shù)意義的進(jìn)一步理解，加深對“單位1”的認(rèn)識，在分子分母變化的同時，不變的是“單位1”，換句話說，在“單位1”不變的情況下，要想保證分?jǐn)?shù)的大小不變，分子和分母要同倍變化。

2.啟下。且不說分?jǐn)?shù)基本性質(zhì)與后續(xù)要學(xué)習(xí)的“比的基本性質(zhì)”之間的關(guān)系，單從分?jǐn)?shù)這一內(nèi)容來說，分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)是通分和約分的理論依據(jù)，根據(jù)分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)，我們能夠解決分?jǐn)?shù)單位的換算問題，統(tǒng)一分?jǐn)?shù)單位，使得異分母分?jǐn)?shù)能夠進(jìn)行加減運(yùn)算。

正是因為“分?jǐn)?shù)基本性質(zhì)”與前后內(nèi)容之間這種千絲萬縷的聯(lián)系，使得“分?jǐn)?shù)基本性質(zhì)”成為了分?jǐn)?shù)概念學(xué)習(xí)網(wǎng)絡(luò)中的重要環(huán)節(jié)。

（二）“分?jǐn)?shù)基本性質(zhì)”承上啟下的核心在于“分?jǐn)?shù)單位”

“分?jǐn)?shù)單位”作為分?jǐn)?shù)的計數(shù)單位，它是所有后續(xù)知識、技能的基礎(chǔ)，包括分?jǐn)?shù)的意義、分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)，分?jǐn)?shù)的大小比較、約分、通分，分?jǐn)?shù)的加減法、乘除法以及實際問題的解決。事實上，在數(shù)學(xué)發(fā)展史上，發(fā)現(xiàn)新的計數(shù)單位始終是數(shù)的發(fā)展的一條主線。因此，“分?jǐn)?shù)單位”是一個相當(dāng)基本和重要的概念，絕不可以忽視。人們認(rèn)識分?jǐn)?shù)，首先都是從認(rèn)識分?jǐn)?shù)單位開始的。正是因為分?jǐn)?shù)單位發(fā)生了變化，為了讓異分母分?jǐn)?shù)能夠相加減，才需要運(yùn)用分?jǐn)?shù)基本性質(zhì)統(tǒng)一分?jǐn)?shù)單位，使得運(yùn)算能夠繼續(xù)下去。

（三）尋找“等值分?jǐn)?shù)”的前提是保證“量的守恒”

“分?jǐn)?shù)基本性質(zhì)”的應(yīng)用是為了尋找“等值分?jǐn)?shù)”，所謂等值分?jǐn)?shù)是指兩個分?jǐn)?shù)的分子和分母的數(shù)字雖不相同，但是大小相等?！暗戎怠钡奶匦跃褪欠?jǐn)?shù)的名稱、分子和分母改變了，但其本質(zhì)不會改變，即不會改變量的大小。分?jǐn)?shù)單位形成的能力會影響學(xué)生的等值分?jǐn)?shù)概念，學(xué)生能否在圖形中找到適當(dāng)?shù)姆謹(jǐn)?shù)單位，將原來小的分?jǐn)?shù)單位重新化聚，再利用找到的這個分?jǐn)?shù)單位組成全部的圖形，是學(xué)生解等值分?jǐn)?shù)問題的關(guān)鍵。

這種“分?jǐn)?shù)單位形成能力”是以兒童的“守恒”能力發(fā)展為前提的?！笆睾恪笔瞧喗芾碚撝械囊粋€重要術(shù)語，指物體的形式（主要是外部特征）起了變化，但是個體認(rèn)識到物體的量（或內(nèi)部性質(zhì)）并未改變。之所以當(dāng)分?jǐn)?shù)單位發(fā)生變化，分?jǐn)?shù)大小還能保持不變，就是因為分?jǐn)?shù)單位變小了，分的份數(shù)多了，單位的個數(shù)也多了，如果兒童不能夠認(rèn)識到這一點，則無法真正理解“等值分?jǐn)?shù)”和“分?jǐn)?shù)基本性質(zhì)”的內(nèi)涵。正如有研究者（NikPa）指出，五年級學(xué)生雖然能判定當(dāng)一個分?jǐn)?shù)的分母是另一個分母的倍數(shù)或是因數(shù)時兩個分?jǐn)?shù)是等值，但是卻無法解釋其意義。因此，幫助學(xué)生深刻理解依靠兩個量之間關(guān)系的變化以保證“量的守恒”是非常必要的。

三、對“分?jǐn)?shù)基本性質(zhì)”一課再思考

在分析了“分?jǐn)?shù)基本性質(zhì)”的核心價值及其內(nèi)涵后，我們對設(shè)計什么樣的活動有了新的思考：

（一）聚焦分?jǐn)?shù)單位，在“度量”中尋找等值分?jǐn)?shù)

劉加霞教授指出，基于度量的需要，數(shù)（shǔ）分?jǐn)?shù)單位的“個數(shù)”從而得到分?jǐn)?shù)體現(xiàn)出分?jǐn)?shù)是個“數(shù)（shù）”（度量數(shù)）的意義。沿襲自然數(shù)的“傳統(tǒng)”，分?jǐn)?shù)的兩個關(guān)鍵要素就是“分?jǐn)?shù)單位”和“單位個數(shù)”，即分?jǐn)?shù)單位的“分母”是平均分的“份數(shù)”，分子是“1”，其他分?jǐn)?shù)的“分子”就是“分?jǐn)?shù)單位”的“個數(shù)”?；诖耍瑥奶綄し?jǐn)?shù)單位及其個數(shù)之間變化關(guān)系的角度來認(rèn)識分?jǐn)?shù)基本性質(zhì)，至少有如下幾方面的好處：

首先，再次鞏固了學(xué)生對分?jǐn)?shù)單位的認(rèn)識，盡管不同版本教材的處理略有不同，但在五年級“分?jǐn)?shù)的意義”這一單元，都講到了“分?jǐn)?shù)單位”，鑒于前述對“分?jǐn)?shù)單位”重要性的分析，在“分?jǐn)?shù)基本性質(zhì)”這一課中再次聚焦“分?jǐn)?shù)單位”，以分?jǐn)?shù)單位及其個數(shù)為主線來尋找等值分?jǐn)?shù)，是對之前學(xué)習(xí)內(nèi)容的進(jìn)一步鞏固。

其次，加深學(xué)生對“分?jǐn)?shù)是個數(shù)（shù）”（即作為量的分?jǐn)?shù)）的理解，提升分?jǐn)?shù)作為“代數(shù)概念”的價值。有人把分?jǐn)?shù)稱為“高通達(dá)力”的概念，之所以如此，是因為分?jǐn)?shù)是一個“代數(shù)概念”（弗賴登塔爾在《作為教育任務(wù)的數(shù)學(xué)》一書中，多次談到“分?jǐn)?shù)是個代數(shù)概念”），從這個意義上來說，分?jǐn)?shù)還可以表示一個“結(jié)果”，而不僅僅表示“過程”。一直以來，在學(xué)生的心目中都不愿意承認(rèn)“分?jǐn)?shù)是個數(shù)（shù）”，而更愿意把其理解為“率”，一旦某個計算結(jié)果以分?jǐn)?shù)的形式出現(xiàn)，學(xué)生往往認(rèn)為沒有“算完”，更希望將其化為小數(shù)來表示。通過找到不同的分?jǐn)?shù)單位，再數(shù)（shǔ）出其個數(shù)，并用結(jié)果來比較大小的過程，能夠使得學(xué)生進(jìn)一步認(rèn)可作為量的分?jǐn)?shù)的概念。

第三，將分?jǐn)?shù)置于“度量”范圍之下去理解，為學(xué)生今后理解通分、約分及異分母分?jǐn)?shù)加減法進(jìn)行鋪墊。根據(jù)學(xué)生以往的“度量”經(jīng)驗，只有相同單位才能直接相加減，例如“1米”加上“1厘米”是絕不可能等于“2米”或“2厘米”的，但是在計算異分母分?jǐn)?shù)加減法時，學(xué)生往往理解“在計算同分母分?jǐn)?shù)加減法的時候，分母不變，分子相加減?，F(xiàn)在分子相同，我猜測是不是也要不變，而將分母相加。”當(dāng)教師引導(dǎo)學(xué)生往“分?jǐn)?shù)單位”上去想的時候，學(xué)生馬上意識到“應(yīng)該先讓分?jǐn)?shù)單位相同”。由此可見，在“分?jǐn)?shù)基本性質(zhì)”教學(xué)中，如果能夠以“分?jǐn)?shù)單位”為主線，通過“度量”去尋找等值分?jǐn)?shù)將為后續(xù)理解通分、約分及分?jǐn)?shù)基本性質(zhì)的應(yīng)用奠定基礎(chǔ)。

（二）以“彩色紙條”為操作材料，開展學(xué)習(xí)活動

可以看出，在這里，不論分?jǐn)?shù)墻還是色彩組合棒都起到了相同的作用，就是讓學(xué)生在操作活動中，通過對分?jǐn)?shù)單位個數(shù)的累加，直觀地尋找等值分?jǐn)?shù)。為了體現(xiàn)出分?jǐn)?shù)單位在尋找等值分?jǐn)?shù)中的作用和變化，同時考慮到彩色紙條操作起來更加靈活，可以裁剪下來任意拼擺，我們選擇用彩色紙條代替色彩組合棒，讓學(xué)生在操作的過程中，找到不同顏色紙條之間的長度關(guān)系，充分體會在總長度相等的情況下，每一種顏色的小紙條長度變了，拼擺時的數(shù)量也會發(fā)生相應(yīng)的變化。

（三）通過制造“相等分?jǐn)?shù)”，積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗

通過前述的思考，在第二次教學(xué)設(shè)計時，我們選擇利用彩色紙條來幫助學(xué)生尋找等值分?jǐn)?shù)（每套紙條一共有10種顏色，除紅色代表“1”外，其余顏色的紙條分別被平均分成2份、3份……10份，提供給學(xué)生的紙條沒有剪開，但是在活動時允許學(xué)生可以根據(jù)需要進(jìn)行折或裁剪），每組4～5人，共用一套彩色紙條，之后再讓學(xué)生通過觀察這些等值分?jǐn)?shù)，總結(jié)歸納出分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)。在教學(xué)中發(fā)現(xiàn)，學(xué)生對利用彩色紙條尋找等值分?jǐn)?shù)的活動非常感興趣，還有不少學(xué)生利用不同顏色紙條的拼擺，組合出了更多的相等分?jǐn)?shù)。

因為本課的任務(wù)是研究“分?jǐn)?shù)基本性質(zhì)”而不是分?jǐn)?shù)加減法，因此在上課時，教師并沒有給發(fā)現(xiàn)上述情況的學(xué)生以展示的機(jī)會，只讓那些每行都用相同顏色紙條拼擺的學(xué)生匯報交流。交流之后教師把學(xué)生發(fā)現(xiàn)的相等分?jǐn)?shù)記錄在黑板上，開始討論“這些分?jǐn)?shù)的分子分母是如何變化的？”由此總結(jié)出分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)，但是因為不少學(xué)生從一開始就用不同的紙條盲目拼擺，沒有思考“用相同紙條拼擺”的問題，在歸納分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)時，這些學(xué)生的思維并沒有得到剛才操作的支撐，而發(fā)現(xiàn)等值分?jǐn)?shù)的學(xué)生往往直接拿著紙條去進(jìn)行重合，再把多余的部分折回或裁掉，與我們最初設(shè)計的“先找到分?jǐn)?shù)單位，再數(shù)出個數(shù)”的設(shè)想截然不同，于是我們發(fā)現(xiàn)，經(jīng)過熱火朝天的活動之后，學(xué)生的熱情在這一環(huán)節(jié)回歸了平靜，又再次回到了第一次上課時的狀態(tài)，熱鬧的活動似乎只是引出等值分?jǐn)?shù)的一個前奏。

經(jīng)過再次的討論和思考，將教學(xué)活動重新調(diào)整如下：

第一，為引起學(xué)生對“分?jǐn)?shù)單位”的關(guān)注，事先將紙條剪開，使得每一段紙條都成為了一個“分?jǐn)?shù)單位”，學(xué)生在尋找等值分?jǐn)?shù)的過程中就必須通過數(shù)出分?jǐn)?shù)單位的個數(shù)，才能夠找到這個分?jǐn)?shù)。

第二，將操作環(huán)節(jié)分為兩次，第一次明確提出用“相同顏色的紙條進(jìn)行拼擺”，并用文字或符號記錄下自己的發(fā)現(xiàn)，如：兩個淺綠色就組合成一個藍(lán)色，三個淺綠色就組合成一個橙色，兩個粉色組合成一個橙色。在直觀操作的基礎(chǔ)上，進(jìn)而將這種發(fā)現(xiàn)轉(zhuǎn)化成分?jǐn)?shù)表述，如：兩個六分之一就是三分之一，三個六分之一就是二分之一，兩個四分之一就是二分之一，等等，從中得出相等的分?jǐn)?shù)。

第三，各組將發(fā)現(xiàn)的相等分?jǐn)?shù)記錄在黑板上，派代表邊用紙條操作邊討論其變化規(guī)律，在總結(jié)出規(guī)律后，進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生思考：現(xiàn)在手里的紙條只有這些，還能找到其他更多的相等分?jǐn)?shù)嗎？借以引起學(xué)生對這一規(guī)律普適性的思考。

第四，進(jìn)行第二次操作，要求可以任意進(jìn)行組合拼擺，用文字或符號記錄下自己的發(fā)現(xiàn)，小組討論并在全班交流，一方面為后續(xù)學(xué)習(xí)異分母分?jǐn)?shù)加減法積累活動經(jīng)驗，另一方面也為學(xué)生提供更加廣闊的思考空間。

本次調(diào)整后發(fā)現(xiàn)，學(xué)生在課堂上興趣高漲，在充分操作的基礎(chǔ)上歸納“分?jǐn)?shù)基本性質(zhì)”成了水到渠成的事情，以“分?jǐn)?shù)單位”及其個數(shù)為主線來尋找等值分?jǐn)?shù)的活動更是體現(xiàn)了這一內(nèi)容“承上啟下”的基本思想，因此，“把握學(xué)科本質(zhì)是一切教學(xué)法的根”，只有整體分析教學(xué)內(nèi)容及其背后的學(xué)科本質(zhì)，才有可能設(shè)計出有價值的學(xué)習(xí)活動。