Bancroft算法用于坐標(biāo)初值計算

華 慧，田 力，楊 偉，王修益

（1.上海市靜安區(qū)房地產(chǎn)測繪中心，上海 200040；2.測繪出版社，北京 100045；3.成都國騰電子集團有限公司，四川成都 610041）

一、前 言

對于地面固定站，測站的近似坐標(biāo)可以較為精確地獲取，但是對于動態(tài)的測站，如高速運動的飛機，一般很難精確地知道每個觀測歷元的近似坐標(biāo)。獲取近似坐標(biāo)一般采用迭代的方法，即不采用任何的坐標(biāo)信息，而是通過反復(fù)迭代得到精確的坐標(biāo)。但是有時候迭代搜索的收斂速度較慢，時間較長，甚至在有些情況下迭代不一定收斂［1］。另外，在采用GPS進行低軌衛(wèi)星實時定軌中，也對計算速度有更高的要求。在這些要求下快速獲取定位初值有助于數(shù)據(jù)處理的快速精確進行。針對這種情況，本文介紹Bancroft算法，并將其應(yīng)用于低軌衛(wèi)星初軌計算，結(jié)果顯示該算法簡單有效。

二、Bancroft算法

考慮誤差因素，對于衛(wèi)星j，偽距觀測值的無電離層影響線性組合P定義如下［2］

式中，Pj已經(jīng)對 GPS鐘差進行了改正；xj、yj、zj為第j顆GPS衛(wèi)星的坐標(biāo)。定義b=cδ，將式（2）重新寫為

對式（3）平方得到

對式（4）進行整理得到

定義 Lorentz內(nèi)積為［2］

根據(jù)式（6）的定義，將式（5）寫為

式中，rj為GPS衛(wèi)星的坐標(biāo)矢量；r為測站的坐標(biāo)矢量。對于每一顆衛(wèi)星的偽距觀測值，都能建立以上方程。式中待求參數(shù)為坐標(biāo)矢量r與鐘差參數(shù)b，從理論上來講，只要有4顆衛(wèi)星就能夠求解。定義

則對于4顆衛(wèi)星的偽距觀測方程寫為

式中，α為4×1的向量，其分量為

將式（13）代入式（9）有

上面介紹的是基于4顆GPS衛(wèi)星的解，但是實際上大部分情況下觀測到的衛(wèi)星會多于4顆，設(shè)實際觀測到的衛(wèi)星個數(shù)為n，則式（9）中

α為n×1的向量；τ為n×1的向量（每個元素都是1）。此時由于B不是方陣，不能直接求逆。此時將式（9）寫為

按照與式（14）同樣的計算方法，可以得到式（16）中Α的解為

采用上述Bancroft算法，計算量小，而且不需要迭代。但是由于無法知道測站坐標(biāo)的初值，因而與坐標(biāo)有關(guān)的各種改正（對流層、相對論效應(yīng)等）無法求得。值得一提的是，不采用這些改正得到的近似坐標(biāo)即能夠滿足近似坐標(biāo)的精度要求。如果需要更為精確的近似坐標(biāo)，可以在求得概略坐標(biāo)之后，考慮各種改正，再次采用該算法進行計算。此時的迭代比沒有任何信息所進行的迭代，已經(jīng)減少了很多的計算量。因而采用該算法能夠大大提高計算速度。并且，由于計算過程中不涉及任何矩陣求逆計算，因而該算法不存在發(fā)散的問題。

三、衛(wèi)星初軌計算

CHAMP衛(wèi)星距離地面幾百千米，其運動速度遠大于地面載體（＞7 km/s），衛(wèi)星上搭載了GPS接收機，用于動態(tài)定位。與地面測站一致，CHAMP衛(wèi)星的GPS觀測值也提供了標(biāo)準(zhǔn)的RINEX格式文件。為驗證該算法的有效性，本文對CHAMP衛(wèi)星2004年191的星載GPS觀測數(shù)據(jù)進行了分析。圖1表示采用Bancroft算法與采用最小二乘解迭代求解得到軌道之間的差值，其中最小二乘解軌道相對參考精密軌道［3］，差值的 RMS 為 1.21 m，該精度與CHAMP衛(wèi)星偽距觀測量的精度相當(dāng)。從圖1可以發(fā)現(xiàn)，除少數(shù)跳躍點外，Bancroft算法與最小二乘解的差別在分米級，這也說明采用Bancroft算法得到的軌道近似值精度已經(jīng)在偽距定位的精度范圍之內(nèi)。

圖1 Bancroft算法與最小二乘解的差值注:為便于區(qū)分，X方向加了2 m；Z方向減了2 m。

四、結(jié)束語

從公式的推導(dǎo)中可以看出，采用Bancroft算法計算簡單，無需迭代，運算量少。從計算中也可以看出，采用偽距觀測量時該算法得到的軌道初值的精度與最小二乘迭代的結(jié)果相當(dāng)。另外，除了應(yīng)用衛(wèi)星軌道初值計算外，該算法還可以應(yīng)用于所有測距定位中的近似坐標(biāo)計算（如GPS動態(tài)定位、傳統(tǒng)測邊網(wǎng)等）。

［1］ 崔書珍，彭軍還，謝勛峰.未知點初始坐標(biāo)精度對基線解算結(jié)果的影響——Bernese和GAMIT解算結(jié)果對比［J］.桂林工學(xué)院學(xué)報，2006，26（2）:218-220.

［2］ TEUNISSEN P J G，KLEUSBERG A.GPS for Geodesy［M］.Berlin，Heiddberg，New York:Springer-Verlag，1998.

［3］ CHEN Junping，WANG Jiexian.Reduced-dynamic Precise Orbit Determination for Low Earth Orbiters Based on Helmert Transformation［J］.Artificial Satellite，2008，42（3）:155-165.