統(tǒng)計(jì)物理中的經(jīng)典統(tǒng)計(jì)與量子統(tǒng)計(jì)

張保花郭福強(qiáng)王 偉

（1，2，3.昌吉學(xué)院物理系 新疆 昌吉 831100）

統(tǒng)計(jì)物理中的經(jīng)典統(tǒng)計(jì)與量子統(tǒng)計(jì)

張?；?郭福強(qiáng)2王 偉3

（1，2，3.昌吉學(xué)院物理系 新疆 昌吉 831100）

本文采用經(jīng)典統(tǒng)計(jì)方法推證了熱力學(xué)中的理想氣體的物態(tài)方程和能量均分定理，并利用能量均分定理求解不同系統(tǒng)的內(nèi)能及熱容量，總結(jié)發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)能量及熱容量的理論值與實(shí)際不相符，出現(xiàn)了經(jīng)典統(tǒng)計(jì)難以解釋的幾個(gè)問題，并結(jié)合量子統(tǒng)計(jì)方法合理解釋了經(jīng)典統(tǒng)計(jì)中的問題。最后，論述了經(jīng)典統(tǒng)計(jì)與量子統(tǒng)計(jì)的區(qū)別與聯(lián)系。

經(jīng)典統(tǒng)計(jì)；量子統(tǒng)計(jì)

1 引言

經(jīng)典統(tǒng)計(jì)物理學(xué)是建立在經(jīng)典力學(xué)基礎(chǔ)上的學(xué)科，而量子統(tǒng)計(jì)物理學(xué)是建立在量子力學(xué)基礎(chǔ)上的學(xué)科，從經(jīng)典統(tǒng)計(jì)到量子統(tǒng)計(jì)，它們之間存在著一定的區(qū)別和聯(lián)系，并在一定的條件下可以相互轉(zhuǎn)換。利用經(jīng)典統(tǒng)計(jì)方法推證熱力學(xué)中的能量均分定理，并結(jié)合熱容量的定義求解某些系統(tǒng)內(nèi)能及熱容量時(shí)，發(fā)現(xiàn)其理論值與實(shí)際值存在差異，這是經(jīng)典統(tǒng)計(jì)物理難以解決的問題［1］，本文采用量子統(tǒng)計(jì)理論做出了合理的解釋，從而使理論值和實(shí)際值吻合的很好。因此，可以看出經(jīng)典統(tǒng)計(jì)的局限性是量子統(tǒng)計(jì)理論建立的基礎(chǔ)，量子統(tǒng)計(jì)理論很好的補(bǔ)充了經(jīng)典統(tǒng)計(jì)理論的不足。

2 理想氣體物態(tài)方程的經(jīng)典統(tǒng)計(jì)推導(dǎo)

在普通物理的熱學(xué)中，從氣體的實(shí)驗(yàn)定律（如：玻意耳-馬略特定律、查理定律及蓋呂薩克定律）出發(fā)推導(dǎo)理想氣體物態(tài)方程，而在理論物理中熱力學(xué)統(tǒng)計(jì)利用經(jīng)典統(tǒng)計(jì)方法仍能給出相應(yīng)的理論，它是經(jīng)典統(tǒng)計(jì)物理應(yīng)用的一個(gè)典型的實(shí)例。

對(duì)自由粒子而言，其自由度r=3，其坐標(biāo)表示為(x,y,z)，與之相對(duì)應(yīng)的動(dòng)量為(px,py,pz)，那么它的能量為：

由于玻耳茲曼系統(tǒng)的特點(diǎn)是每個(gè)粒子可以分辨，可看成經(jīng)典系統(tǒng)，則系統(tǒng)看成連續(xù)分布的，即配分函數(shù)中的求和變?yōu)榉e分，則有：

其中V=?dxdydz是氣體的體積，根據(jù)玻耳茲曼系統(tǒng)廣義力的統(tǒng)計(jì)表達(dá)式類比壓強(qiáng)的統(tǒng)計(jì)表達(dá)式為:

化簡為： PV=νRT（ν為氣體的摩爾數(shù)）

上式為理想氣體物態(tài)方程。

從以上推證過程可以看出，利用實(shí)驗(yàn)定律和經(jīng)典統(tǒng)計(jì)理論均可以推導(dǎo)出理想氣體所滿足的方程，采用不同的研究方法（實(shí)驗(yàn)法和統(tǒng)計(jì)法）最終可以得到相同的結(jié)果。

3 能量均分定理的經(jīng)典統(tǒng)計(jì)推導(dǎo)

利用經(jīng)典玻耳茲曼分布可以導(dǎo)出一個(gè)重要的定理——能量均分定理。具體表述為：對(duì)于處在溫度為T的平衡狀態(tài)的經(jīng)典系統(tǒng)，粒子能量中的每一個(gè)平方項(xiàng)的平均值等于。關(guān)于分子熱運(yùn)動(dòng)能量的經(jīng)典統(tǒng)計(jì)規(guī)律是近似定理，每個(gè)分子都是一個(gè)力學(xué)體系，在經(jīng)典力學(xué)中，分子的能量是廣義坐標(biāo)和廣義動(dòng)量的函數(shù)，即 ε=ε(q,p)，數(shù)學(xué)表達(dá)式為含有廣義坐標(biāo)和廣義動(dòng)量的各平方項(xiàng)之和，即：

其中系數(shù)ai,bi都是正數(shù)，ai有可能是q1,q2,???,qr的函數(shù)，但與 p1,p2,???,pr無關(guān)；bi有可能是p1,p2,???,pr的函數(shù)，但與q1,q2,???,qr無關(guān)。

4 系統(tǒng)的內(nèi)能和熱容量

利用能量均分定理可推導(dǎo)單原子分子系統(tǒng)、低溫下的雙原子分子系統(tǒng)及固體中的原子系統(tǒng)的內(nèi)能及熱容量。

4.1 單原子分子系統(tǒng)

有三個(gè)平方項(xiàng)，根據(jù)能量均分定理在溫度為T時(shí)，單原子分子的平均能量為：

有熱力學(xué)公式Cp-CV=Nk，可以求得定壓熱容CP為

參照汪志誠《熱力學(xué)統(tǒng)計(jì)物理》表7.2，可以看出理論值與實(shí)驗(yàn)結(jié)果符合的很好。不過在上面的討論中將原子看做一個(gè)質(zhì)點(diǎn)，完全沒有考慮原子內(nèi)電子的運(yùn)動(dòng)。原子內(nèi)電子對(duì)熱容量沒有貢獻(xiàn)是經(jīng)典理論所不能解釋的，要用量子統(tǒng)計(jì)理論才能解釋［1］。

4.2 雙原子分子系統(tǒng)

根據(jù)能量均分定理，在溫度為T時(shí)，雙原子分子的平均能量為：

參照汪志誠《熱力學(xué)統(tǒng)計(jì)物理》表7.3，除了在低溫下的氫氣分子在T=92K時(shí)γ=1.597，理論值與實(shí)驗(yàn)結(jié)果都符合的很好。氫氣在低溫下的性質(zhì)經(jīng)典統(tǒng)計(jì)理論不能解釋。這些問題都要用量子統(tǒng)計(jì)理論才能解釋［2］。

4.3 固體中的原子系統(tǒng)

固體中的原子可以在其平衡位置附近做微振動(dòng)。假設(shè)各原子的振動(dòng)是相互獨(dú)立的簡諧振動(dòng)。原子在一個(gè)自由度上的能量為：

此式有兩個(gè)平方項(xiàng)。由于每個(gè)原子有三個(gè)自由度，根據(jù)能量均分定理在溫度為T時(shí)，一個(gè)原子的平均能量為=3kT

以N表示固體中的原子數(shù)，固體的內(nèi)能為：U=3NkT 定容熱容量為：CV=3Nk（a）

這個(gè)結(jié)果與實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)的結(jié)果符合。通常實(shí)驗(yàn)測(cè)量的固體熱容量是定壓熱容Cp，而上式給出的是定體熱容量CV，這兩者在固體的情況下還是有差別的。要是理論結(jié)果與實(shí)驗(yàn)結(jié)果能更好的比較，需要應(yīng)用熱力學(xué)公式

把實(shí)驗(yàn)測(cè)得Cp需換為CV。將理論結(jié)果與實(shí)驗(yàn)結(jié)果比較，在室溫和高溫范圍符合的很好。但在低溫范圍，實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)固體的熱容量隨溫度降低的很快，當(dāng)溫度趨近于絕對(duì)零度時(shí)，熱容量也趨于零，這個(gè)事實(shí)經(jīng)典統(tǒng)計(jì)理論不能解釋。

以上是根據(jù)經(jīng)典統(tǒng)計(jì)能量均分定理討論了理想氣體的內(nèi)能和熱容量，所得結(jié)果與實(shí)驗(yàn)結(jié)果大體相符，但是有幾個(gè)問題沒有得到合理的解釋。第一，原子內(nèi)的電子對(duì)氣體的熱容量為什么沒有貢獻(xiàn)；第二，低溫下氫氣雙原子分子為什么熱容量的理論值與實(shí)驗(yàn)結(jié)果相差較大；第三，固體中原子的熱容量隨溫度降低的很快，當(dāng)溫度趨近于絕對(duì)零度時(shí)，熱容量也趨于零。這均需要利用量子統(tǒng)計(jì)理論來解釋［3］。

5 量子統(tǒng)計(jì)理論

對(duì)于單原子分子，在原子基項(xiàng)的自旋角動(dòng)量或軌道角動(dòng)量為零的情況下，原子的基項(xiàng)能級(jí)不存在精細(xì)結(jié)構(gòu)。原子內(nèi)電子的激發(fā)態(tài)與基態(tài)能量之差大體是電子伏的量級(jí)，相應(yīng)的特征溫度約為104→105K，一般溫度下熱運(yùn)動(dòng)難以是電子躍遷到激發(fā)態(tài)。因此電子被凍結(jié)在基態(tài)，對(duì)熱容量沒有貢獻(xiàn)［4］。

利用量子統(tǒng)計(jì)理論推導(dǎo)，發(fā)現(xiàn)常溫范圍內(nèi)，振動(dòng)自由度對(duì)熱容量的貢獻(xiàn)接近零。其原因可以這樣解釋，在常溫（300K左右）范圍雙原子分子的振動(dòng)能級(jí)間距?ω（?ω=kθV）遠(yuǎn)大于KT。由于能級(jí)分立，振子必須取得能量?ω才有可能躍遷到激發(fā)態(tài)。在T＜＜θv（θV振動(dòng)特征溫度數(shù)量級(jí)為103）的情況下，振子取得?ω的能量而躍遷到激發(fā)態(tài)的概率是極小的。因此平均而言，幾乎全部振子都凍結(jié)在基態(tài)。當(dāng)氣溫升高時(shí)，它們也幾乎不吸收能量。這就是在常溫下振動(dòng)自由度不參與能量均分的原因，從而導(dǎo)致了氫氣在低溫下熱容量理論值與實(shí)際結(jié)果相差較大的原因［5］。

固體中的原子與氫氣雙原子分子類似，固體原子的振動(dòng)特征溫度θE（愛因斯坦特征溫度）與環(huán)境溫度相比時(shí)，若T＞＞θE時(shí)，CV=3NK，和能量均分定理的結(jié)果一致。這個(gè)結(jié)果的解釋是，當(dāng)T＞＞θE時(shí)，能級(jí)間距遠(yuǎn)小于KT，能量量子化的效應(yīng)可以忽略，因此經(jīng)典統(tǒng)計(jì)是適用的。若T＜＜θE時(shí)，CV→0，這個(gè)結(jié)果與實(shí)驗(yàn)結(jié)果符合，可以這樣解釋，當(dāng)溫度趨于零時(shí)，振子能級(jí)間距?ω=kθV＞＞KT，振子由于熱運(yùn)動(dòng)取得?ω的能量躍遷到激發(fā)態(tài)的概率是極小的，因此幾乎全部振子都凍結(jié)在基態(tài)。所以，在低溫下，固體中的原子在溫度很低時(shí)熱容量趨于零。

6 經(jīng)典統(tǒng)計(jì)與量子統(tǒng)計(jì)的區(qū)別與聯(lián)系

綜上所述，經(jīng)典統(tǒng)計(jì)物理是描述宏觀世界的理論，量子統(tǒng)計(jì)物理是描述微觀世界的一種理論，經(jīng)典統(tǒng)計(jì)法和量子統(tǒng)計(jì)法所采用的統(tǒng)計(jì)物理學(xué)框架是相同的，即從統(tǒng)計(jì)原理出發(fā)，它們沒有什么本質(zhì)的區(qū)別，仍然把系統(tǒng)的宏觀量作為相應(yīng)的微觀量的統(tǒng)計(jì)平均值［6］。二者的區(qū)別僅僅在于構(gòu)成系統(tǒng)的粒子運(yùn)動(dòng)用什么力學(xué)去描寫，即它們對(duì)粒子運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的描述方法不同。在經(jīng)典統(tǒng)計(jì)物理學(xué)中，微觀運(yùn)動(dòng)狀態(tài)是用相空間（μ空間）來描寫的，基本要素是廣義坐標(biāo)和廣義動(dòng)量；在量子統(tǒng)計(jì)物理學(xué)中，微觀運(yùn)動(dòng)狀態(tài)是用量子態(tài)描寫的，這些量子態(tài)由各種可能的不連續(xù)的能級(jí)組成。從根本上說，量子統(tǒng)計(jì)包括了經(jīng)典統(tǒng)計(jì)，因此量子統(tǒng)計(jì)物理學(xué)具有更普遍的意義，經(jīng)典統(tǒng)計(jì)物理學(xué)只是它的一種極限情況和近似理論。

［1］汪志誠.熱力學(xué)統(tǒng)計(jì)物理（第四版）［M］.北京：高等教育出版社，2008.

［2］王竹溪.熱力學(xué)簡程［M］.北京：高等教育出版社，1964.

［3］成元發(fā).量子統(tǒng)計(jì)與經(jīng)典統(tǒng)計(jì)的區(qū)別和聯(lián)系［J］.湖北大學(xué)成人教育學(xué)院學(xué)報(bào)，2003，21（2）.

［4］韋勝東，李作春，馬紅業(yè)，梁春燕.理想氣體量子統(tǒng)計(jì)到經(jīng)典統(tǒng)計(jì)的過渡［J］.廣西師范大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2000，18（4）.

［5］譚立揚(yáng).論經(jīng)典統(tǒng)計(jì)力學(xué)與量子統(tǒng)計(jì)力學(xué)中的公理假設(shè)［J］.北京工業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào)，1999，25（1）.

［6］斯坎德爾·烏斯曼.經(jīng)典統(tǒng)計(jì)物理與量子統(tǒng)計(jì)物理的比較與討論［J］.新疆教育學(xué)院學(xué)報(bào)，1999，（4）.

O414.2

：A

：1671-6469（2013）02-0073-04

2013-03-02

昌吉學(xué)院教研項(xiàng)目（11Jyybo12）；自治區(qū)電磁學(xué)精品課題［新教高（2010）15號(hào)］；自治區(qū)電磁學(xué)課程建設(shè)團(tuán)隊(duì)［新教高（2011）31號(hào)］。

張?；ǎ?981-），女，河南人，昌吉學(xué)院物理系，講師，研究方向：熱力學(xué)理論研究。