改進(jìn)的灰色馬爾科夫鏈模型在我國(guó)農(nóng)村人均純收入預(yù)測(cè)中的應(yīng)用

陳友余

(湖南財(cái)政經(jīng)濟(jì)學(xué)院，湖南 長(zhǎng)沙 410205)

一、引言

農(nóng)村人均純收入是我國(guó)全面建設(shè)小康社會(huì)非常重要的衡量指標(biāo)之一。我國(guó)農(nóng)村人均純收入呈現(xiàn)持續(xù)緩慢增長(zhǎng)態(tài)勢(shì)的同時(shí)，農(nóng)村居民與城鎮(zhèn)居民之間、農(nóng)村農(nóng)民內(nèi)部之間的收入差距正不斷擴(kuò)大?；诖耍鶕?jù)我國(guó)近十年來的農(nóng)村人均純收入數(shù)據(jù)，運(yùn)用灰色預(yù)測(cè)法和馬爾科夫鏈數(shù)學(xué)方法建立改進(jìn)的灰色馬爾科夫鏈組合模型進(jìn)行預(yù)測(cè)，對(duì)農(nóng)村人均純收入進(jìn)行系統(tǒng)分析具有非常重要的現(xiàn)實(shí)意義。

灰色預(yù)測(cè)方法由鄧聚龍教授最先提出，其應(yīng)用微積分理論進(jìn)行首次建模，用于研究一些灰色系統(tǒng)?；疑到y(tǒng)的特點(diǎn)是一部分信息是能被觀察且已知的，但還有一部分信息是未知的［1］。這種預(yù)測(cè)方法的最大優(yōu)點(diǎn)在于建模操作過程簡(jiǎn)單、模型表達(dá)式簡(jiǎn)潔且實(shí)用性強(qiáng)，故而已廣泛應(yīng)用于醫(yī)藥、旅游、水利、農(nóng)業(yè)、生物等領(lǐng)域［2－6］?，F(xiàn)行灰色預(yù)測(cè)方法主要應(yīng)用于平穩(wěn)序列中，應(yīng)用范圍過于狹隘，為了突破這一瓶頸，一些學(xué)者在現(xiàn)有模型的基礎(chǔ)上進(jìn)行了方法上的改進(jìn)，殘差GM(1，1)模型即是其中較為突出的改進(jìn)方法之一［7－8］。筆者先根據(jù)我國(guó)十年來的農(nóng)村人均純收入數(shù)據(jù)，建立了傳統(tǒng)GM(1，1)模型，然后運(yùn)用殘差改進(jìn)法中的變起點(diǎn)方式進(jìn)行改進(jìn)，建立預(yù)測(cè)模型，并從中挑選最理想的模型用于后續(xù)研究，在此基礎(chǔ)上應(yīng)用馬爾科夫鏈模型對(duì)灰色殘差進(jìn)行分類，得到由區(qū)間和概率組成的預(yù)測(cè)范圍。這種組合預(yù)測(cè)方法既提高了預(yù)測(cè)精度，又能有效增強(qiáng)實(shí)踐操作性。

二、傳統(tǒng)GM(1，1)模型分析

灰色傳統(tǒng)GM(1，1)模型是對(duì)初始的時(shí)間序列經(jīng)過一次累加后生成具有強(qiáng)遞增性質(zhì)的時(shí)間序列，然后在此基礎(chǔ)上建立一一對(duì)應(yīng)的近似微分方程，以呈現(xiàn)時(shí)間序列內(nèi)在的發(fā)展規(guī)律。

1、初始時(shí)間序列與累加時(shí)間序列的生成

初始的時(shí)間序列表示為:x(0)=［x(0)(1)，x(0)(2)，…，x(0)(n)］，其中n 為初始的時(shí)間序列內(nèi)部數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)，對(duì)x(0)經(jīng)過一次累加后生成的時(shí)間序列表示為:，其中，具有強(qiáng)遞增性，i=1，2，…，n。

2、x(0)的準(zhǔn)光滑性檢驗(yàn)與x(1)的準(zhǔn)指數(shù)性檢驗(yàn)

準(zhǔn)光滑性檢驗(yàn)主要通過準(zhǔn)光滑系數(shù)來檢驗(yàn)，用p(i+1)表示，當(dāng)p(i)∈［0，0.5］時(shí)滿足準(zhǔn)光滑條件，通過檢驗(yàn);準(zhǔn)指數(shù)性檢驗(yàn)主要通過準(zhǔn)指數(shù)性指標(biāo)來檢驗(yàn)，用σi+1表示當(dāng)σ(i)∈［1，1.5］時(shí)滿足準(zhǔn)指數(shù)條件，通過檢驗(yàn)。

3、白化微分方程與灰微分方程表示方法

若x(0)能通過準(zhǔn)光滑性檢驗(yàn)，x(1)能通過準(zhǔn)指數(shù)性檢驗(yàn)，則灰色傳統(tǒng)GM(1，1)的白化微分方程可表示為:，其中，a 為發(fā)展過程灰度，b 為灰色影響量，a 與b 均為未知參數(shù);t 表示時(shí)間;由于x(1)與不滿足平射關(guān)系，故白化微分方程無精確解，筆者采用等權(quán)數(shù)方法計(jì)算近似解，即對(duì)x(1)采用相鄰均值生成一序列，表示為w(1)，w(1)= ［w(1)(1)，w(1)(2)，…，w(1)(n)］，其中w(1)(i+1)=0.5x(1)(i)+0.5x(1)(i+1)。于是由白化微分方程可變形為灰微分方程，灰微分方程為x(0)(i)+aw(1)(i)=b.

4、a 與b 兩未知參數(shù)的求解

5、離散響應(yīng)函數(shù)的求解

代入灰微分方程x(0)(i)+aw(1)(i)=b，可求出對(duì)應(yīng)的離散響應(yīng)函數(shù):

6、初始數(shù)據(jù)的預(yù)測(cè)值的求解

對(duì)累加的^x(1)(i+1)，進(jìn)行累減還原，得到初始數(shù)據(jù)的預(yù)測(cè)值:

7、精度檢驗(yàn)

(1)逐點(diǎn)檢驗(yàn)

逐點(diǎn)檢驗(yàn)主要是檢驗(yàn)絕對(duì)誤差［不妨用ε(0)(i)表示］和相對(duì)誤差［用e(i)表示］。平均相對(duì)誤差為逐點(diǎn)檢驗(yàn)的檢驗(yàn)指標(biāo)，不妨用ˉe(i)表示，0.10 為臨界點(diǎn)，當(dāng)(i)≤0.10 時(shí)，表明通過檢驗(yàn)，ˉe(i)越小，精度越高。

(2)后驗(yàn)差比值檢驗(yàn)

(3)小誤差頻率檢驗(yàn)

表1 精度檢驗(yàn)表

8、擬合度檢驗(yàn)

三、變起點(diǎn)GM(1，1)模型分析

實(shí)際應(yīng)用過程中，不需要應(yīng)用初始時(shí)間序列中的全部數(shù)據(jù)來建立灰色預(yù)測(cè)模型。在初始時(shí)間序列中有規(guī)律的選取部分?jǐn)?shù)據(jù)(應(yīng)大于等于4 個(gè))，就可建立一個(gè)灰色預(yù)測(cè)模型。為了改進(jìn)傳統(tǒng)GM(1，1)模型，建模所應(yīng)用的數(shù)據(jù)要滿足兩個(gè)條件:第一，時(shí)距是相等的，從而使之具備可比性;第二，必須包含x(0)(n)，因?yàn)樽罱臅r(shí)間影響最大?；诖耍詳?shù)據(jù)x(0)(n)為終點(diǎn)，從后往前依次不斷選取數(shù)據(jù)，可以形成一組預(yù)測(cè)模型，從這組模型中挑選最佳模型應(yīng)用于后續(xù)預(yù)測(cè)，其方法如下:一是初始時(shí)間序列的生成。給定初始時(shí)間序列x(0)=(x(0)(1)，x(0)(2)，…，x(0)(n))，其中n 為初始時(shí)間序列中數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)。二是模型構(gòu)建思路。若初始時(shí)間序列包含全部數(shù)據(jù)，則為全數(shù)據(jù)模型;若初始時(shí)間序列包含部分?jǐn)?shù)據(jù)，則為部分?jǐn)?shù)據(jù)模型。三是模型構(gòu)建。由于模型中數(shù)據(jù)至少為4 個(gè)，故可建立一個(gè)4 維預(yù)測(cè)模型:［x(0)(n－3)，x(0)(n－2)，x(0)(n－1)，x(0)(n)］;由于模型中數(shù)據(jù)最多為n 個(gè)，故可建立一個(gè)n 維預(yù)測(cè)模型(即全數(shù)據(jù)模型)。通過計(jì)算，總共可建立n－3 個(gè)預(yù)測(cè)模型。四是精度檢驗(yàn)與擬合度檢驗(yàn)。對(duì)這n－3 個(gè)預(yù)測(cè)模型按傳統(tǒng)灰色預(yù)測(cè)模型方法進(jìn)行預(yù)測(cè)，并對(duì)各模型進(jìn)行檢驗(yàn)，從中挑選出最佳的模型用于后續(xù)預(yù)測(cè)。

四、馬爾可夫鏈模型分析

從變起點(diǎn)灰色預(yù)測(cè)模型中挑選出最佳模型，應(yīng)用馬爾可夫鏈方法對(duì)這一模型的殘差進(jìn)行分類，通過計(jì)算，可精確估計(jì)出各類情況出現(xiàn)的概率，從而得出由概率和區(qū)間組成的預(yù)測(cè)范圍?？梢姡@種組合預(yù)測(cè)方法具有更好的精確度、可操作性和可信性。

1、馬爾可夫鏈與K 步轉(zhuǎn)移概率矩陣的涵義

設(shè)隨機(jī)過程{x(i)，i∈I}的狀態(tài)空間為S，S 為R 的可列集，對(duì)應(yīng)I 中的任意參數(shù)i1＜i2＜…＜in，且滿足P{x(i1)=m1，x(i2)=m2，…，x(in－1=mn－1)}＞0 成立的S 中的任意狀態(tài)為m1，m2，…，mn，均有P{x(in)=mn|x(i1)=m1，x(i2)=m2，…，x(in－1)=mn－1}。此時(shí)稱{x(i1)，i∈I}為馬爾可夫鏈，并有:|xm=i}，i，j∈s 表示系統(tǒng)處于時(shí)刻m 和狀態(tài)i 這兩個(gè)條件下，系統(tǒng)在時(shí)刻m+k 和狀態(tài)j 時(shí)的概率，將依次排列，可得到m×n 階轉(zhuǎn)移概率矩陣，不妨用p(k)表示，即該矩陣稱為馬爾可夫鏈的K 步轉(zhuǎn)移概率矩陣，其中必大于零且

2、劃分狀態(tài)并計(jì)算轉(zhuǎn)移概率

劃分狀態(tài)是指將數(shù)據(jù)序列劃分成若干個(gè)大致相等的區(qū)間范圍，其中任一狀態(tài)區(qū)間Ei=［E1i，E2i］，式中E1i，E2i為狀態(tài)的臨界點(diǎn)。計(jì)算數(shù)據(jù)序列從狀態(tài)Ei轉(zhuǎn)移到狀態(tài)Ej的次數(shù)，若共有mij次，狀態(tài)Ei出現(xiàn)的次數(shù)若共為mi次，則此時(shí)可計(jì)算出轉(zhuǎn)移概率對(duì)于非平穩(wěn)隨機(jī)序列，只要符合馬氏鏈特點(diǎn)，狀態(tài)的劃分就可根據(jù)實(shí)際情況對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行不均等的劃分，只要合理即可。

3、根據(jù)轉(zhuǎn)移概率矩陣進(jìn)行預(yù)測(cè)

根據(jù)計(jì)算出的狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率，可形成狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣。若狀態(tài)Ei已知，利用狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣，可估計(jì)出未來轉(zhuǎn)向狀態(tài)Ej的可能性，即若目前預(yù)測(cè)對(duì)象處于狀態(tài)Ei，就描述了目前狀態(tài)Ei轉(zhuǎn)向未來狀態(tài)Ej的可能性。按最大概率原則，其預(yù)測(cè)結(jié)果即為最大的對(duì)應(yīng)的狀態(tài)，當(dāng)Max{pi1，pi2，…，pin}時(shí)，可預(yù)測(cè)系統(tǒng)將轉(zhuǎn)向未來狀態(tài)Ej，或是若已知時(shí)刻t 所處的狀態(tài)向量為A(t)為［a1(t)，a2(t)，…，ai(t)］，則有時(shí)刻A(t+m)=A(t+m－1)。這兩種方法均可為預(yù)測(cè)者提供預(yù)測(cè)方法，當(dāng)計(jì)算復(fù)雜或是對(duì)精確結(jié)果要求較高時(shí)可選用后一種預(yù)測(cè)方法進(jìn)行預(yù)測(cè)。

五、改進(jìn)的灰色模型在我國(guó)農(nóng)村人均純收入預(yù)測(cè)中的應(yīng)用

2000 以來，我國(guó)的年均農(nóng)村人均純收入水平呈現(xiàn)逐年增長(zhǎng)的趨勢(shì)，見表2。通過改進(jìn)的灰色模型對(duì)以往年份收入水平的檢測(cè)，可得出最佳模型用以預(yù)測(cè)未來年度的年均農(nóng)村人均純收入。

表2 2000－2010 我國(guó)年農(nóng)村人均純收入(單位:元)

1、構(gòu)建傳統(tǒng)GM(1，1)模型

首先，建立我國(guó)農(nóng)村人均純收入時(shí)間序列，見表3 中x(0)項(xiàng)，同時(shí)建立1－AGO 累加序列，見表3 中x(1)。其次，檢驗(yàn)x(1)的準(zhǔn)光滑性和x(1)的準(zhǔn)指數(shù)性。當(dāng)i ＞2 時(shí)，p(i)∈［0，0.5］，滿足準(zhǔn)光滑性要求;當(dāng)i ＞2 時(shí)，σ(i)∈［1，1.5］，滿足準(zhǔn)指數(shù)性要求，見表3 中p(i)及σ(1)(i)項(xiàng)。再次，構(gòu)造累加權(quán)數(shù)矩陣B 和常數(shù)矩陣Y，見表3 中－w(1)(i)項(xiàng)。再次，應(yīng)用Excel 中的LINEST 可求出:= －0.1107，=1773.23。接著，將代入灰微分方程x(0)(i)+a w(1)(i)=b，可求出離散響應(yīng)函數(shù):然后，對(duì))累減還原，得到初始數(shù)據(jù)的預(yù)測(cè)值:最后，進(jìn)行檢驗(yàn)。第一步，逐點(diǎn)檢驗(yàn)。相對(duì)誤差e(i)及絕對(duì)誤差ε(0)(i)見表3，平均相對(duì)誤差可見，表明預(yù)測(cè)誤差主要集中在0.0043 左右，預(yù)測(cè)誤差的一般水平很低，精度高，能達(dá)到一級(jí)效果。第二步，后驗(yàn)差比值。經(jīng)計(jì)算，s1=1246.78，s2=可見c ＜0.35，表明預(yù)測(cè)誤差擺動(dòng)的幅度小，精度高，能達(dá)到一級(jí)效果。第三步，小誤差頻率。經(jīng)計(jì)算，P=1，精度高，能達(dá)到一級(jí)效果。第四步，擬合度檢驗(yàn)。求初始序列與預(yù)測(cè)序列的初值像(或均值像)，筆者算出初值像(x(0)'、^x(0)')和關(guān)聯(lián)系數(shù)(ζi)，見表4;最后得出擬合度為0.6366，可見能通過檢驗(yàn)。

表4 擬合度檢驗(yàn)計(jì)算過程及結(jié)果

綜上，我國(guó)2000－2010 年農(nóng)村年人均純收入時(shí)間序列完全能通過以上各項(xiàng)檢驗(yàn)，且均達(dá)到了一級(jí)檢驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)，可直接用于后續(xù)分析。

2、構(gòu)建變起點(diǎn)GM(1，1)模型

由于n=11，故共可建立8 組預(yù)測(cè)序列，分別為4 維預(yù)測(cè)序列、5 維預(yù)測(cè)序列、6 維預(yù)測(cè)序列、7 維預(yù)測(cè)序列、8 維預(yù)測(cè)序列、9 維預(yù)測(cè)序列、10 維預(yù)測(cè)序列和11 維預(yù)測(cè)序列。對(duì)各組預(yù)測(cè)序列按傳統(tǒng)灰色預(yù)測(cè)模型方法進(jìn)行預(yù)測(cè)，可以得到各組模型，計(jì)算其平均相對(duì)誤差(ˉe(i))、后驗(yàn)差比值(C)、小誤差頻率(P)、灰色擬合度，結(jié)果見表5。同時(shí)，對(duì)各組預(yù)測(cè)模型的精度與灰色擬合度進(jìn)行比較。平均相對(duì)誤差方面，11 維預(yù)測(cè)序列達(dá)到1 級(jí)精度，5 維預(yù)測(cè)序列達(dá)到3 級(jí)精度，其余預(yù)測(cè)序列達(dá)到2 級(jí)精度，2 級(jí)精度由高到低順序?yàn)?精度最高的是4 維預(yù)測(cè)序列，然后是6 維預(yù)測(cè)序列、8 維預(yù)測(cè)序列和9 維預(yù)測(cè)序列，再接著的是10 維預(yù)測(cè)序列，最后是7 維預(yù)測(cè)序列。后驗(yàn)差比值方面，各預(yù)測(cè)序列均達(dá)到了1 級(jí)精度，精度由高到低順序?yàn)?9 維預(yù)測(cè)序列，8 維預(yù)測(cè)序列，10 維預(yù)測(cè)序列，6 維預(yù)測(cè)序列，5 維預(yù)測(cè)序列，11維預(yù)測(cè)序列，4 維預(yù)測(cè)序列，7 維預(yù)測(cè)序列。小誤差頻率方面，各預(yù)測(cè)序列均達(dá)到了1 級(jí)精度。擬合度檢驗(yàn)方面，5 維預(yù)測(cè)序列及4 維預(yù)測(cè)序列灰色擬合度沒有達(dá)到0.60，沒有通過擬合度檢驗(yàn)。其余均能達(dá)到要求，滿足條件的預(yù)測(cè)序列灰色擬合度由高到低順序?yàn)?8 維預(yù)測(cè)序列，7 維預(yù)測(cè)序列，10 維預(yù)測(cè)序列，11 維預(yù)測(cè)序列，9 維預(yù)測(cè)序列，6 維預(yù)測(cè)序列?？梢?，8 維預(yù)測(cè)序列為最優(yōu)選擇，故選擇8 維預(yù)測(cè)序列作為預(yù)測(cè)模型。

表5 變起點(diǎn)GM(1，1)模型計(jì)算結(jié)果

3、構(gòu)建改進(jìn)的灰色馬爾科夫鏈模型

首先，將我國(guó)農(nóng)村年人均純收入的8 維預(yù)測(cè)序列的殘差劃分為以下5 種狀態(tài):

狀態(tài)1:呈明顯高估狀態(tài)，即差額與初始值之比低于－5%;

狀態(tài)2:呈高估狀態(tài)，即差額與初始值之比在－5%到－2%之間;

狀態(tài)3:較為準(zhǔn)確，即差額與初始值的之比的絕對(duì)值在2%以內(nèi);

狀態(tài)4:呈低估狀態(tài)，即差額與初始值之比在2%到5%之間;

狀態(tài)5:呈明顯低估狀態(tài)，即差額與初始值之比超過5%。

表6 我國(guó)農(nóng)村年人均純收入狀態(tài)表

表7 狀態(tài)轉(zhuǎn)移狀況表

表8 基于灰色預(yù)測(cè)結(jié)果的馬爾科夫鏈狀態(tài)向量表

表9 基于灰色預(yù)測(cè)結(jié)果的馬爾科夫鏈改進(jìn)預(yù)測(cè)結(jié)果

時(shí)間 灰結(jié)色預(yù)測(cè)果預(yù)測(cè)中值 馬爾科夫鏈預(yù)測(cè)區(qū)間 概率7978.7108－8230.6700 0.152 2013 8398.6429 8398.6429 8230.6700－8566.6158 0.696 8566.6158－8818.5750 0.152 8981.5892－9265.2183 0.1392 2014 9454.3044 9454.3044 9265.2183－9643.3905 0.7216 9643.3905－9927.0196 0.1392 10110.5238－10429.8035 0.1443 2015 10642.6566 10642.6566 10429.8035－10855.5097 0.7114 10855.5097－11174.7894 0.1443

六、結(jié)論

農(nóng)村人均純收入是我國(guó)社會(huì)經(jīng)濟(jì)發(fā)展的重要衡量指標(biāo)，對(duì)農(nóng)村農(nóng)民收入進(jìn)行系統(tǒng)量化分析尤為必要［10］。為實(shí)現(xiàn)對(duì)我國(guó)農(nóng)村年人均純收入進(jìn)行預(yù)測(cè)，可以先采用傳統(tǒng)灰色預(yù)測(cè)模型對(duì)我國(guó)2000－2010 年農(nóng)村年人均純收入時(shí)間序列進(jìn)行分析，然后采用變起點(diǎn)模型對(duì)傳統(tǒng)預(yù)測(cè)模型進(jìn)行改進(jìn)，建立多組預(yù)測(cè)序列模型，對(duì)各組預(yù)測(cè)序列按傳統(tǒng)灰色預(yù)測(cè)模型方法分別進(jìn)行預(yù)測(cè)，并對(duì)各組預(yù)測(cè)序列的預(yù)測(cè)模型進(jìn)行精度和擬合度比較，最終選擇一項(xiàng)預(yù)測(cè)序列作為最優(yōu)預(yù)測(cè)模型。在此基礎(chǔ)上又將該項(xiàng)預(yù)測(cè)序列的殘差分為多種狀態(tài)，并通過計(jì)算我國(guó)農(nóng)村農(nóng)民年人均純收入的狀態(tài)表與狀態(tài)轉(zhuǎn)移狀況表，得出轉(zhuǎn)移概率矩陣，從而求出以后各年的狀態(tài)向量，由此得出由區(qū)間和概率組成的預(yù)測(cè)范圍。這種組合預(yù)測(cè)方法可精確預(yù)測(cè)出未來各年的預(yù)測(cè)值區(qū)間及其所對(duì)應(yīng)的概率，提高了預(yù)測(cè)精度，增強(qiáng)了實(shí)踐操作性和可信度。

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