非自治時滯的半比率依賴N種群Lotka-Volterra系統(tǒng)的正周期解的存在性

秦麗華

（昌吉學(xué)院初等教育學(xué)院 新疆 昌吉 831100）

非自治時滯的半比率依賴N種群Lotka-Volterra系統(tǒng)的正周期解的存在性

秦麗華

（昌吉學(xué)院初等教育學(xué)院 新疆 昌吉 831100）

運用微分不等式和比較原理，研究具有非自治時滯的半比率依賴的LotkaVolterra系統(tǒng)的正周期解的存在性和持久性，得到一些新結(jié)果，并改進結(jié)果，加以推廣。

非自治；Lotka-Volterra系統(tǒng)；時滯；半比率依賴

0 引言

Lotka-Volterra競爭系統(tǒng)是數(shù)學(xué)生物學(xué)研究領(lǐng)域最為經(jīng)典和重要的系統(tǒng)之一，Lotka-Volterra競爭系統(tǒng)于二十世紀(jì)二十年代最初由美國種群學(xué)家Lotka研究化學(xué)反應(yīng)[1]和意大利數(shù)學(xué)家Volterra考慮魚類競爭時[2]分別獨立提出來的，由于某些原因而擱淺了三四十年，七十年代后Lotka-Volterra競爭系統(tǒng)又開始活躍起來，近幾年開始有了深度和廣度，Lotka-Volterra競爭系統(tǒng)在眾多領(lǐng)域比如：物理、化學(xué)、生物、人口、經(jīng)濟等領(lǐng)域被應(yīng)用，尤其是有些系統(tǒng)在某種變換下，總能形式的轉(zhuǎn)化成Lotka-Volterra競爭系統(tǒng)[3]。近幾年，各種數(shù)學(xué)理論在這類系統(tǒng)方面給我們展示了眾多優(yōu)美理論結(jié)果，同時提出了大量需要我們解決的問題。

本文考慮非自治時滯的半比率依賴的Lotka-Volterra系統(tǒng)模型正周期解的問題，通過研究得到具有一定功能性生物種群的一些結(jié)論，并給出了幾個猜想。

1 問題提出

近年來，捕食者—食餌兩種群相互作用關(guān)系的研究提出了比率依賴型假設(shè)，即捕食者對食餌的功能性反應(yīng)是其兩種群的密度比值函數(shù)。由于這種假設(shè)與實驗結(jié)果相吻合，因此受到了研究者的重視。文獻［4-5］研究了非自治比率依賴捕食模型的動力學(xué)性質(zhì)，其模型是

下邊由（1.1）和（1.2）分析討論改進得出非自治時滯的半比率依賴Lotka-Volterra系統(tǒng)模型

其中，i∈N={1,2,???,n}，xi(t)表示第i種群在時刻t的密度，ai(t)表示第i種群在時刻t的內(nèi)稟增長率，bij(t)表示第i種群和第j種群之間的競爭系統(tǒng)的系數(shù)。

假設(shè)（1.3）系統(tǒng)的初始條件是xi(ω)=φi(ω),ω∈[-τM,0]，φi(0)＞0，i=1,2,???,nφi(ω)∈C([-τM,0],R+)（1.4）

文獻［8］利用迭合度理論得到了（1.3）至少存在一個正周期解的充分條件為：

本文對任意定義于R+上的周期函數(shù)都定義為：。將以上工作稍作改進，去掉（1.5）的持久性，并根據(jù)文獻［9］的理論得到（1.3）至少存在一個正周期解。

2 預(yù)備知識

為了研究（1.3）周期解的存在性，我們給出如下假設(shè)：

(H1)ai(t)，bij(t)均是連續(xù)嚴(yán)格的ω周期函數(shù)；τ(t)是非負(fù)連續(xù)的可微ω函數(shù)；；

(H3)在討論（1.3）系統(tǒng)時都限制在第一象限；

(H4)設(shè)有泛函微分方程

t∈R,x(t)=(x1(t),x2(t),???,xn(t))∈Rn和 xi=x(t+σ),σ∈[-τ,0]，由泛函方程理論知對任何(t0,Φ)∈R×Cn[-τ,0]，方程滿足初值條件xt0=Φ的解x(t,t0,Φ)是唯一存在的。

(H5)設(shè)τ＞0且為常數(shù)，記Cn[-τ,0]是定義在[-τ,0]上的n維連續(xù)實函數(shù)組成的banach空間，設(shè)F是定義在R×Cn[-τ,0]上的n維連續(xù)實泛函數(shù)，在t∈R,ω為周期，對一切

(t,Φ)∈R×Cn[-τ,0]時F(t,Φ)=(f1(t,Φ),f2(t,Φ),???,fn(t,Φ))且滿足李普希茨條件。

引理2.1系統(tǒng)（1.3）所滿足的初值條件的解是正的，即t＞0時，xi(t)＞0。

證明：根據(jù)(H5)以及上面給定的假設(shè)，由泛函微分方程的理論可知，對任意(t0,Φ)∈R×Cn[-τ,0]泛函微分方程（2.1）的解是存在且唯一的。則（1.3）所滿足的初值條件的解是正的。

持久性：系統(tǒng)（1.3）是持久的，如果存在正整數(shù)m和M使得對任何Φ∈Cn[-τ,0]，

系統(tǒng)（2.1）的正解x(t,0,Φ)=(x1(t,0,Φ),x2(t,0,Φ),???,xn(t,0,Φ))都有

再根據(jù)引理2.1很容易得出引理2.2

引理2.2 系統(tǒng)（1.3）是持久的，則它一定存在正周期解。

3 主要結(jié)果

定理3.1假設(shè)(H1)(H2)成立，對系統(tǒng)（1.3）的任何正解(x1(t),x2(t),???,xn(t))

令M=max{M1,M2}最終得到。

定理3.2假設(shè)(H1)(H2)成立，系統(tǒng)（3.1）是持久的。對任何正解(x1(t),x2(t),???,xn(t))

即存在m,M＞0使得

證明：由以下幾個命題來證明

命題3.1對于系統(tǒng)（1.3）的任何正解(x1(t),x2(t),???,xn(t))

證明：用反證法

假如前面的泛函微分方程不成立，存在T1＞0,

這樣這個命題成立。

命題3.2對于系統(tǒng)(1.3)的任何正解(x1(t),x2(t),???,xn(t))，存在常數(shù)m1＞0,使得

存在兩個序列由最終有界性進一步推算出矛盾。

命題3.3對于系統(tǒng)(1.3)的任何正解(x1(t),x2(t),???,xn(t)),存在常數(shù)mi+1＞0,

證明：由命題3.2中的結(jié)論，結(jié)合（1.3）方程得到

令M=min{m1,m2}對任何正解(x1(t),x2(t),???,xn(t))即可得證。

4 結(jié)論

本文將文獻［10］的模型進行改進，轉(zhuǎn)化成Lotka-Volterra競爭系統(tǒng)，利用文獻［10］的某些性質(zhì)對其進行推廣，更具有一般性。通過對半比率依賴的Lotka-Volterra系統(tǒng)模型的研究得出，單種群、兩種群和三種群的生態(tài)模型如果經(jīng)過一定功能性的改良而成Lotka-Volterra系統(tǒng)，能得到以下一些猜想：具有時滯的全比率、一定比率的變時滯的離散的、半比率的反應(yīng)擴散的Lotka-Volterra的正周期解是存在性的；具有時滯的模糊的統(tǒng)計概率型的、變時滯的混沌的全比率的Lotka-Volterra是能夠自適應(yīng)同步的和指數(shù)同步的。

研究以上關(guān)于Lotka-Volterra種群系統(tǒng)的猜想，并討論其結(jié)果必將會對進一步的研究起到指導(dǎo)作用。

［1］Volterra V.Variations and Fluctuations in the Numbers of Coexisting Animal Species.Berlin;Springer-Verlay，1928.

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［5］王琳琳，周澤華.非自治比率依賴捕食-食餌系統(tǒng)的定性分析［J］.蘭州理工大學(xué)，2006，32（1）：138-141.

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［8］X Ding，C Lu，M Liu.Periodic solution for a semi-ratio-dependent predator-prey system with nonmonotonic function al response and time delay［J］.Nonlinear anal:real world applications，2008，9:762-775.

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0175.12

：A

：1671-6469（2013）02-0069-04

2013-02-11

昌吉學(xué)院校級課題《微分方程捕食模型對生態(tài)的影響與應(yīng)用性研究》（2012SSQD001）階段性成果。

秦麗華（1966-），昌吉學(xué)院初等教育學(xué)院，講師，研究方向：常微分方程動力學(xué)和數(shù)學(xué)教學(xué)研究。