二階變系數(shù)線性常微分方程的約化①

竇彩玲

(安徽師范大學(xué)數(shù)學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，安徽蕪湖241000)

0 引 言

本文考慮二階變系數(shù)線性常微分方程

的約化和求解，其中f(x)，g(x)為充分光滑函數(shù).

在文獻(xiàn)［1，2］中，作者考慮常系數(shù)線性常微分方程

形如y = z(x)eλp(x)的解，并將方程(2)約化為關(guān)于λ 的一元二次代數(shù)方程

這里以及下文中A，B 為任意常數(shù)，λ 為滿足(3)的待定常數(shù).代數(shù)方程(3)又稱為方程(2)的特征方程.在求解歐拉方程

的解時(shí)，利用變量代換x = et將方程轉(zhuǎn)化為形如(1)的常系數(shù)線性常微分方程，從而得到方程(4)形如y = xλ形式的解.事實(shí)上，考慮方程(4)形如y= xλ的解，也可以將方程(4)約化為關(guān)于λ 的一元二次代數(shù)方程. 在文獻(xiàn)［3］中，Ibragimovk 通過(guò)對(duì)稱群方法，指出方程

也可以約化為關(guān)于λ 的一元二次代數(shù)方程(3)，并且有形如

的解.在文獻(xiàn)［4 ～8］中，人們利用待定常數(shù)法或者變量代換法，將一些變系數(shù)線性常微分方程約化為代數(shù)方程.

在本文中，利用待定常數(shù)法，我們考慮具有形如

的解的二階變系數(shù)線性常微分方程(1)，并將方程(1)轉(zhuǎn)化為形如(3)的代數(shù)方程. 事實(shí)上，當(dāng)z(x)= 1，p(x)= x 時(shí)，(7)就是形如y = eλx的解;當(dāng)z(x)= 1 且p(x)= ln x 時(shí)，(7)就是形如y = xλ的解;當(dāng)時(shí)，(7)就是形如(6)的解;當(dāng)z(x)= 1 時(shí)，(7)就是文獻(xiàn)［5，6］中考慮的解;因此，解(7)具有一般形式. 在下文中考慮p(x)≠1 的情形.

1 主要結(jié)果

1.1 方程(1)的約化

將y = z(x)eλp(x)代入方程(1)，整理后，有

令

由(8)和(9)得

因此，有下面的定理成立.

定理1 變系數(shù)線性常微分方程

可約化為代數(shù)方程

其中

這里z(x)，p(x)任意函數(shù)，A，B 為任意常數(shù).

1.2 二階變系數(shù)線性常微分方程(10)的解

定理2 設(shè)Δ = A2- AB，則方程(10)的解具體如下:

(1)當(dāng)Δ ＞0 時(shí)，方程(11)有兩個(gè)不相等的實(shí)根，設(shè)為λ1，λ2，則方程(10)的通解為

其中C1，C2為任意常數(shù);

(2)當(dāng)Δ ＜0 時(shí)，方程(11)有一對(duì)共軛復(fù)數(shù)根，設(shè)為λ1，2= α ± iβ，此時(shí)方程(10)的通解為y(x)=［C1cos(βp(x))+C2sin(βp(x))］z(x)eαp(x)其中C1，C2為任意常數(shù);

(3)當(dāng)Δ = 0 時(shí)，方程(11)有兩個(gè)相等實(shí)根，設(shè)為λ1，2= λ，則方程(10)的通解為

其中C1，C2為任意常數(shù).

證明 在情形(1)，(2)中，結(jié)論顯然.這里主要給出第三種情形的證明. 這種情形中，方程(11)有兩個(gè)相等實(shí)根，并且有已知方程(10)的一個(gè)解為y1(x)= z(x)eλp(x). 令y2(x)= u(x)z(x)eλp(x)，u(x)為待定函數(shù).則有

把上述y'(x)，y″(x)代入方程中(10)中，可以得到一個(gè)關(guān)于u(x)的方程

求解后可得到方程(10)的通解

其中C1，C2為任意常數(shù).

注 通過(guò)常數(shù)變易法，也可得到方程(10)對(duì)應(yīng)的非齊次線性方程的通解，其中h(x)為連續(xù)函數(shù).

2 例 題

例1 在方程(10)中，令z(x)= 1 且p(x)=x2，A = -2，B = 1，此時(shí)方程(10)變?yōu)?/p>

它的特征方程為λ2-2λ +1 = 0，且有二重根λ =1.此時(shí)，方程(12)的通解為

其中C1，C2為任意常數(shù).

例2 在方程中(10)，令z(x)= x2且p(x)=x，A = -2，B = 3，此時(shí)方程(10)變?yōu)?/p>

且可被約化為代數(shù)方程

其中C1，C2為任意常數(shù).

3 結(jié) 論

本文通過(guò)待定系數(shù)法將一類二階變系數(shù)線性常微分方程約化為代數(shù)方程，從而得到一類具有形如y = z(x)eλp(x)的解的變系數(shù)線性常微分方程，這類解包含了二階常系數(shù)線性常微分方程和歐拉方程的解，具有一般形式.

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