模型論中有關(guān)代數(shù)閉域的一個性質(zhì)①

張 龍， 陳國龍， 萬展翔

(淮北師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，安徽 淮北235000)

0 引 言

一個可以寫成a0+a1x+a2x2+…+akxk(ai∈R，k 是大于或等于零的整數(shù))叫做R 上x 的一個多項式，ai叫做多項式的系數(shù). 在數(shù)學(xué)上，一個域F被稱作代數(shù)閉域，當(dāng)且僅當(dāng)任何系數(shù)屬于F 且次數(shù)大于零的單變量多項式在F 里至少有一個根. 另外，本文在定理的證明過程中會用到較多的字母符號，所以有些字母符號用起來比較隨意，但這些符號的含義明確并不影響讀者的理解.

1 基本概念

定義1［1］設(shè)R 為環(huán)，I 為R 的非空子集，如果I 滿足

(i)對任意的r1，r2∈I，r1- r2∈I;

(ii)對任意的r ∈I，s ∈R，rs，sr ∈I.

則稱I 為環(huán)R 的一個理想，記作I?R.又如果I ?≠R中，則稱I 為R 的真理想. 若R 為一個交換幺環(huán)，R的一個理想M ≠R 而且不在存在理想A 使得M ?≠A ?≠R，則M 叫做R 的一個極大理想.

定義2［2］n 個元x1，x2，…，xn叫做R 上的無關(guān)未定元，假如任何一個R 上的x1，x2，…，xn的多項式都不等于零，除非這個多項式的系數(shù)都等于零.

定義3［3］設(shè)μ，β 是語言L 的模型.如果對L中每一語句φ 都有:μ 滿足φ 當(dāng)且只當(dāng)β 滿足φ，則稱μ，β 為初等等價的，記作μ ≡β.

設(shè)T 是L 中的理論.如果對于T 的任何模型μ，β 都有μ ≡β，則稱T 為完全理論.當(dāng)T 適合下列條件時，稱為模型完全的:對T 的任何模型μ ≡β.若μ?β，則μ ?β.

定理1［3］令L = {+，·，0，1}，令T 為代數(shù)閉域的理論，則T 是模型完全的.

2 主要結(jié)論

定理: l1q1+l2q2+… +lkqk= 1 的充分必要條件是q1，q2，…，qk在G 的每一擴域中沒有公共解.其中G 為任意代數(shù)閉域，Q = G［a1，a2，…，an］為G 上n 個不相關(guān)不定元a1，a2，…，an的多項式環(huán)，q1，a2，…，qn∈Q.

證明: 下面先證充分性:

這里要用反證法來證明，假設(shè)q1，q2，…，qk在G 的每一個擴域中都沒有公共解，但是l1q1+l2q2+… + lkqk不等于1.

現(xiàn)在用F 來表示q1，q2，…，qk在Q 中生成的理想，即F = {eq1+ e2q2+ …ekqk:e1，e2，…，ek∈Q}.由假設(shè)l1q1+l2q2+…lkqk不等于1 知，1 ?F，所以F 是Q 的真理想. 從而，F(xiàn) 肯定被包含在Q 的一個極大理想N 中. 令M 為剩余類環(huán)Q/A，則M 為一域，并且還可得G ?M.

下面考慮M 中的元素bi= ［ai］(這里的bi=［ai］指的是ai所在的剩余類)(i = 1，2，…，n)，那么就有qj(b1，b2，…，bn)= ［qj(a1，a2，…，an)］，(j= 1，2，…，k)，但是由qj(a1，a2，…，an)∈F ?A知，［qj(a1，a2，…，an)］= ［0］(M 的零元).

所以綜上可得(b1，b2，…，bn)是q1，q2，…，qk在M 中的一組公共解，此和q1，q2，…，qk在G 的每一擴域中無公共解矛盾.因而充分性得證.

接下來我們證必要性:

這里還需要用到反證法. 假設(shè)l1a1+ l2q2+ …+ lkqk= 1，但是q1，q2，…，qk在G 的某一擴域B1中有公共解，則它們也在B 的代數(shù)閉包B1中有公共解.所以B1滿足(?x1，x2，…，xn)(q1(x1x2…xn)≡0 ∧qk(x1x2…xn)≡0)，但是G ?B1都為是閉域，因此由B1滿足(?x1x2…xn)(q1(x1x2…xn)≡0 ∧…qk(x1x2…xn)≡0)和代數(shù)閉域理論的模型完全性可知，G 滿足(?x1x2…xn)(q1(x1x2…xn)≡0 ∧…qk(x1x2…xn)≡0)(這里需要解釋一下，由于每個 qi(a1a2…an) 系 數(shù) 都 在 G 中， 所 以(?x1x2…xn)(q1(x1x2…xn)≡0 ∧…qk(x1x2…xn)≡0)(fα1fα2…fαm)，其 中α1，α2，…，αm∈G，而(?x1x2…xn)(q1(x1x2…xn)≡0 ∧…qk(x1x2…xn)≡0)(v1v2…vm)為L = {+，·，0，1}中含有自由變量 v1，v2，…，vm的 公 式. 因 此 B1滿 足(?x1x2…xn)(q1(x1x2…xn)≡0 ∧…qk(x1x2…xn)≡0)(v1v2…vm)［α1α2…αm］，又因為G ?B1，所以有G 滿 足(?x1x2…xn)(q1(x1x2…xn)≡0 ∧…qk(x1x2…xn)≡0)(v1v2…vm)［α1α2…αm］，也就是G 滿 足(?x1x2…xn)(q1(x1x2…xn)≡0 ∧…qk(x1x2…xn)≡0))但是由l1q1+l2q2+…lkqk等于1 知，q1，q2，…，qk在G 中沒有公共解，所以存在矛盾.因而必要性得證.

［1］ 韓士安，林磊.近世代數(shù)［M］.北京:科學(xué)出版社，2004:134.

［2］ 張禾瑞. 近世代數(shù)基礎(chǔ)［M］. 北京:高等教育出版社，2005:107.

［3］ 王世強..模型論基礎(chǔ)［M］.北京:科學(xué)出版社，1987:23 -24.