電阻網(wǎng)絡(luò)Y—△變換恒等式

吳好

(鎮(zhèn)江中學(xué) 江蘇 鎮(zhèn)江 212017)

在某些復(fù)雜的電路中往往會(huì)遇到電阻的Y型接法[如圖1(a)]或△型接法[如圖1(b)]．有時(shí)需要將Y型聯(lián)接代換成等效的△型聯(lián)接，或?qū)ⅰ餍吐?lián)接代換成等效的Y型聯(lián)接，從而達(dá)到對(duì)電路進(jìn)行簡(jiǎn)化計(jì)算的目的．兩種變換的關(guān)系不太容易記住，如果在記憶方法上有所突破，就會(huì)對(duì)學(xué)生準(zhǔn)確運(yùn)用規(guī)律處理實(shí)際問(wèn)題帶來(lái)方便．

本文在對(duì)電路元件為電阻的情形進(jìn)行討論的基礎(chǔ)上，提出了“Y—△變換恒等式”，為方便記憶給出口訣，并通過(guò)例題說(shuō)明了Y—△的變換方法．

1 兩種類(lèi)型網(wǎng)絡(luò)的變換式

(1)將Y型網(wǎng)絡(luò)變換成△型網(wǎng)絡(luò)的變換式

(1)

(2)

(3)

(2)將△型網(wǎng)絡(luò)變換成Y型網(wǎng)絡(luò)的變換式

(4)

(5)

(6)

2 兩種類(lèi)型網(wǎng)絡(luò)的變換式的證明過(guò)程

等效代換要求Y型聯(lián)接三個(gè)端點(diǎn)間的電壓U12,U23,U31以及流進(jìn)三個(gè)端點(diǎn)的電流I1,I2,I3與△型聯(lián)接對(duì)應(yīng)部分完全相同．本文假設(shè)流進(jìn)三個(gè)端點(diǎn)的電流方向以及△型聯(lián)接每個(gè)電阻的電流方向如圖1所示．

圖1

2．1 證明方法一

根據(jù)Y型網(wǎng)絡(luò)有

I1R1-I2R2=U12

I2R2-I3R3=U23

I1+I2+I3=0

可以得到

(7)

根據(jù)△型網(wǎng)絡(luò)可以得出

I2+I12=I23

聯(lián)立可以得到

(8)

由(7)、(8)兩式得

U12與U23取不同數(shù)值時(shí)上式恒成立的條件是，U12與U23的系數(shù)均為零.根據(jù)U12與U23的系數(shù)為零容易得到(1)、(2)兩式;按照類(lèi)似的方法可以得到式(3)．

將式(1)、(2)、(3)相加并化簡(jiǎn)得到

將式(1)和(3)、式(1)和(2)、式(2)和(3)分別代入上式可以得到式(4)、(5)、(6)．

2．2 證明方法二

根據(jù)Y型網(wǎng)絡(luò)與△型網(wǎng)絡(luò)“1，2”間、“2，3”間、“3，1”間的電阻對(duì)應(yīng)相等得到

(9)

(10)

(11)

將(9)、(10)、(11)三式相加得

(12)

分別聯(lián)立式(10)和(12)、式(11)和(12)、式(9)和(12)得到式(4)、(5)、(6),將式(4)、(5)、(6)兩兩相乘再相加并化簡(jiǎn)得到

(13)

再將式(4)、(5)、(6)分別代入式(13)容易得到式(1)、(2)、(3)．

3 Y—△變換恒等式

利用式(1)、(2)、(3)、(13)，或式(4)、(5)、(6)、(13)可以得到“Y—△變換恒等式”

R1R2+R2R3+R3R1≡

(14)

利用式(14)的左邊關(guān)系式等于右邊關(guān)系式得到式(1)～(3), 利用式(14)的中間關(guān)系式等于右邊關(guān)系式得到式(4)～(6).

“Y—△變換恒等式”的記憶口訣是：“星型電阻積之和、角型電阻積比和、星角相對(duì)積全等”．

很顯然，利用“Y—△變換恒等式”并結(jié)合記憶口訣很容易推出式(1)～(6)，并便于記憶.

4 例題

【例1】如圖2(a)所示，一個(gè)立方體原來(lái)用12根相同的電阻絲構(gòu)成立方體框架，每根電阻絲的電阻均為r，現(xiàn)將其中一根拆去，求A，B兩點(diǎn)間的電阻．

圖2