小學(xué)數(shù)學(xué)解方程教學(xué)的思考

根據(jù)課程標(biāo)準(zhǔn)編寫的教材在解方程教學(xué)的編排與以前舊教材相比有很大的不同。舊教材是讓學(xué)生熟記四則運算各部分之間的關(guān)系，利用四則運算各部分之間的關(guān)系來解方程。而新教材則是通過探索、理解等式的基本性質(zhì)，再應(yīng)用等式的基本性質(zhì)來解方程。正是由于這種變化，在教學(xué)實踐中出現(xiàn)了一系列問題，筆者對這些問題進(jìn)行了思考，找出了一些解決問題的辦法。現(xiàn)提出來，敬請各位同仁批評指正。

問題一：例如3x-7+7化簡為3x如何教學(xué)？

我們先看一個解方程的實例：

3x-7=8

解：3x-7+7=8+7 ……①

3x=15 ……②

3x÷3=15÷3

x=5

在這個實例中，第②步3x-7+7化簡為3x。類似這樣的化簡有x+4-4化簡為x、2x÷2化簡為x……只要是運用等式的基本性質(zhì)解方程就一定會用到這樣的化簡。而這樣的化簡在教材中沒有作任何說明和鋪墊，似乎“地球人都知道”。絕大部分教師在教學(xué)中只是強(qiáng)調(diào)這是“抵銷”了，學(xué)生也只是糊里糊涂地照著做。

當(dāng)然，在第三學(xué)段即初中教學(xué)中，這不是個問題。因為學(xué)生在學(xué)習(xí)解方程之前已經(jīng)學(xué)習(xí)了“互為相反數(shù)的兩個數(shù)的和是0”“互為倒數(shù)的兩個數(shù)的積是1”等知識。而這恰恰是上面所說“抵銷”的知識基礎(chǔ)?？墒切W(xué)生學(xué)習(xí)解方程是在五年級，并沒有以上的知識基礎(chǔ)。所以這是小學(xué)生學(xué)習(xí)用等式的基本性質(zhì)解方程的一個障礙。

解決辦法：添加“抵銷規(guī)律”的教學(xué)。

筆者認(rèn)為，解決的辦法是在教學(xué)解方程之前，教材中或至少在教師的教學(xué)中應(yīng)添加“抵銷規(guī)律”的教學(xué)，即引導(dǎo)學(xué)生通過對一系列的算式（例如，計算下面各題，請仔細(xì)觀察，看你發(fā)現(xiàn)了什么？49+8-8，36.3-1.25+1.25+-；130×4÷4，8.7÷0.3×0.3，÷×）的觀察讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)并總結(jié)“抵銷規(guī)律”：一個數(shù)先加上a再減去a或者先減去a再加上a，還得原數(shù)；一個數(shù)先乘以a再除以a或者先除以a再乘以a，還得原數(shù)（a不為0）。還可以讓學(xué)生想一想為什么會有這樣的規(guī)律，以加深對此規(guī)律的理解。

有了這樣的認(rèn)知基礎(chǔ)后，再教學(xué)利用等式的基本性質(zhì)解方程，在進(jìn)行類似于“3x-7+7化簡為3x”的化簡過程時就沒有認(rèn)知障礙了。

問題二：形如a-x=b、a÷x=b方程的解法如何教學(xué)？

運用等式的基本性質(zhì)解a-x=b、a÷x=b的方程，過程會較為復(fù)雜。而按老教材教法，運用四則運算各部分的關(guān)系來解，過程會很簡潔。正因為運用等式的基本性質(zhì)解過程復(fù)雜，課程標(biāo)準(zhǔn)教材回避了這類方程。但實際上這樣的方程是沒法回避的，學(xué)生在做練習(xí)、測驗或解決生活中的實際問題時常會碰到。

目前大部分教師實際教學(xué)中用“兩條腿走路”，既教學(xué)利用等式的基本性質(zhì)解方程，又教學(xué)利用四則運算各部分的關(guān)系解方程。筆者認(rèn)為這樣教學(xué)，一方面是加重了學(xué)生學(xué)習(xí)的負(fù)擔(dān)，對于學(xué)困生更會產(chǎn)生思維上的混淆；另一方面是沒能深入領(lǐng)會課程標(biāo)準(zhǔn)及教材的精神。五年級數(shù)學(xué)《 教師教學(xué)用書 》上指出：“長期以來，在小學(xué)教學(xué)簡易方程，方程變形的依據(jù)總是加減運算的關(guān)系或乘除運算之間的關(guān)系?！边@實際上是用算術(shù)的思路求未知數(shù)。到了中學(xué)重新學(xué)習(xí)依據(jù)等式的基本性質(zhì)或方程的同解原理解方程，而且小學(xué)的思路及其算法掌握得越牢固，對中學(xué)代數(shù)起步教學(xué)的負(fù)遷移就越明顯?，F(xiàn)在，根據(jù)課程標(biāo)準(zhǔn)的要求，從小學(xué)起就引入等式的基本性質(zhì)，并以此為基礎(chǔ)導(dǎo)出解決方程的方法，這就較為徹底地避免了同一內(nèi)容兩種思路、兩種算理解釋的現(xiàn)象，有利于加強(qiáng)中小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的銜接。

解決辦法：不回避，堅持運用等式基本性質(zhì)。

筆者認(rèn)為，解決的辦法是教材中不回避形如a-x=b、a÷x=b的方程。再說了，初中也沒有教學(xué)這樣方程的解法，小學(xué)不學(xué)，什么時候?qū)W？教學(xué)中教師仍引導(dǎo)學(xué)生運用等式的基本性質(zhì)解，先把方程兩邊同時加上x或同時乘以x（這時應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生弄清這里的x不可能是0），然后將方程兩邊進(jìn)行交換，再把方程兩邊同時減去b或同時除以b。

問題三：形如4x+2（8-x）=26（人教版教材六年級上冊第114頁）的方程解法如何教學(xué)？

《 義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn) 》（2011年版）在第二學(xué)段目標(biāo)中指出要讓學(xué)生“會（能）解簡單的方程”。這里所說的“簡單的方程”簡單到什么程度沒有明確說明，以前所實行的教學(xué)大綱中明確說明了方程只講到ax±b=c及ax±bx=c的方程。

由于難易程度沒有明確，人教版小學(xué)數(shù)學(xué)六年級上冊教材第114頁在教學(xué)雞兔同籠問題（籠子里有若干只雞和兔。從上面數(shù)，有8個頭，從下面數(shù)，有26只腳。雞和兔各有幾只？）時，出現(xiàn)了4x+2（8-x）=26的方程。從原教學(xué)大綱中ax±bx=c的方程到現(xiàn)在4x+2（8-x）=26的方程，這中間的跨度太大。我們先看看它的解答過程。

4x+2（8-x）=26

4x+（2×8-2x）=26 ……①

4x+（16-2x）=26 ……②

4x+16-2x=26 ……③

4x-2x+16=26 ……④

2x+16=26

2x=10

x=5

從初中所學(xué)的有理數(shù)的角度看，其中第③步實質(zhì)上是運用了加法結(jié)合律，第④步實質(zhì)上是運用了加法交換律。這些對于初中學(xué)生來說很容易理解，但對于小學(xué)生來說，由于沒有學(xué)習(xí)有理數(shù)的加減法，無法理解“減去一個數(shù)，就是加上這個數(shù)的相反數(shù)”的道理，因此也無法理解上面的第③、第 ④步是運用了加法結(jié)合律和加法交換律。

解決辦法：提早認(rèn)識兩條規(guī)律。

（1）讓學(xué)生認(rèn)識“同一級運算，可以帶著符號搬家”的規(guī)律。

在教學(xué)人教版四年級下冊第三單元“運算定律與簡便運算”中的第39頁“簡便計算”的例1時，當(dāng)學(xué)生用到課本中的第三種方法時，可以向?qū)W生介紹：這里234-66-34=234-34-66實際上是將34帶著它前面的符號“-”搬家了，將“-34”搬家到了234的后面。這個方法可以叫做“帶著符號搬家”。那么在哪種情況下可以“帶著符號搬家”？讓學(xué)生舉例說明。學(xué)生若舉例不成，教師可以舉例，根據(jù)所舉例子讓學(xué)生歸納規(guī)律：“在只有加減法的算式里，可以帶著符號搬家?！?/p>

同樣地，在教學(xué)第43頁例題時，當(dāng)學(xué)生用到這種算法“1250÷25÷5=1250÷5÷25”時，也向?qū)W生說明這實際上是運用了“帶著符號搬家”的規(guī)律，這又是在什么情況下運用這個規(guī)律的？在只有乘除法的情況下可以用嗎？讓學(xué)生舉例驗證后小結(jié)：“在只有乘除法的算式里，可以帶著符號搬家。”進(jìn)而讓學(xué)生將本條規(guī)律與上一條規(guī)律合在一起歸納為“同一級運算，可以帶著符號搬家”。

學(xué)生認(rèn)識了“同一級運算，可以帶著符號搬家”的規(guī)律后，問題三解方程中的第④步就可以解釋為“同一級運算，可以帶著符號搬家”。

（2）補(bǔ)充教學(xué)“去括號”的規(guī)律。

在四年級下冊第三單元“運算定律與簡便運算”中，當(dāng)學(xué)生已學(xué)習(xí)了加法結(jié)合律和減法性質(zhì)后，可補(bǔ)充教學(xué)“去括號”的規(guī)律?？梢韵纫龑?dǎo)學(xué)生觀察加法結(jié)合律和減法性質(zhì)的字母式子：a+（b+c）=a+b+c和a-（b+c）=a-b-c，想一想a+（b-c）= ，a-（b-c）=

。并讓學(xué)生舉例驗證，最后讓學(xué)生小結(jié)加減法中去括號的規(guī)律。

問題三解方程中的第③步就可以解釋為運用了“去括號”的規(guī)律。

事實上這兩條規(guī)律，不僅在解復(fù)雜的方程中用到，而且在四年級開始學(xué)習(xí)的簡便計算中常常被用到，非常實用，應(yīng)讓學(xué)生提前認(rèn)識。

問題四：形如2x+4（8-x）=26（人教版教材六年級上冊第114頁）的方程解法如何教學(xué)？

剛才解決了雞兔同籠問題中的一類方程的解法，當(dāng)時是設(shè)兔有x只的。如果是設(shè)雞有x只，那么就會列出2x+4（8-x）=26的方程。對于小學(xué)生來說，解這個方程更難。我們還是先看看它的解答過程。

2x+4（8-x）=26

2x+（4×8-4x）=26 ……①

2x+（32-4x）=26 ……②

2x+32-4x=26 ……③

32-2x=26 ……④

2x=6

x=3

可以看出即使學(xué)生認(rèn)識了“同一級運算，可以帶著符號搬家”“去括號”的規(guī)律，要想正確解上面的方程仍會有困難，難就難在第④步。

實際教學(xué)中教師常常采用回避的辦法，告訴學(xué)生設(shè)腳多的動物為x只，解方程容易些。

如果不回避，那么怎樣幫助學(xué)生突破這個難點呢？

解決辦法：讓學(xué)生掌握“有加有減，抵銷一部分”的方法。

讓學(xué)生化簡下面式子，并觀察，看能否找出快速化簡的好辦法。

a+5-8，b+7-1，x-9+4，y-2+10。

如果學(xué)生化簡有困難，可以a+5-8為例講解化簡方法。

a+5-8=a+5-（5+3）……將加數(shù)5和減數(shù)8中 較大的一個數(shù)進(jìn)行拆分

=a+5-5-3 ……運用減法的性質(zhì)

=a-3 ……運用“抵銷的規(guī)律”

再讓學(xué)生想一想如果省略第一步、第二步，可以怎么化簡？完成以上化簡后，引導(dǎo)學(xué)生小結(jié)“有加有減，抵銷一部分”的方法：“加上一個數(shù)又減去另一個數(shù)，或是減去一個數(shù)又加上另一個數(shù)，要看是加得多，還是減得多。如果是加得多，最后結(jié)果仍是加上幾，如果是減得多，最后結(jié)果仍是減去幾；最后加上或減去的數(shù)是原算式中加數(shù)與減數(shù)的差?！边@個方法實際上是初中數(shù)學(xué)中正數(shù)與負(fù)數(shù)相加加法法則的小學(xué)化。

學(xué)生掌握了“有加有減，抵銷一部分”的方法后，再遇到類似于2x+32-4x=26這樣的方程，可以先運用加法交換律，變形為32+2x-4x=26，再運用“有加有減，抵銷一部分”的方法進(jìn)行化簡變形，得到32-2x=26，進(jìn)而解得結(jié)果。

綜上所述，按現(xiàn)行課程標(biāo)準(zhǔn)和現(xiàn)在的人教版教材教學(xué)解方程，需要教師補(bǔ)充教學(xué)“抵銷規(guī)律”“同一級運算，可以帶著符號搬家”“去括號”“有加有減，抵銷一部分”這四個規(guī)律或方法。只有這樣才能掃清學(xué)生學(xué)習(xí)解方程的知識和技能障礙，為提高學(xué)生解方程的能力打下堅實的基礎(chǔ)，幫助學(xué)生消除對解方程的畏難情緒，達(dá)到會學(xué)、樂學(xué)的目的。

（作者單位：武漢市前川五小，湖北 武漢，430300）