談小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的“稀釋”問題

數(shù)學(xué)的教學(xué)，借用化學(xué)科術(shù)語來說，是一個“稀釋”的過程。教材本身就是濃縮的產(chǎn)物，是眾人智慧的結(jié)晶。教師應(yīng)該深入思考這樣一些問題：教材為什么要引入這些內(nèi)容？教學(xué)中又應(yīng)如何對教材進行“稀釋”處理才符合科學(xué)性的要求，包括正確體現(xiàn)數(shù)學(xué)的本質(zhì)以及學(xué)生的認知發(fā)展規(guī)律？教材是可供我們加工和創(chuàng)造的，只有將教材的邏輯序列、認識序列、情感序列和學(xué)生認知水平高度結(jié)合起來，根據(jù)學(xué)生的學(xué)情與對教材的深切領(lǐng)悟進行適度的“稀釋”，與學(xué)生的不同認知起點進行不同的配比，才能找到適合學(xué)生學(xué)力的真正切入點。

一、現(xiàn)狀掃描

現(xiàn)象一：抱住教材，把教材作為教學(xué)的樣板是否就是對教材的最好解讀

恪守教材不敢越雷池半步，把教材中的每一段、每一個知識點，都要掰開揉碎，繁說細講，生怕有半點遺漏。教學(xué)《 筆算乘法 》時，一位教師按照課本創(chuàng)設(shè)的情境，先出示了3個裝有12支粉筆的粉筆盒，然后引導(dǎo)學(xué)生提出問題“一共有多少支粉筆？”接著讓學(xué)生想辦法算出12×3。學(xué)生想出了口算方法和用豎式計算兩種方法，可教師還不罷休，一味地追問：“還有別的方法嗎？”學(xué)生只好絞盡腦汁又想出幾種，最后教師終于按捺不住了，說：“還可以這么算：12+12+12=36（支）?！痹趩柕健盀槭裁匆欢ㄒ鲞@一方法”時，教師的回答是：“教材里有這種方法呀，那就一定要展現(xiàn)給學(xué)生看?！比绻處熤徽瞻嵴粘匕堰B加方法告訴學(xué)生，不深入解釋其中的“別有用意”，加法、乘法在學(xué)生眼里始終是分離的。計算教學(xué)中，教材往往會呈現(xiàn)幾種不同的計算方法，但不能因為教材中呈現(xiàn)了，就把這些方法簡單地呈現(xiàn)給學(xué)生。這種如“斷源之水”的方法，又怎能激蕩起學(xué)生頭腦里的思維漣漪。

現(xiàn)象二：簡單加減，把教學(xué)演變成熱鬧的“課堂劇”是否就是對教材的最佳整合

我們經(jīng)常會見到這樣一些現(xiàn)象：教師為了標新立異，把教材擱置一旁，對教學(xué)內(nèi)容重新創(chuàng)編，從例題到習(xí)題來個徹底大換血，教材理解和把握失當(dāng)致使例題的更換有“形”無“實”，詮釋運用失實使得情境的創(chuàng)設(shè)舍本逐末，忽視了目標的有效落實，弱化了教材的承載功能，脫離教材，完全忽略教材本身存在的價值，沒有收到預(yù)期的效果。

一位教師在教學(xué)《 小數(shù)點移動引起小數(shù)大小變化 》時，創(chuàng)設(shè)了山羊開快餐店的課堂場景：教師將課本中的主題圖制作成顏色艷麗、變靜為動、虛擬現(xiàn)實的課件，熱熱鬧鬧地播放給學(xué)生看。教師本想把學(xué)生的思維定格在小數(shù)點左右移動引出數(shù)的大小變化上，但學(xué)生卻停留在價格的討論上（根本沒有0.04元的快餐），甚至爭得面紅耳赤，反而不去探究小數(shù)點是怎么移動的。精彩課堂應(yīng)該是為教學(xué)服務(wù)的，是為了追求更好的教學(xué)效果的，是能切切實實促進學(xué)生思維發(fā)展的。

現(xiàn)象三：無度延展，是否就是教師所謂的熱門的“教學(xué)功夫”

教師把開發(fā)教材理解為調(diào)換教材內(nèi)容或活動設(shè)計上，而忽略了“課程是為學(xué)生提供學(xué)習(xí)經(jīng)歷并獲得學(xué)習(xí)經(jīng)驗”的觀念，出現(xiàn)了對于稀釋教材的狹隘的、片面的理解。

有位教師在執(zhí)教《 分數(shù)的意義 》時，讓學(xué)生課前搜集資料，說說分數(shù)是怎么產(chǎn)生的。課上，學(xué)生紛紛介紹了分數(shù)最初的表現(xiàn)形式，十幾分鐘過去了，他們還沉浸在熱烈的交流中。在教學(xué)中，對分數(shù)產(chǎn)生的無度的延展，使學(xué)生的思維始終停留在資料的淺層交流中，忽略了“分數(shù)意義”的深層學(xué)習(xí)，導(dǎo)致課堂教學(xué)目標偏離，造成教學(xué)效益低下。整節(jié)課始終在“數(shù)學(xué)文化”上徘徊，而荒廢了“數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)”這塊自家的園地。

二、價值追尋

“教材是例子”，是提升學(xué)生生活的拐杖，而教材中的學(xué)習(xí)資源非常有限，單憑教材中的一些文字、圖片資料遠遠不能滿足課堂教學(xué)的要求。其實我們不妨以教材為藍本，合理選擇與優(yōu)化教學(xué)內(nèi)容，關(guān)注學(xué)生的生活體驗，實現(xiàn)“固態(tài)化”教材向“液體、氣態(tài)化”的轉(zhuǎn)變，通過形式、內(nèi)容上的“稀釋”，讓教材變得更加立體、飽滿。通過對教材的適度“稀釋”，使其成為能“釣”起學(xué)生思考的“魚”，從而使教師以教材為圓心，不斷向外延伸，可以是內(nèi)容的，也可以是形式的，不止于教材，也不局限于教材。

教師依托教材，在對教材做個性化解讀之后，重構(gòu)教材知識過程，拓展教材思維內(nèi)涵，把教學(xué)過程變成學(xué)生理解數(shù)學(xué)、掌握數(shù)學(xué)、運用數(shù)學(xué)的過程。教育家葉圣陶曾說：“教材只能作為授課的依據(jù)，要教得好，使學(xué)生受到實益，還得靠教師的善于應(yīng)用?！蔽覀兛梢粤⒆阄谋净A(chǔ)拓展教材。開放的數(shù)學(xué)課堂呼喚靈動的數(shù)學(xué)思維，學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識的同時更需要對數(shù)學(xué)思想方法和數(shù)學(xué)思維的錘煉。這就需要教師在立足文本的基礎(chǔ)上深入挖掘教材的思維含量，適度“稀釋”教材，合理拓展，讓課堂變得更加豐厚。

三、策略追尋

（一）通攬教材，全面系統(tǒng)了解知識體系

1.通讀全部教材，把握起點

鉆研教材時，要從全面出發(fā)，注意把握數(shù)學(xué)知識的整體結(jié)構(gòu)和系統(tǒng)性。通過通讀小學(xué)階段的全部教材，對小學(xué)數(shù)學(xué)四大領(lǐng)域內(nèi)容的分布情況做個整理，才能系統(tǒng)把握小學(xué)階段的知識、方法安排，才能做到對各知識點的處理游刃有余。在小學(xué)階段，有很多的知識是依據(jù)數(shù)學(xué)學(xué)科自身的知識體系、學(xué)生的認知特點和心理特點及知識經(jīng)驗基礎(chǔ)，分割成幾塊分別安排在不同年級或不同單元。雖然教材因不同的原因?qū)⑼恢R分成不同的階段來教學(xué)，但作為教材處理者的教師，則絕不能孤立地看待同一知識塊的不同階段。通過通讀小學(xué)階段全部教材后，在教學(xué)時應(yīng)注意同一知識塊在不同階段教學(xué)的內(nèi)容，分析、把握不同階段的要求。只有這樣，才能做到教學(xué)時到位而不越位或缺位，特別是避免出現(xiàn)重復(fù)教學(xué)的現(xiàn)象。

2.精讀單元教材，確定目標

在單元目標了然于心之后，我們就能根據(jù)學(xué)生的實際、各知識點的難易程度合理劃分課時、安排課時和教學(xué)目標。如一位教師把筆算除法的例1、例2劃分為一課時，確定的教學(xué)目標是：（1）使學(xué)生在理解算理的基礎(chǔ)上，初步學(xué)會一位數(shù)除兩位數(shù)，商是兩位數(shù)的筆算方法；（2）通過探索、思考、總結(jié)，體驗一位數(shù)除兩位數(shù)商是兩位數(shù)的筆算方法的形成過程；（3）引導(dǎo)學(xué)生獨立思考、合作交流，體驗計算方法的多樣化。單元解讀深入淺出，清晰自然，由此制定的課時目標切實可行，效果顯著。

我們備課時必須先了解整冊教材的大框架，再了解本單元，制訂出各個具體的單元計劃，把一節(jié)課置身于整個單元中，使內(nèi)容縱向成線，承上啟下，而一節(jié)課的內(nèi)容又獨立成塊，在確定教學(xué)目標時就會找準位置，突出重點，形成了對教材宏觀、中觀、微觀這“三觀”的把握。精讀單元教材對教材的中觀了解，是“三觀”的核心和紐帶。通過精讀單元教材充分把握課時與課時之間的聯(lián)系，做到對一節(jié)課在單元及一冊書中的位置和作用、與上下課時的聯(lián)系心中有數(shù)，實現(xiàn)課時目標“定位準確、不缺位、不越位”。同時再輔以對學(xué)生進行必要的單元知識學(xué)習(xí)起點的把握，則能準確地對教材進行合理整合，適當(dāng)安排課時，提高課堂教學(xué)效率。

3.擴讀初中教材，整體銜接

眾多教師認為自己是小學(xué)教師，只需教小學(xué)的就可以了，至于初中教材，與己無關(guān)。正因為這一錯誤認識，更缺乏了對初中教材的閱讀意識，忽視了中小學(xué)銜接問題。實際上，我們很有必要讀一讀初中的教材，思考一下：相對于初中，我們的教學(xué)要求怎樣？怎樣把握才能更好地實現(xiàn)中小學(xué)銜接？

例如，一些由中學(xué)教材“下放”而來的內(nèi)容，我們是否應(yīng)當(dāng)認真思考這樣一些問題：究竟為什么要在小學(xué)數(shù)學(xué)課程中提前安排這些內(nèi)容？又如，“解方程及用列方程的方法解決問題”，我們?nèi)绻毤氉x一下初中的教材，就會發(fā)現(xiàn)中學(xué)是利用等式的基本性質(zhì)或方程的同解原理解方程的，我們現(xiàn)行教材引入等式的基本性質(zhì)并以此為基礎(chǔ)導(dǎo)出解方程的方法，有利于中小學(xué)銜接，那么在處理教材時就易于接受教材，而淡化我們習(xí)以為常的利用加減或乘除運算各部分之間的關(guān)系解決的思路。

（二）適度“稀釋”教材，立體建構(gòu)學(xué)習(xí)過程

1.基于教材，在“學(xué)段理解”中把握內(nèi)容

教材提供的是一種統(tǒng)一的教學(xué)資源，教師要尊重學(xué)生的現(xiàn)實起點，尊重學(xué)生的差異，科學(xué)合理地處理教材，做到依托教材而不依賴教材。為了做好前后教學(xué)的銜接工作，教師要通讀小學(xué)階段的所有教材、研讀本冊教材，了解教材的編排特點，站在知識系統(tǒng)性的角度審視教材，要適當(dāng)調(diào)整教材，為學(xué)生的持續(xù)發(fā)展打好基礎(chǔ)。

例如，五年級下冊“確定位置”這一內(nèi)容是小學(xué)階段的終結(jié)，而在中學(xué)階段，與此銜接和呼應(yīng)的內(nèi)容是平面直角坐標系。了解這一知識序列，并不表示教師在教學(xué)這一內(nèi)容時，可以作一些直角坐標系“知識層面”的越位介紹。我們可以在數(shù)學(xué)方法及數(shù)學(xué)思想的層面，給小學(xué)階段的這一內(nèi)容作一個總結(jié)與提升，為學(xué)生隨后學(xué)習(xí)平面直角坐標系的知識奠定一個方法與思想的基礎(chǔ)。具體教學(xué)實施時不去挑明，而是在教學(xué)過程中引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷數(shù)對的形成過程，幫助他們對數(shù)對中兩個數(shù)和列（橫軸）、行（縱軸）之間的關(guān)系有一個準確的理解。用具體的場景圖或平面圖引導(dǎo)學(xué)生思考確定位置的數(shù)對為何需要用到兩個數(shù)？用一個數(shù)行嗎？在怎樣的場景中，只用一個數(shù)就能確定位置？在怎樣的場景中，需要用三個數(shù)來確定位置？還可以在教學(xué)中結(jié)合行、列的知識，引導(dǎo)學(xué)生通過畫縱、橫交叉的“十字形”線來確定位置，這些形式的數(shù)學(xué)活動使用得當(dāng)，能很好地促進學(xué)生樸素的坐標思想，為后續(xù)學(xué)習(xí)積蓄能量。

2.優(yōu)于教材，在“優(yōu)化素材”中發(fā)展思維

“稀釋”，可以是合情合理加入“水分”，使學(xué)生易于吸收，也可以優(yōu)化素材，豐富文字信息，加入其他元素，讓“固態(tài)”的教材變成學(xué)生靈動的“液態(tài)”或“氣態(tài)”的教材。習(xí)題在教材中占有一定的分量，是學(xué)生形成技能、發(fā)展思維的重要材料。如何挖掘教材中習(xí)題潛在的價值，同樣是“稀釋”教材的又一途徑。

（1）發(fā)揮習(xí)題內(nèi)涵的豐富性延展教材。教師可圍繞教學(xué)目標，根據(jù)教學(xué)的需要進行拓展習(xí)題，使習(xí)題內(nèi)涵豐富起來。例如，蘇教版義務(wù)教育教材第十二冊“整理與復(fù)習(xí)”：在括號里填寫出兩個分母都小于12的異分母最簡分數(shù)，使等式成立（ ）+（ ）=11/12。這是對異分母分數(shù)加法計算方法的逆向思考，可以將11/12寫成兩個分母都是12的分數(shù)，再將這兩個分數(shù)化簡，如11/12=3/12+8/12=1/4+ 2/3。這是教材的最基本要求。在此基礎(chǔ)上教師可以進行拓展：填寫出兩個分母都大于12的最簡分數(shù)。啟發(fā)學(xué)生進一步思考，和的分母比加數(shù)的分母小，11/12一定是約分之后得到的，可以將11/12變成22/24和33/36等，然后按同樣的思路去解答。甚至，我們還可以進一步拓展：寫出三個分母都小于12的最簡分數(shù)。這樣的拓展延伸，使得習(xí)題教學(xué)不再停留在就題講題的層面上，有利于學(xué)生加深對問題的認識，拓展自己的認知結(jié)構(gòu)，形成一定的解題策略。

（2）突出習(xí)題功效的開放性提升難度。例如，蘇教版五年級下冊“找規(guī)律”59頁第2題。教材用意是讓學(xué)生能用18-2+1的方法計算出一共有17種不同的坐法，與例題的難度基本一樣。“禮堂里一排有18個座位。小芳和小英是雙胞胎，要讓她倆坐在一起，并且小芳在小英的右邊。在同一排有多少種不同的坐法？”教學(xué)時我們不妨對這道習(xí)題進行難度提升：① 基本練習(xí)題。教師出示教材上練習(xí)十第2題，學(xué)生解答。② 變式練習(xí)題。如果兩姐妹坐的是圓形的餐桌，有多少種不同的坐法？為什么？（課件演示理解）③ 思考拓展題。小紅畫了一排圓形，給相鄰的幾個圓形涂上了紅色。如果照她每次涂的相鄰個數(shù)的圓形來涂，一共可以有15種不同的涂法。猜一猜，小紅可能畫了幾個圓？每次涂了幾個圓？教材習(xí)題在基礎(chǔ)上提升了認知的高度和開放度，由教材中對一排座位的不同坐法引導(dǎo)學(xué)生探尋換成圓桌的不同坐法，從生活角度看這種變換既合情又合理，但其中的計算又與本課計算方法既有聯(lián)系也有區(qū)別。最后的拓展題發(fā)揮了習(xí)題的開放性，不僅調(diào)動了學(xué)生的思維訓(xùn)練，還發(fā)散了學(xué)生的思維，學(xué)生由平移的結(jié)果去逆向思考是怎樣平移的，培養(yǎng)了學(xué)生的反向思維。

（3）培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性優(yōu)化素材。在充分了解和把握課程標準、學(xué)科特點、教學(xué)目標、教材編寫意圖的基礎(chǔ)上，以教材習(xí)題為載體，靈活有效地組織教學(xué)，拓展課堂教學(xué)的空間。例如，四年級下冊《 三角形內(nèi)角和 》，教材中的“想想做做”第3題如果加以開發(fā)利用，是一個難得的好素材。我們可以將它變?yōu)橐粋€小游戲。① 游戲?qū)?，引發(fā)猜想：出示一張正方形紙，介紹內(nèi)角含義。它的內(nèi)角和是多少度？如果將這個正方形對折，對折后圖形的內(nèi)角和是多少度？將折出的等腰直角三角形再對折，得到的小三角形的內(nèi)角和是多少度？再對折呢？做了這個游戲，你想說些什么？（歸納總結(jié)）。② 動手驗證，一猜再猜：通過游戲，我們知道了這種直角三角形的內(nèi)角和是180度。那么，其他直角三角形的內(nèi)角和也是180度嗎？讓學(xué)生自己設(shè)法驗證（用三角板驗證；用一個普通直角三角形驗證）。③ 再次驗證，完善認知：普通三角形的內(nèi)角和也是180度嗎？你有辦法驗證你的猜想嗎？讓學(xué)生用一個銳角三角形和一個鈍角三角形自主實驗……從一個小游戲展開，在“正方形對折所得圖形的內(nèi)角和可能是360度，也可能是180度；而等腰直角三角形對折所得圖形的內(nèi)角和還是180度”的比較中，讓學(xué)生產(chǎn)生猜想，驗證猜想，收獲思考。一個習(xí)題的充分開發(fā)與利用，激發(fā)了學(xué)生的求知欲望，提高了解決實際問題的能力。

3.超越教材，在“發(fā)展區(qū)域”中滲透思想

維果茨基“最近發(fā)展區(qū)”理論給我們提供了一條理解學(xué)生發(fā)展的途徑。作為教師，首先應(yīng)清楚地了解學(xué)生所處的發(fā)展階段以及他們所面對的各類問題，只有這樣才能使教學(xué)超前于發(fā)展并引導(dǎo)發(fā)展，從而填補學(xué)生的現(xiàn)有發(fā)展水平與他們潛在發(fā)展水平之間的鴻溝；其次，在最近發(fā)展區(qū)內(nèi)，如果能得到比自己更有經(jīng)驗的人的幫助，學(xué)生比較容易吸收單靠自己無法吸收的東西。在教學(xué)中，教師運用一些中介便能幫助學(xué)生達到其最高發(fā)展水平。

（1）在“最近發(fā)展區(qū)”中體會數(shù)學(xué)思想。例如，六年級下冊“正比例和反比例”。正比例和反比例是今后學(xué)習(xí)中學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)等知識的基礎(chǔ)，是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要轉(zhuǎn)折點，即從對“數(shù)量”的理解轉(zhuǎn)向?qū)Α瓣P(guān)系”的探討，學(xué)生不僅加深了對過去所學(xué)數(shù)量關(guān)系的認識，而且從變量的角度認識到兩個變量之間的關(guān)系，初步體會函數(shù)思想。教學(xué)時我們要考慮數(shù)學(xué)自身的特點，遵循學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的心理規(guī)律，可以通過繪圖、估計值、找實例交流等方式幫助學(xué)生體會兩個變量之間相互依存的關(guān)系，豐富關(guān)于變量的經(jīng)歷，為以后學(xué)習(xí)函數(shù)概念打下基礎(chǔ)。

（2）在“最優(yōu)發(fā)展區(qū)”內(nèi)運用數(shù)學(xué)思想。對于常見的數(shù)量之間的關(guān)系，學(xué)生雖然已經(jīng)理解并掌握，但學(xué)生對這些數(shù)量的認識還處于靜止的層面，為此教學(xué)時要充分考慮這一點，善于借助圖像來幫助學(xué)生理解。同時更要關(guān)注數(shù)學(xué)建模思想的有效滲透，在變化中體會不變，在運用中掌握模型，在教學(xué)中形成模式。讓數(shù)學(xué)思想牽引解題技巧，讓學(xué)生實現(xiàn)從“技”到“道”的轉(zhuǎn)化與飛躍。

（作者單位：常州市武進清英外國語學(xué)校，江蘇 常州，213164）