重視數(shù)形結(jié)合思想 提高學(xué)生解題能力

數(shù)學(xué)是關(guān)于現(xiàn)實世界的空間形式和數(shù)量關(guān)系的科學(xué)，數(shù)和形是整個數(shù)學(xué)發(fā)展過程中的兩大柱石。有了平面直角坐標(biāo)系以后，平面上的點(diǎn)與有序?qū)崝?shù)對建立了一一對應(yīng)關(guān)系，從“數(shù)”中去認(rèn)識“形”，從“形”中去認(rèn)識“數(shù)”，是數(shù)學(xué)思維的基本方法之一。根據(jù)數(shù)與形之間的關(guān)系，通過數(shù)與形的相互轉(zhuǎn)化來解決數(shù)學(xué)問題的思想，也就是數(shù)形結(jié)合。數(shù)形結(jié)和思想可使某些抽象的數(shù)學(xué)問題直觀化，生動化，能夠變抽象思維為形象思維，有助于把握數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)。在某些數(shù)學(xué)問題中，將問題的數(shù)量關(guān)系和空間形式結(jié)合起來考察，把數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)化為圖形性質(zhì)去討論，或把圖形性質(zhì)轉(zhuǎn)化為數(shù)量關(guān)系研究，有利找到解題途徑，且解法簡潔。

實現(xiàn)數(shù)形結(jié)合，常與一下內(nèi)容有關(guān)：

一、實數(shù)與數(shù)軸上點(diǎn)的對應(yīng)關(guān)系

例1 解不等式│x+1│+│x-1│<1

分析：此題若直接去絕對值符號，則的x≥1，-1≤x<1，x<-1三種情況討論，解起來十分麻煩。若利用實數(shù)與數(shù)軸上點(diǎn)的對應(yīng)關(guān)系結(jié)合絕對值的幾何意義，則很容易可求出。

解：設(shè)數(shù)軸上點(diǎn)P表示數(shù)x，點(diǎn)A表示1，點(diǎn)B表示-1，這樣│x+1│，│x-1│分別表示數(shù)軸上的線段PA，PB之長，而線段AB長為2，這樣直觀地看到數(shù)軸上找不到那樣的P點(diǎn)，使線段PB與PA之和小于1，故本題無解。

二、函數(shù)與圖像的對應(yīng)關(guān)系

例 2 若關(guān)于x 的方程x2+2kx+3k=0兩根都在-1和3之間，求k的取值范圍。

分析：令f（x）=x2+2kx+3k，其圖像與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)就是方程f（x）=0的解。

k）<0同時成立。

解不等式組

得-1

三、曲線與方程的關(guān)系

例3 設(shè)F1F2是雙曲線x2-y2=4的兩焦點(diǎn)，Q是雙曲線上任意一點(diǎn)，從F引∠F1QF2平分線的垂線，垂足為P，則P點(diǎn)軌跡方程__________________。

此題若設(shè)P的坐標(biāo)為（x，y），再利用P由Q運(yùn)動而運(yùn)動，求出Q的坐標(biāo)與P的坐標(biāo)關(guān)系，而題中比較明顯的關(guān)系式斜率的關(guān)系，QF2，QP，QF1成等角，F(xiàn)1P⊥QP，但建立關(guān)系后化簡很復(fù)雜，得不出結(jié)果。

若利用其幾何性質(zhì)，延長F1P交F2Q于H，則由QP平分∠F1QF2， F1P⊥QP得P為F1H的中點(diǎn)，∣QH∣=∣QF1∣結(jié)合雙曲線定義得：∣H F2∣=∣QF2∣-∣OH∣=∣QF2∣-∣QF1∣=2a。將H用P的坐標(biāo)表示，即可求得。

四、幾何元素和幾何條件為背景建立起來的概念，如復(fù)數(shù)，三角函數(shù)等

例4 -i的立方根是__________________。

分析：如圖，由于-i的立方根三等分同一圓周，所以-i的立方根為i，另外兩個立方根是

±

求-i的立方根，可選用復(fù)數(shù)的代數(shù)形式，而根據(jù)復(fù)數(shù)開方的幾何意義——等分圓周，可使過程更為簡捷。

五、所給的等式或代數(shù)式的結(jié)構(gòu)含有明顯的幾何意義

例5 已知a，b，c，x，y，z，∈R+，a+x=b+y=c+z=k，

求證：ay+bz+cx

分析：由a+x=b+y=c+z=k>0，想到構(gòu)造邊長為k的等邊三角形，在三邊分別采取a，x長，b，y長，c，z長由面積積即可得出：

證明：如圖，構(gòu)造邊長為k的等邊三角形ABC，在三邊分別取

AD=x，BD=a，BE=y，CE=b，CF=z，F(xiàn)A=c。

由

得：

∴ay+bz+cx

數(shù)形結(jié)合是高考重點(diǎn)考查的數(shù)學(xué)思想之一。這種方法使用的主動性和熟練性，集中表現(xiàn)出學(xué)生的數(shù)學(xué)意識和潛質(zhì)，在培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用能力時，應(yīng)注意一下幾個方面。

1.以圖形增強(qiáng)代數(shù)概念的直觀性。

2.利用有關(guān)函數(shù)草圖解決代數(shù)問題。

3.利用解析幾何當(dāng)中公式解決有關(guān)問題。

4.數(shù)形結(jié)合，在結(jié)合圖形計算時，所繪制圖形必須定形，定性，定位，定量，這樣才能正確地做出判斷。

5.充分挖掘條件和結(jié)論中的隱含的幾何意義，抓住“數(shù)”所包含的“形”的幾何特征，是運(yùn)用“數(shù)形結(jié)合”思想處理問題的關(guān)鍵，解析幾何中的距離，斜率，截距，曲線參數(shù)方程的幾何意義等都是“數(shù)”轉(zhuǎn)化為“形”的幾何模型，應(yīng)注意它們的靈活運(yùn)用。

數(shù)形結(jié)合思想方法應(yīng)用廣泛，它的運(yùn)用可避免復(fù)雜計算，直觀發(fā)現(xiàn)解題途徑，在選擇填空中更顯其優(yōu)越。所以，要做胸中有圖，見數(shù)想圖，以開拓思維視野。

數(shù)形結(jié)合思想方法不僅是中學(xué)生的數(shù)學(xué)能力，數(shù)學(xué)素質(zhì)的主要標(biāo)志之一，還是進(jìn)一步學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)和現(xiàn)代數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，因此，加強(qiáng)培養(yǎng)訓(xùn)練具有極其重要的意義。