幾個(gè)平面圖形的方程

【摘要】本文就幾個(gè)常見的平面圖形，從另一種角度展開討論，即用方程的形式描述.方程可以表示曲線，而某些由單純線段或曲段構(gòu)成的圖形，卻鮮有提及所謂的方程.本文將給出如下的菱形、對角線垂直的四邊形（四段弧線）、矩形、等腰梯形、平行四邊形、正六邊形以及它們之間的聯(lián)系，希望取得拋磚引玉的作用.

【關(guān)鍵詞】曲線與方程

笛卡爾發(fā)明坐標(biāo)系，將解析幾何引入，由此開啟了數(shù)學(xué)的新紀(jì)元，成為數(shù)學(xué)史上一次偉大的革命.變量的出現(xiàn)打破了常規(guī)思維，數(shù)學(xué)真正由靜態(tài)向動態(tài)轉(zhuǎn)變，數(shù)形結(jié)合的思維也日漸深入人心.以這種方式研究問題，也說明了事物之間是對立統(tǒng)一關(guān)系的.解析幾何將代數(shù)與幾何巧妙結(jié)合，不論是具體還是抽象問題，方程都始終如影隨形，是至關(guān)重要的數(shù)學(xué)工具.

對于曲線，有多種描述表達(dá)方式，而以方程表示卻是最簡單明了與意味深長的了.是的，所以說“意味深長”，是因?yàn)榉匠滩粌H僅是為解決實(shí)際問題而發(fā)明.某種意義上，它是人們審美與表達(dá)的一種方式，是在紛繁復(fù)雜的數(shù)學(xué)世界尋求美的途徑.許多例子可見一斑.譬如解析幾何的創(chuàng)始人笛卡爾本人便曾用“心形曲線”方程向公主示愛，而成為數(shù)學(xué)史上的佳話.

數(shù)學(xué)是一門應(yīng)用性很強(qiáng)的科學(xué)，是一切自然科學(xué)的基礎(chǔ)，是科學(xué)發(fā)展的首要工具.因此，必要關(guān)注的是：是否有一定的實(shí)際意義？是否有一定的應(yīng)用價(jià)值？是否有一定的普遍用途？

多年以來，尋求坐標(biāo)系中凸n邊形的一般方程盛行不衰.然而，凸n邊形不像圓錐曲線、擺線、心形線等有明顯的幾何特征，能設(shè)點(diǎn)求解得出方程.而對于凸n邊形只能借助于絕對值.問題由此產(chǎn)生.絕對值的操作性較差、實(shí)用性較低，在解決一般問題時(shí)，首先考慮的是要盡可能地去掉絕對值，而非依靠絕對值.因此，在此問題上，其實(shí)際意義不會太大.

誠然，實(shí)際意義對于問題的發(fā)現(xiàn)、提出、解決、應(yīng)用有著至關(guān)重要的作用.筆者深諳這種實(shí)踐思想的重要性.然而，它不該也不會成為人們探究數(shù)學(xué)的禁錮.我們可以從數(shù)學(xué)中發(fā)現(xiàn)許多神奇而美麗的事物，譬如三角形面積的行列式公式、楊輝三角、蝴蝶定理、圓錐曲線、心形線，從它們的公式圖形等方面審視，可發(fā)現(xiàn)美的所在：完備、簡潔、對稱、抽象……如上觀點(diǎn)，對于某些問題，刨根問底追求實(shí)際意義、講究應(yīng)用價(jià)值，是沒有太多必要的，而且樹立審美觀對于學(xué)習(xí)、研究、應(yīng)用數(shù)學(xué)的人來講都是不可或缺的內(nèi)在要求，從這點(diǎn)上講，也是一種現(xiàn)實(shí)意義.因此，筆者要強(qiáng)調(diào)的是一種數(shù)學(xué)的美感，一種表達(dá)的方式，一種精神的享受.

在此聲明，下文將要提及的菱形、對角線垂直的四邊形、矩形、等腰梯形、平行四邊形都屬于凸四邊形的范疇，以及正六邊形、正八邊形都屬于凸n邊形的領(lǐng)域，之前已經(jīng)有人給出過一般的方程表達(dá)式，并得到了驗(yàn)證.筆者之所以再一次討論它們，是因?yàn)閺墓P者的角度看，這幾個(gè)方程之間有特殊的聯(lián)系.而這一點(diǎn)也正是驗(yàn)證筆者“審美”觀點(diǎn)的關(guān)鍵.

一、菱 形

至此，菱形、對角線垂直的四邊形（四段弧線）、矩形、等腰梯形、平行四邊形、正六邊形的方程都已展現(xiàn)，其特殊的聯(lián)系也了然于目.限于筆者水平，對于各自的證明無法做到天衣無縫，必然存在或大或小的錯(cuò)誤，著實(shí)無法避免.再者，對于方程的一些實(shí)際意義，筆者給出的只是證明圖形的面積以及利用既定公式求簡單圖形的方程，不過筆者相信，其必然有更多更有價(jià)值的應(yīng)用，有待時(shí)間的證明.筆者還是要強(qiáng)調(diào)，數(shù)學(xué)不僅是一門應(yīng)用科學(xué)，某種意義上，還是一門審美科學(xué).唯其如此，筆者寫下這篇文章也不負(fù)初衷.

【參考文獻(xiàn)】

［1］馮躍峰.平行四邊形的方程.中等數(shù)學(xué)，1991(3).

［2］馮躍峰.任意凸四邊形的方程.中等數(shù)學(xué)，1992(11).

［3］楊正義.凸四邊形絕對值方程又一形式.中等數(shù)學(xué)，1993(2).