數(shù)學(xué)概念教學(xué)的三個(gè)關(guān)注

【摘要】數(shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)知識(shí)的基礎(chǔ)，是數(shù)學(xué)思想與方法的載體，是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的核心.由于高中數(shù)學(xué)高度抽象、概括的特點(diǎn)，決定著我們?cè)诮虒W(xué)中一定要注重體現(xiàn)基本概念的來龍去脈，要引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷從具體實(shí)例抽象出數(shù)學(xué)概念的過程，并應(yīng)用它來思考問題、解決問題，從而逐步理解概念的本質(zhì).在數(shù)學(xué)概念教學(xué)中一直遵循在體驗(yàn)概念產(chǎn)生的過程中認(rèn)識(shí)概念、在挖掘概念的內(nèi)涵與外延的基礎(chǔ)上理解概念、在運(yùn)用概念解決問題的過程中鞏固概念這樣的三步曲.

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)概念教學(xué)；認(rèn)識(shí)；理解；鞏固

實(shí)踐顯示，學(xué)生在解答數(shù)學(xué)問題時(shí)能否順利地得到正確答案往往與對(duì)數(shù)學(xué)概念是否形成正確的理解有關(guān).數(shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)知識(shí)的基礎(chǔ)，是數(shù)學(xué)思想與方法的載體，是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的核心.數(shù)學(xué)概念是反映現(xiàn)實(shí)世界的空間形式和數(shù)量關(guān)系的本質(zhì)屬性的思維形式，是思維的最基本的單位，是數(shù)學(xué)教學(xué)的基礎(chǔ)和起點(diǎn).高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)指出：教學(xué)中應(yīng)加強(qiáng)對(duì)基本概念和基本思想的理解和掌握，對(duì)一些核心概念和基本思想要貫穿高中數(shù)學(xué)教學(xué)的始終，幫助學(xué)生逐步加深理解.由于高中數(shù)學(xué)高度抽象、概括的特點(diǎn)，決定著我們?cè)诮虒W(xué)中一定要注重體現(xiàn)基本概念的來龍去脈，要引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷從具體實(shí)例抽象出數(shù)學(xué)概念的過程，并應(yīng)用它來思考問題、解決問題，從而逐步理解概念的本質(zhì)，即體現(xiàn)概念教學(xué)的三個(gè)重要環(huán)節(jié)：直觀——概括——具體化.正是基于這樣的理念，我在數(shù)學(xué)概念教學(xué)中一直遵循在體驗(yàn)概念產(chǎn)生的過程中認(rèn)識(shí)概念、在挖掘概念的內(nèi)涵與外延的基礎(chǔ)上理解概念、在運(yùn)用概念解決問題的過程中鞏固概念這樣的三步曲.

1.在體驗(yàn)概念產(chǎn)生的過程中認(rèn)識(shí)概念

龐加萊曾講過這樣一個(gè)故事：教室里，先生對(duì)學(xué)生說“圓周是一定點(diǎn)到同一平面上等距離點(diǎn)的軌跡”，學(xué)生們抄在筆記本上，可是誰也不明白圓周是什么.于是先生拿起粉筆在黑板上畫了一個(gè)圓圈，學(xué)生們立即歡呼起來：“啊，圓周就是圓圈啊，明白了.”圓周是一個(gè)發(fā)生定義，僅僅給出文字描述，學(xué)生還是不知道到底是怎樣一個(gè)圖形，需要我們動(dòng)手操作，給出直觀圖形.這一個(gè)故事告訴我們?cè)谶M(jìn)行概念教學(xué)時(shí)，教師應(yīng)從實(shí)際出發(fā)，創(chuàng)設(shè)情境，提出問題，讓學(xué)生覺得有必要學(xué)習(xí)這個(gè)概念；通過與概念有明顯聯(lián)系、直觀性強(qiáng)的例子，使學(xué)生在對(duì)具體問題的體驗(yàn)中去感知概念，形成感性認(rèn)識(shí)，然后再提煉出本質(zhì)屬性.正如蘇霍姆林斯基所說的，“領(lǐng)著孩子到思維的源地去旅行是具有重大意義的”；吳慶麟也曾提到，“用熟悉的特征來引發(fā)學(xué)習(xí)的準(zhǔn)備狀態(tài)，會(huì)使人對(duì)某一事物更感興趣，學(xué)生儲(chǔ)存了大量的早先經(jīng)驗(yàn)，才可能引發(fā)他們?cè)趯W(xué)習(xí)時(shí)的多方興趣”.新課標(biāo)也指出：在教學(xué)中，從學(xué)生熟悉的生活情景出發(fā)，選擇學(xué)生身邊的、感興趣的事物，讓學(xué)生在觀察、操作、猜測(cè)、交流、反思等活動(dòng)中逐步體會(huì)數(shù)學(xué)知識(shí)，獲得積極的情感體驗(yàn)，感受數(shù)學(xué)的力量.

案例 指數(shù)函數(shù)的概念

（動(dòng)畫演示）話說豬八戒自西天取經(jīng)回到了高老莊，從高員外手里接下了高老莊集團(tuán)，搖身變成了CEO.可好景不長(zhǎng)，便因資金周轉(zhuǎn)不靈而陷入了窘境，急需大量資金投入，于是就找孫悟空幫忙.悟空一口答應(yīng)：“行！我每天投資100萬元，但是有一個(gè)條件是：作為回報(bào)，投資一天你必須返還給我2元，投資兩天返還4元，投資三天返還8元，投資四天返還16元，按此規(guī)律，連續(xù)投資一個(gè)月.”八戒聽了，心里打起了小算盤：“一天支出2元，收入100萬；兩天支出4元，收入200萬；三天支出8元，收入300萬元……哇，發(fā)財(cái)了……”心里越想越美，可再看看悟空的表情，心里又嘀咕了：“這猴子老是欺負(fù)我，會(huì)不會(huì)又在耍我？”

問題 ①給悟空的錢數(shù)y與天數(shù)x有怎樣的函數(shù)關(guān)系？

②假如你是高老莊集團(tuán)企劃部的高參，請(qǐng)你幫八戒分析一下，按照悟空的投資方式，30天后，八戒能吸納多少投資？又該返還給悟空多少錢？

依托市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)背景，以趣引思，使學(xué)生對(duì)指數(shù)函數(shù)有初步的感性認(rèn)識(shí).通過這個(gè)例子讓學(xué)生自己體會(huì)，總結(jié)出指數(shù)函數(shù)的概念.

牛頓曾說：“沒有大膽的猜想，就做不出偉大的發(fā)現(xiàn).”猜想作為數(shù)學(xué)想象表現(xiàn)形式的最高層次，屬于創(chuàng)造性想象，是推動(dòng)數(shù)學(xué)發(fā)展的強(qiáng)大動(dòng)力，因此，在概念引入時(shí)培養(yǎng)學(xué)生敢于猜想的習(xí)慣，是形成數(shù)學(xué)直覺，發(fā)展數(shù)學(xué)思維，獲得數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的基本素質(zhì)，也是培養(yǎng)創(chuàng)造性思維的重要因素.

2.在挖掘概念的內(nèi)涵與外延的基礎(chǔ)上理解概念

掌握一個(gè)概念就是要求我們?cè)诮邮芤粋€(gè)概念時(shí)注意對(duì)整個(gè)概念意義的理解和本質(zhì)的把握，而不是傾向于對(duì)概念機(jī)械地記憶和模仿，因?yàn)楦拍畹恼_理解是正確使用的前提.

到這里應(yīng)該說問題基本解決.但在實(shí)際教學(xué)中，這種類似的問題學(xué)生卻是屢做屢錯(cuò)，問題還是學(xué)生沒有真正領(lǐng)會(huì)函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性的實(shí)質(zhì).

波利亞《怎樣解題》的開頭有這樣一段話，“你能不能重新敘述這個(gè)問題？你能不能用不同的方法重新敘述它？回到定義去.”在解答有關(guān)圓錐曲線的問題時(shí)，我們可以考慮它的方程、運(yùn)用相應(yīng)的定理和公式或通過其他的途徑，另外還須注意到即使使用一般方法能夠解決的問題如能考慮運(yùn)用它們的定義，則不僅能加深對(duì)這些曲線本質(zhì)的理解，同時(shí)還能簡(jiǎn)化某些問題的解題步驟，開闊思路，提高解題能力.圓錐曲線的概念是圓錐曲線整章內(nèi)容的知識(shí)源，許多問題不管形式怎樣變化，綜合性有多強(qiáng)，還得歸到這源上來，使問題解決始終“有矩可循，有法可依”.有時(shí)最“笨”的方法往往是最好的方法.一般地若遇到有關(guān)橢圓、雙曲線上一點(diǎn)到兩個(gè)焦點(diǎn)的距離這類問題時(shí)用第一定義，若遇到準(zhǔn)線、焦半徑、離心率這三個(gè)概念中的兩個(gè)概念時(shí)都會(huì)有運(yùn)用圓錐曲線第二定義解題的可能，某些只出現(xiàn)三個(gè)概念中一個(gè)概念的問題則需要我們不斷探究開創(chuàng)性地運(yùn)用概念來解題.當(dāng)然，這些都必須建立在對(duì)圓錐曲線概念的深刻理解的基礎(chǔ)上.

例2 如圖，已知正三角形ABC，求以B，C為焦點(diǎn)，且經(jīng)過AB，AC中點(diǎn)D，E的橢圓、雙曲線的離心率.

“磨刀不誤砍柴工”，重視概念教學(xué)，挖掘概念的內(nèi)涵與外延，有利于學(xué)生理解概念，從而為下一步的應(yīng)用做準(zhǔn)備.

3.在運(yùn)用概念解決問題的過程中鞏固概念

數(shù)學(xué)概念形成之后，通過具體例子，說明概念的內(nèi)涵，認(rèn)識(shí)概念的“原型”，引導(dǎo)學(xué)生利用概念解決數(shù)學(xué)問題和發(fā)現(xiàn)概念在解決問題中的作用，是數(shù)學(xué)概念教學(xué)的一個(gè)重要環(huán)節(jié)，此環(huán)節(jié)操作的成功與否，將直接影響學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)概念的鞏固以及解題能力的形成.

說明 若等號(hào)取不到，改用函數(shù)的單調(diào)性.

通過應(yīng)用基本不等式求最值的過程，使學(xué)生明確基本不等式的應(yīng)用條件“一正二定三相等”，在應(yīng)用的過程中進(jìn)一步理解基本不等式，鞏固基本不等式.

高中數(shù)學(xué)新課標(biāo)提出了與時(shí)俱進(jìn)地認(rèn)識(shí)“雙基”的基本理念，概念教學(xué)是“雙基”教學(xué)的重要組成部分，所以，通過數(shù)學(xué)概念教學(xué)，使學(xué)生認(rèn)識(shí)概念、理解概念、鞏固概念，是數(shù)學(xué)概念教學(xué)的根本目的.通過概念課教學(xué)，力求使學(xué)生明確：（1）概念的發(fā)生、發(fā)展過程以及產(chǎn)生背景；（2）概念中有哪些規(guī)定和限制的條件，它們與以前的什么知識(shí)有聯(lián)系；（3）概念的名稱、表述的語言有何特點(diǎn)；（4）概念有沒有等價(jià)的敘述；（5）運(yùn)用概念能解決哪些數(shù)學(xué)問題等.目前，課時(shí)不足是數(shù)學(xué)新課程教學(xué)的突出問題，這會(huì)使概念教學(xué)受到嚴(yán)重沖擊.我認(rèn)為在概念教學(xué)中多花一些時(shí)間是值得的，因?yàn)橹挥欣斫庹莆樟烁拍?，才能更好地幫助學(xué)生落實(shí)“雙基”，更好地幫助學(xué)生認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)，認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)的思想和本質(zhì)，進(jìn)一步地發(fā)展學(xué)生的思維，提高學(xué)生的解題能力.

總之，在概念教學(xué)中要優(yōu)化概念教學(xué)設(shè)計(jì)，把握概念教學(xué)過程，創(chuàng)造性地使用教材.對(duì)教材中干擾概念教學(xué)的例子要更換，對(duì)脫離學(xué)生實(shí)際的概念運(yùn)用問題要大膽刪去，真正使學(xué)生在參與的過程中產(chǎn)生內(nèi)心的體驗(yàn)和創(chuàng)造，達(dá)到認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)思想和本質(zhì)的目的，發(fā)展學(xué)生的思維，提高學(xué)生的解題能力的目的.