不等式證明方法初探

摘 要：不等量關(guān)系是高中數(shù)學(xué)的重要研究內(nèi)容，不等式的研究是其中重要的一個方面。不等式在高中數(shù)學(xué)中的地位非常重要，在歷年的高考中也多有出現(xiàn)。因為不等式的形式多樣，所以證明不等式也沒有固定的章法可循。結(jié)合教學(xué)實踐，闡述了分析法、綜合法、比較法、反證法和縮放法等不等式證明方法。

關(guān)鍵詞：不等式證明；高中數(shù)學(xué)；分析法；比較法

在現(xiàn)實生活中，既有大量的等量關(guān)系存在，同時又存在很多不等量的現(xiàn)象，描述這種不等量的不等式就應(yīng)運而生。不等量關(guān)系是高中數(shù)學(xué)的重要研究內(nèi)容，不等式的研究是其中一個重要的方面。不等式在高中數(shù)學(xué)中的地位非常重要，在歷年的高考中也多有出現(xiàn)。因為不等式的形式多樣，所以證明不等式也沒有固定的章法可循。我們在平時的教學(xué)中要教育學(xué)生盡量多地運用靈活多樣的方法加上大量解題積累的技巧，力爭攻克這一難點。結(jié)合自己的教學(xué)實踐，我總結(jié)了以下幾種證明不等式的方法，僅供大家參考。

下面介紹幾種常用的不等式證明方法：

一、比較法證明不等式

二、分析法證明不等式

分析法是從給出的不等式入手，通過分析，找出該不等式能夠成立的條件，這樣題目就從證明不等式轉(zhuǎn)變?yōu)樽C明這些條件是否成立，如果這些條件都能夠成立，就可以得出不等式成立的結(jié)論，這就是分析法。運用分析法證明不等式的思路是“尋根問源”，即從不等式開始，尋找該不等式成立的條件，進(jìn)而證明不等式的成立。

三、綜合法證明不等式

所以，當(dāng)我們運用綜合法來證明不等式的時候，一般過程就是從給出的條件出發(fā)，層層推進(jìn)，經(jīng)過周密的邏輯推理，運用已經(jīng)掌握的定理、定義和公式等，最終達(dá)到需要證明的結(jié)論，綜合法也是一種常用的不等式證明的方法。綜合法與分析法是兩個方面的對立統(tǒng)一：綜合法是“由因?qū)す?，利用已知探求未知，具有清晰的條理，比較符合人們的日常習(xí)慣性思維；分析法是“知果找因”，這種方法的特點是指向明確、思路清晰。兩種方法是對立統(tǒng)一的，因此在實際運用時，二者經(jīng)常是相互聯(lián)系的。在使用綜合法證明不等式的時候，如果遇到難以入手的情況，經(jīng)常會先運用分析法去探求階梯的思路，然后再用綜合法的形式將證明過程寫出來，這樣比較符合人們的思維習(xí)慣。在遇到難度較大的不等式證明題時，往往是既運用綜合法，又運用分析法進(jìn)行分析，二者相互轉(zhuǎn)化、滲透，相輔相成。

四、反證法證明不等式

有些從正面證明不容易闡述清楚的不等式，就應(yīng)當(dāng)考慮運用反證法來證明。適合運用反證法論證的命題，多數(shù)存在諸如“唯一”“至少”或其他否定性詞語。在運用反證法證明一個不等式的時候，基本的思路是：首先針對給出的命題，假定該命題結(jié)論不成立；接下來進(jìn)行推理，結(jié)果出現(xiàn)推理結(jié)論與已知的條件相矛盾，或推理結(jié)論與已經(jīng)掌握的定理或公理相矛盾；由于上述矛盾的產(chǎn)生，可以斷定，開始的假定“該命題結(jié)論不成立”是錯誤的假定；所以得出結(jié)論：原命題的結(jié)論是正確的。

五、放縮法證明不等式

總而言之，作為高中數(shù)學(xué)重點內(nèi)容的不等式，是繼續(xù)學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的重要工具和基礎(chǔ)知識。若要掌握如何證明不等式，就需要理解、掌握證明不等式的多種方法，還需要對這些方法融會貫通，綜合加以運用。限于篇幅，本文只是列舉了不等式證明的幾種方法，還有更多的方法有待于繼續(xù)進(jìn)行研究。

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（作者單位 江蘇省鹽城市亭湖高級中學(xué)）