數(shù)學(xué)教學(xué)要追求抽象的本質(zhì)

數(shù)學(xué)發(fā)展所依賴的思想在本質(zhì)上有三個：抽象、推理、模型，其中抽象是最核心的思想。通過抽象在現(xiàn)實生活中得到數(shù)學(xué)的概念和運算法則；通過推理得到數(shù)學(xué)的發(fā)展；通過模型建立數(shù)學(xué)與外部世界的聯(lián)系。按照抽象的深度不同，抽象可區(qū)分為簡約階段、符號階段、普適階段三個層次。“簡約”即把握事物的本質(zhì)，把繁雜問題簡單化、條理化，能夠清晰地表達(dá)，這一層次的數(shù)學(xué)抽象是極為重要的。因而，我認(rèn)為小學(xué)數(shù)學(xué)抽象的本質(zhì)是簡約。在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中要抓住數(shù)學(xué)思想的本質(zhì)，抓住抽象的本質(zhì)，千萬不可簡單問題復(fù)雜化，即在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中體現(xiàn)“簡約思想”。

一、數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)要經(jīng)歷“由復(fù)雜到簡單的抽象過程”

現(xiàn)象：

簡約階段的抽象是極為重要的，但在我們的教學(xué)過程中這一點往往被老師們所忽視。例如：在“位置”的教學(xué)中，老師們往往是直接把“第x列第y行”簡單地寫成數(shù)對的形式（x，y），教學(xué)中對數(shù)學(xué)抽象的過程和抽象的必要性關(guān)注不夠或干脆省略，這樣的教學(xué)只注重一維目標(biāo)，缺少二、三維目標(biāo)。教學(xué)中應(yīng)設(shè)計體驗的活動，讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)抽象由復(fù)雜到簡單的過程，在活動中讓學(xué)生真正感受數(shù)學(xué)的簡潔美。

片段一：

師：在我們這個班集體中，每個人都會有許多的好朋友，誰愿意介紹你最好的朋友給我認(rèn)識？要求是：不說出好朋友的名字，用學(xué)過的知識介紹他在教室里的位置，讓我猜猜你的好朋友坐在哪里。

（學(xué)生以自己的標(biāo)準(zhǔn)介紹，教師以自己的標(biāo)準(zhǔn)找。因為標(biāo)準(zhǔn)不同，所以可能會與學(xué)生心目中的不是同一個人。）

師：為了便于交流，我們需要統(tǒng)一標(biāo)準(zhǔn)。

（確定觀察者為標(biāo)準(zhǔn)、確定觀察點）

師：確定了標(biāo)準(zhǔn)和觀察點，我們還要統(tǒng)一說法。豎排叫做列，橫排叫做行。確定第幾列一般從左往右數(shù)，確定第幾行一般從前往后數(shù)。

師：看看你的好朋友坐在“第幾列第幾行”，誰還想介紹你的好朋友給我認(rèn)識？

（很快地找到了好朋友）

師：看來統(tǒng)一的標(biāo)準(zhǔn)確實給我們的溝通帶來了方便。下面就用第幾列第幾行的方法來介紹自己在教室的位置，誰愿意先介紹？

分析：

兒童學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)實際上是對他們生活經(jīng)驗中的數(shù)學(xué)現(xiàn)象的“解讀”與提升，讓學(xué)生主動參與，自己認(rèn)識到這些方法的不足，當(dāng)他們意識到自己的表述方法不夠簡練時，就產(chǎn)生了一種強(qiáng)烈的學(xué)習(xí)新知的欲望，從而引發(fā)了學(xué)生用統(tǒng)一、簡明的方式來確定位置的需求，有效地促進(jìn)了學(xué)生的主動性發(fā)展。

片段二：

生1：我的位置是在“第4列第3行”。

師：老師也把你的位置記錄下來。（板書：“第4列第3行”）

生2：我在教室的位置是“第5列第1行”。

（板書：“第5列第1行”）

（同學(xué)們紛紛舉手，踴躍用第幾列第幾行來介紹自己的位置）

師：還有這么多同學(xué)想說自己的位置，可是如果老師把每個同學(xué)的位置都記錄下來，大概這節(jié)課就快下課了。那我們怎么辦呢？

生3：想簡單的辦法！

師：當(dāng)遇到復(fù)雜問題時能夠主動尋求簡潔的方法，非常棒！用“第幾列第幾行”來描述一個位置還不夠簡便，寫起來也太浪費時間了，有沒有更簡便的方法呢？我們來創(chuàng)造一種好嗎？

師：下面我們就試一試以“第3列第2行”為例來研究，同學(xué)們可以大膽創(chuàng)造，把你想到的好辦法寫在這張紙片上，比比誰的方法既簡潔又有創(chuàng)意！

師：老師看了一下，大家的設(shè)計都非常有意思，用了一些字母、數(shù)字、符號，等等，我選擇了一些有代表性的作品，一起來看一下。

（實物投影展示學(xué)生作品）

師：這是哪位設(shè)計師設(shè)計的？說說你的創(chuàng)意。

展示：[作品1：3L 2H]

生4：我是用3L代表第3列，2H代表第2行。

師：你選擇了“列”和“行”漢字的音頭，結(jié)合了數(shù)學(xué)元素和語文的元素，讓人一看就明白是第3列第2行，太有創(chuàng)意了！

展示：[作品2：3 | 2-]

師：這是誰的？也請說說你的想法。

生5：我是用圖形表示列和行的。

師：數(shù)和形結(jié)合在一起，多形象?。?/p>

展示：[作品3：3-2]

師：看這幅作品多簡潔，只用了兩個數(shù)就表示了。我想請教一個問題，為什么在中間加一個符號呢？

生6：不加符號就是32，和兩位數(shù)“32”混了。

師：看來這個小小的符號太重要了。

展示：[作品4：（3.2）]

師：你為什么在外面加了一個小括號呢？

生7：因為表示的是一個位置，可以和其他位置區(qū)別開。

師：你差一點就和科學(xué)家一樣了。同學(xué)們，你們太了不起了！

師：（邊板書邊說）數(shù)學(xué)家就是這樣表示的，第3列就寫3，第2行就寫2，中間用逗號隔開，外面加上小括號。讀的時候就讀“三二”。怎么樣？挺簡單的吧！像這樣用兩個數(shù)就組成了一個數(shù)對，數(shù)學(xué)中規(guī)定，把表示列的數(shù)寫在前面，表示行的數(shù)寫在后面。這個數(shù)對就表示第3列第2行。

分析：

學(xué)生在熟悉的現(xiàn)實情境中，用已有知識“第幾列第幾行”的方法確定同學(xué)的位置，進(jìn)而又感覺到這種方法還不夠簡便，進(jìn)一步激發(fā)創(chuàng)作欲望，而教師則設(shè)計讓學(xué)生經(jīng)歷創(chuàng)作的過程，在活動中培養(yǎng)學(xué)生的想象力、創(chuàng)造力。作為教師，應(yīng)當(dāng)在課堂教學(xué)環(huán)境中創(chuàng)設(shè)一個有利于張揚(yáng)學(xué)生個性的“場所”，讓學(xué)生的主動性和創(chuàng)造性得到盡情釋放。這一環(huán)節(jié)讓學(xué)生根據(jù)數(shù)學(xué)的符號化特點，自己創(chuàng)造更簡潔的表示方法，為學(xué)生提供了自主思考的空間，學(xué)生的思想無拘無束，創(chuàng)新靈感、創(chuàng)新思維不斷涌現(xiàn)，學(xué)生有更多的機(jī)會展示自己的思維，有助于培養(yǎng)學(xué)生良好的語言表達(dá)習(xí)慣。真正的知識來源于感性的經(jīng)驗，是通過直觀和抽象而得到的，數(shù)學(xué)所需要研究的“抽象的東西”如何從現(xiàn)實的材料中得到，是數(shù)學(xué)最為基本的東西，這種抽象是不能獨立于人的思維而存在的。

二、數(shù)學(xué)知識的積累要遵照“由薄到厚，再由厚到薄”的過程

現(xiàn)象：

復(fù)習(xí)課“平面圖形面積的整理復(fù)習(xí)”的教學(xué)中，老師們的復(fù)習(xí)往往停留在回顧面積公式的推導(dǎo)、記憶、應(yīng)用解決問題上，而這樣的復(fù)習(xí)，知識還是比較散，沒有提升思維的本質(zhì)，因而只注重知識“由薄到厚”。

片段一：梳理圖形間的內(nèi)在聯(lián)系，構(gòu)建知識網(wǎng)絡(luò)環(huán)節(jié)

師：仔細(xì)觀察它們的推導(dǎo)過程，你有什么發(fā)現(xiàn)和體會？

生1：它們都用到了轉(zhuǎn)化的方法。

師：對，這種把新知識轉(zhuǎn)變成已有知識再進(jìn)行研究的方法，是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要思想，稱做轉(zhuǎn)化（板書）?！稗D(zhuǎn)化”的數(shù)學(xué)思想不僅在學(xué)習(xí)圖形中能用到，今后在學(xué)習(xí)其他知識的過程中也會經(jīng)常用到。

師：誰還有別的發(fā)現(xiàn)？

生2：我發(fā)現(xiàn)正方形和平行四邊形、圓形與長方形有聯(lián)系，三角形和梯形又與平行四邊形有聯(lián)系。

師：你的發(fā)現(xiàn)真是太重要了，它們彼此之間是有聯(lián)系的。你們能用一個簡單的圖示把每個圖形之間的整體聯(lián)系表示出來嗎？

下面請你利用手中的學(xué)具，小組合作，在長方形紙上用自己喜歡的方式把它表示出來。

通過小組合作展示，學(xué)生對平面圖形的面積計算公式和內(nèi)部關(guān)系有了初步感知，并為下面的拓展和練習(xí)做了準(zhǔn)備，初步體會到整理復(fù)習(xí)不是簡單地再現(xiàn)舊知，而是要將所學(xué)知識根據(jù)聯(lián)系使其變得有條理、系統(tǒng)化。

片段二：溝通平面圖形面積公式的聯(lián)系

師：根據(jù)平面圖形面積公式的推導(dǎo)過程，我們找到了圖形間的聯(lián)系。看著他們的聯(lián)系，誰能說說它們的面積公式分別是什么？

生1：長方形面積=長×寬，正方形面積=邊長×邊長，平行四邊形面積=底×高，三角形面積=底×高÷2，梯形面積=（上底+下底）×高÷2，圓的面積=π×半徑2。

師：那你們能像剛才一樣，通過找聯(lián)系試著將它們的面積計算公式分分類嗎？

生：獨立思考，同桌交流意見。

師：誰來說說？你們是按什么標(biāo)準(zhǔn)來分的？分了幾類？

生2：我是根據(jù)它們公式推導(dǎo)的聯(lián)系將長方形、正方形、圓形分為一類，平行四邊形和三角形、梯形分為一類。

生3：我是根據(jù)它們公式計算的特點來分類的，將長方形、正方形、平行四邊形和圓形分為了一類，三角形、梯形分為一類。

師：同學(xué)們根據(jù)不同的分類標(biāo)準(zhǔn)，對計算公式進(jìn)行了分類，可見只要我們仔細(xì)找出它們之間的聯(lián)系加以整理，就可以將凌亂的知識變得更有條理，更加系統(tǒng)化。

師：在梳理這些知識的過程中，不知同學(xué)們想過沒有，這6個平面圖形能不能用同一個公式來計算它們的面積呢？

生4：我認(rèn)為可以用長方形的面積公式來計算。

師：有不同意見嗎？

生5：三角形和梯形的面積還要除以2，長方形面積是不除以2的。

師：老師也有一些自己的想法，你們想聽聽嗎？

分析：

這一部分是本節(jié)課的一個升華，也是“知識由厚到薄的過程”，正是由于他們真正理解了根據(jù)面積公式推導(dǎo)過程構(gòu)建的圖形間的關(guān)系，才能將平面圖形的面積公式（圓之外）都概括成一種圖形的面積公式。這樣做的目的并不是真正的統(tǒng)一，而是訓(xùn)練學(xué)生觀察圖形間、知識間的聯(lián)系，從而發(fā)展學(xué)生的創(chuàng)造性思維。這不正是把握事物的本質(zhì)，把繁雜問題簡單化、條理化、清晰化的過程嗎？這一層次的抽象是數(shù)學(xué)抽象的本質(zhì)。

（作者單位 太原市教研科研中心）