基于APOS理論下的概念教學(xué)

摘 要：APOS理論是近年來美國數(shù)學(xué)家杜賓斯基（Dubinsky）等人提出的一種數(shù)學(xué)教學(xué)理論。首先談了對(duì)APOS理論的認(rèn)識(shí)，然后通過“直線的斜率”的教學(xué)設(shè)計(jì)嘗試了APOS理論在數(shù)學(xué)概念教學(xué)中的應(yīng)用。

關(guān)鍵詞：APOS理論；數(shù)學(xué)概念；教學(xué)設(shè)計(jì)；直線的斜率

我們都知道，概念是人們對(duì)客觀事物在感性認(rèn)識(shí)的基礎(chǔ)上經(jīng)過比較、分析、綜合、概括、判斷、抽象等一系列思維活動(dòng)，逐步認(rèn)識(shí)到它的本質(zhì)屬性以后才形成的?！镀胀ǜ咧袛?shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)稿）》指出：教學(xué)中應(yīng)加強(qiáng)對(duì)基本概念和基本思想的理解和掌握，對(duì)一些核心概念和基本思想要貫穿于高中數(shù)學(xué)教學(xué)的始終，幫助學(xué)生逐步加深理解。由于數(shù)學(xué)高度抽象的特點(diǎn)，注重體現(xiàn)基本概念的來龍去脈，在教學(xué)中要引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷從具體實(shí)例抽象出數(shù)學(xué)概念的過程，在初步運(yùn)用中逐步理解概念的本質(zhì)。許多教師認(rèn)為，概念就是一種規(guī)定，讓學(xué)生記住是主要的，沒有什么好講的，有時(shí)講與不講效果也差不多，不如節(jié)省出更多的時(shí)間來進(jìn)行解題訓(xùn)練。因此，“一個(gè)定義，三項(xiàng)注意”式的概念教學(xué)比比皆是，在常態(tài)課中表現(xiàn)得更為突出，這一現(xiàn)象必須引起我們的高度重視。

任何一個(gè)數(shù)學(xué)教育中的理論或模型都應(yīng)該致力于對(duì)“學(xué)生是如何學(xué)數(shù)學(xué)的”及“什么樣的教學(xué)計(jì)劃可以幫助這種學(xué)習(xí)”的理解，而不僅僅是陳述一些事實(shí)。基于這樣的考慮，杜賓斯基等人建立了APOS理論—— 一個(gè)可以促進(jìn)我們有效教學(xué)的數(shù)學(xué)教學(xué)理論。從20世紀(jì)90年代起，APOS理論就被介紹到我國的數(shù)學(xué)教育界，它是為數(shù)不多的依據(jù)數(shù)學(xué)學(xué)科特點(diǎn)而建立的教學(xué)理論，因此，對(duì)這樣的理論進(jìn)行深入地研究是十分有意義的。我國的數(shù)學(xué)概念教學(xué)大多采用概念同化的方式進(jìn)行，這種教學(xué)過程雖然簡明，但卻忽視了許多數(shù)學(xué)概念具有過程——對(duì)象的雙重性的特點(diǎn)。近年來，相關(guān)學(xué)者的研究結(jié)果表明，將APOS理論應(yīng)用到概念教學(xué)中可以彌補(bǔ)我們以前那種概念教學(xué)方式的缺點(diǎn)。

一、什么是APOS理論

APOS理論充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)概念過程與對(duì)象二重性的統(tǒng)一，反映了個(gè)體認(rèn)知數(shù)學(xué)概念的思維過程，揭示了數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)的本質(zhì)。這與當(dāng)前我國新課程所倡導(dǎo)的理念也是相一致的，《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》指出：數(shù)學(xué)課程應(yīng)該返璞歸真，努力揭示數(shù)學(xué)概念、法則、結(jié)論的發(fā)展過程和本質(zhì)。

下面對(duì)APOS理論作簡單說明。杜賓斯基認(rèn)為，學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念就是要建構(gòu)心智結(jié)構(gòu)，這一建構(gòu)過程要經(jīng)歷以下四個(gè)階段。

第一階段——操作（或活動(dòng)）（action）階段

這里的活動(dòng)是指個(gè)體通過一步一步的外顯性（或記憶性）指令去變換一個(gè)客觀的數(shù)學(xué)對(duì)象。數(shù)學(xué)教學(xué)是數(shù)學(xué)活動(dòng)的教學(xué)，操作運(yùn)算行為是數(shù)學(xué)認(rèn)知的基礎(chǔ)性行為。學(xué)生與數(shù)學(xué)家一樣，要親自投入，通過實(shí)際經(jīng)驗(yàn)來獲得知識(shí)，雖然這種實(shí)踐性與物理、化學(xué)、生物等實(shí)驗(yàn)科學(xué)的觀察試驗(yàn)行為有所不同，但數(shù)學(xué)活動(dòng)仍需實(shí)際操作演算和頭腦中的心理操作——思想實(shí)驗(yàn)，沒有物理操作和心理的操作，數(shù)學(xué)概念將成為無源之水、無本之木。大部分?jǐn)?shù)學(xué)概念的形成都經(jīng)歷了一個(gè)反省抽象的活動(dòng)，而要形成反省，被反省的基礎(chǔ)，就是操作活動(dòng)。

第二階段——過程（process）階段

對(duì)“操作”進(jìn)行思考，經(jīng)歷思維的內(nèi)化、壓縮過程，在頭腦中進(jìn)行描述和反思，抽象出概念所特有的性質(zhì)。例如：一旦學(xué)生認(rèn)識(shí)到所謂函數(shù)只不過是給定一個(gè)不同的數(shù)就會(huì)得出相應(yīng)的不同值，而不必再進(jìn)行具體的運(yùn)算時(shí)，他就已經(jīng)完成了這種過程模式的建構(gòu)。

第三階段——對(duì)象（object）階段

當(dāng)個(gè)體意識(shí)到可以將“過程”看成一個(gè)整體，并可以對(duì)其進(jìn)行變形、轉(zhuǎn)換和操作時(shí)，就會(huì)將這個(gè)過程作為一個(gè)一般意義上的數(shù)學(xué)對(duì)象，此時(shí)“過程”便凝聚成了“對(duì)象”?！皩?duì)象階段”使過程達(dá)到精致化，并視其為一個(gè)具體的獨(dú)立對(duì)象進(jìn)行新的數(shù)學(xué)活動(dòng)，它既操作其他的對(duì)象，同時(shí)又被較高層次的運(yùn)算所操作，為從更高層次進(jìn)行數(shù)學(xué)研究創(chuàng)造了條件。當(dāng)概念達(dá)到對(duì)象階段時(shí)，就會(huì)表現(xiàn)為一種靜態(tài)結(jié)構(gòu)關(guān)系，有助于個(gè)體對(duì)概念性質(zhì)進(jìn)行整體把握。

第四階段——圖式（scheme）階段

個(gè)體對(duì)活動(dòng)、過程、對(duì)象以及他原有的相關(guān)方面的圖式進(jìn)行相應(yīng)的整合、精致就會(huì)產(chǎn)生出新的圖式結(jié)構(gòu)（scheme），從而可運(yùn)用于問題解決情境。一個(gè)數(shù)學(xué)概念的“圖式”是由相應(yīng)的活動(dòng)、過程、對(duì)象以及相關(guān)的圖式所組成的認(rèn)知框架。其作用和特點(diǎn)就是決定某些刺激是否屬于這個(gè)圖式，從而就會(huì)作出不同的反應(yīng)。本階段對(duì)概念進(jìn)行更高層次的心理加工與整合，對(duì)概念的認(rèn)識(shí)與理解進(jìn)一步深化，而且“圖式階段”的形成通常需要經(jīng)過長期的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)才能得以實(shí)現(xiàn)。

二、以“直線的斜率”教學(xué)設(shè)計(jì)為例來探討APOS理論的應(yīng)用

（一）活動(dòng)階段，感受概念的直觀背景，形成感性認(rèn)識(shí)

現(xiàn)實(shí)世界中，到處都有美妙的曲線，比如：美麗的拱橋、行星的運(yùn)動(dòng)軌跡，等等。那么，如何從教學(xué)的角度深入地研究這些曲線呢？這就需要進(jìn)行量的刻畫，在教學(xué)史中，大數(shù)學(xué)家笛卡爾對(duì)這個(gè)問題進(jìn)行了思考，創(chuàng)立了解析幾何學(xué)（簡單介紹解析幾何）。今天就帶領(lǐng)大家進(jìn)入這個(gè)新的領(lǐng)域，以代數(shù)的方法解決幾何問題，直線是最基本的幾何圖形，今天我們就從研究直線開始。

（二）過程階段，體驗(yàn)概念的形成過程

師：同學(xué)們小時(shí)候都玩過蹺蹺板吧！如果把蹺蹺板抽象的理解為一條直線，那么在蹺蹺板的運(yùn)動(dòng)過程中，就形成了一系列的直線，那么這些直線有什么共同點(diǎn)呢？

生：它們都經(jīng)過同一點(diǎn)。

師：但是，我們發(fā)現(xiàn)這些直線的方向是各不相同的。如果我們確定一個(gè)方向，那么直線是不是就確定了呢？

生：是的。

板書：直線的確定需要一點(diǎn)和一個(gè)確定的方向。

斜拉橋的拉鎖可以看成方向不同的一些直線，實(shí)際上對(duì)于橋面而言，也是傾斜程度的不同，那么，如何來刻畫直線的斜率程度呢？

師：下面，先請(qǐng)同學(xué)們思考兩個(gè)問題：

1.為什么大橋的引橋與腰很長？

2.滑梯從湖邊滑到湖心，為什么要很高才夠刺激？

學(xué)生討論，總結(jié)出傾斜程度和高度與寬度的比有關(guān)系。

師：那么，更一般的，如果任意給出兩條直線，你能判斷出它們的傾斜程度嗎？

學(xué)生討論，提出參考系，引入直角系坐標(biāo)。

總之，APOS理論對(duì)于當(dāng)前的數(shù)學(xué)概念教學(xué)有一定的借鑒作用和參考價(jià)值。教師可以在教學(xué)實(shí)踐中結(jié)合客觀實(shí)際對(duì)該理論進(jìn)行探索，不斷地總結(jié)與反思，精心設(shè)計(jì)概念教學(xué)活動(dòng)，以促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的優(yōu)化與完善。

參考文獻(xiàn)：

[1]鮑建生，周超.數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的心理基礎(chǔ)與過程[M].上海教育出版社，2009-10.

[2]張奠宙，李士锜，李俊.數(shù)學(xué)教育學(xué)導(dǎo)論[M].高等教育出版社，2003-04.

[3]唐艷.基于APOS理論的數(shù)學(xué)概念教學(xué)設(shè)計(jì)[J].上海中學(xué)教學(xué)，2005（12）：22-24.

[4]王繼光，龔輝.APOS理論與銳角三角函數(shù)概念的形成[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考：上旬，2011（11）：13-14.

[5]濮安山，史寧中.從APOS理論看高中生對(duì)函數(shù)概念的理解[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2007（5）：48-50.

（作者單位 安徽師范大學(xué)數(shù)學(xué)計(jì)算機(jī)學(xué)院2009級(jí)教育碩士 安慶一中）