函數(shù)的周期性與奇偶性

函數(shù)的性質(zhì)一直以來(lái)都是高考的一個(gè)重要考點(diǎn)。如何準(zhǔn)確靈活地把握函數(shù)的性質(zhì)，順利地解答有關(guān)問題，是需要我們探索和研究的課題。筆者從函數(shù)的周期性和奇偶性方面入手進(jìn)行了如下研究：

一、函數(shù)的周期性

一般地說(shuō)，對(duì)于函數(shù)y=f(x)，如果存在一個(gè)不為零的常數(shù)T，使取定義域內(nèi)的每一個(gè)x值時(shí)， f(x+T)=f(x)都成立，那么就把函數(shù)y=f(x)叫做周期函數(shù)，不為零的常數(shù)T叫做這個(gè)函數(shù)的周期。理解周期性要注意以下幾點(diǎn)：1.定義適合定義域中的每一個(gè)x值。2.并不是所有周期函數(shù)都存在最小正周期，如常數(shù)函數(shù)f(x)=c，所有的正數(shù)都是它的周期，但沒有最小值，故常數(shù)函數(shù)沒有最小正周期。3.周期函數(shù)的周期不止一個(gè)，若T是周期，則kT(?資∈?篆+)也是周期。4.周期函數(shù)的定義域一定是無(wú)限集，而且定義域一定無(wú)上界或無(wú)下界。5.設(shè)a為非零常數(shù)，若對(duì)于f(x)定義域內(nèi)的任意x，恒有下列條件之一成立：①f（x+a）=-f (x) ②f（x+a）= ③f（x+a）=- ④ f（x+a）=⑤ f（x+a）=⑥ f（x+a）=f（x-a），則函數(shù)y=f（x）是周期函數(shù)。

二、函數(shù)的奇偶性

如果對(duì)于函數(shù)f(x)定義域內(nèi)的任意一個(gè)x，都有f（-x）=-f（x），那么函數(shù)y=f（x）就叫做奇函數(shù)；如果對(duì)于函數(shù)（x）定義域內(nèi)的任意一個(gè)x，都有f（-x）=f（x），則稱函數(shù)y=f（x）為偶函數(shù)。理解奇偶性要注意以下幾點(diǎn)：1.定義域必定關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，即定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱是函數(shù)具有奇偶性的必要不充分條件。2.奇偶性是研究函數(shù)在整個(gè)定義域內(nèi)的函數(shù)值的對(duì)稱問題。3.若函數(shù)f（x）既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)，則f（x）=0，反過(guò)來(lái)不一定成立，如：f（x）=0（-1

三、周期性與奇偶性的結(jié)合

周期性解決的問題是自變量相差常數(shù)（周期的倍數(shù)）時(shí)，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值相等；奇偶性解決的問題是自變量互為相反數(shù)時(shí)，函數(shù)值的關(guān)系。當(dāng)求某一函數(shù)值時(shí)，可以先考慮一方面進(jìn)行變化，如得不到結(jié)果，再?gòu)牧硪环矫孢M(jìn)行變化，從而解答相關(guān)問題?，F(xiàn)舉例如下：

例1：已知f（x）是定義在R上的以2為周期的偶函數(shù)，且當(dāng) x∈（0，1）時(shí)，f（x）=2x-1 ，則f（log212）的值為 。

解析：∵3

∴f（log212） =f（log212-4）=f（4-log212）=24-log212-1=

評(píng)析：函數(shù)的周期為2，則自變量相差2的整數(shù)倍的函數(shù)值相等，但只給了（0，1）時(shí)的解析式，所以再利用偶函數(shù)性質(zhì)，互為相反數(shù)的兩個(gè)自變量對(duì)應(yīng)的函數(shù)值相等，得出所要求的函數(shù)值。

例2：（2010?安徽卷）若f(x)是R上周期為5的奇函數(shù)，且滿足f（1）=1，f（2）＝2 ，則f（3）-f（4）= （ ） A.-1 B.1 C.-2 D.2

解析：由周期性得f（3）=f（-2），再由奇函數(shù)得 f（-2）＝-f（2） ∴f（3）=-f（2） 同理f（4）＝-f（1）∴f（3）-f（4）=f（1）-f（2）=1

評(píng)析：函數(shù)是奇函數(shù)可求互為相反數(shù)的兩個(gè)自變量所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值，周期可得自變量相差5的倍數(shù)的函數(shù)值相等。只有兩個(gè)性質(zhì)靈活運(yùn)用才能順利解決問題。

練習(xí)：已知f（x）是定義在R上的以4為周期的偶函數(shù)，若當(dāng)x∈（0，2）時(shí)，f（x）=lg（x+1）， 則有（ ）。A.f（-）>f（1）>f（） B.f（-）>f（）>f（1） C.f（1）>f（-）>f（）

D.f（）>f（1）>（-）B. （答案A）

例3：已知定義在R上的函數(shù)f（x）既是奇函數(shù)，又是周期函數(shù)，T是它的一個(gè)正周期，若將方程f(x)=0在閉區(qū)間[-T，T]上的根的個(gè)數(shù)記為n，則n可能為（ ）A.0 B.1 C.3 D.5

解析：∵f （x）為奇函數(shù)且周期為T，∴f(0)=0 ∴ f(T)=f(-T)=0 又∵ f(-)=f(-+T)=f()=-f(∴f()=0， f(-)=0 ∴f(x) 在 [-T，T]上至少有5個(gè)根。(答案D)

評(píng)析：1.奇函數(shù)定義域包含0，則f(0)=0。2.奇函數(shù)得出 f(-)=-f()，周期性得出 f(-)=-f() ∴f()=0。此題通過(guò)兩個(gè)性質(zhì)的巧妙結(jié)合可以培養(yǎng)學(xué)生分析問題和解決問題的能力。

練習(xí)：若f(x)是R上周期為3的奇函數(shù)，且f(2)=0，則方程f(x)=0在區(qū)間（0，6）內(nèi)的解至少有（ ）。 A.4個(gè) B.5個(gè) C.6個(gè) D.7個(gè) (答案D )

例4：已知定義在R上的奇函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱，并且x∈(0，1]時(shí)，f(x)=x2+1，則f(462)的值為（ ）。A.2 B.0 C.1 D.-1

解析：由奇函數(shù)得f(x)=-f(x)，由圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱得 f(-x)=f(2+x)∴f(2+x)=-f(x)∴T=4 ∴f(462)=f(2)=f(0)=0

評(píng)析：函數(shù)既有奇偶性，又關(guān)于直線x=a(a≠0)對(duì)稱，則函數(shù)必為周期函數(shù)，又奇函數(shù)f(0)=0，結(jié)合關(guān)于x=1對(duì)稱，∴f(2)=f(0)=0 ∴f(462)=0

練習(xí):已知函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)且滿足f(x+1)+f(x)=3，當(dāng) x∈[0，1]時(shí)f(x)=2-x，則f(2011.5)= 。（答案1.5）

函數(shù)的周期性和奇偶性的結(jié)合自然巧妙，旨在考查學(xué)生理解定義和靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)的能力，是培養(yǎng)學(xué)生分析問題、解決問題的很好的題型。以上是我對(duì)函數(shù)周期性和奇偶性的一點(diǎn)認(rèn)識(shí)，愿與各位同仁共同探討。

（責(zé)任編輯 趙永玲）