基于線性重力差模型的攔截彈中制導(dǎo)技術(shù)*

陸 誠(chéng)，崔朗福，張慶振，曾浩然，聶 華，趙友鋮

(1.北京航空航天大學(xué) 自動(dòng)化科學(xué)與電氣工程學(xué)院·北京·100083; 2.中國(guó)艦船研究設(shè)計(jì)中心·武漢·430064; 3.北京機(jī)電工程總體研究所·北京·100854)

0 引 言

機(jī)載動(dòng)能攔截彈是一種由載機(jī)攜帶發(fā)射，在大氣層內(nèi)通過(guò)初始上升段進(jìn)行快速爬升、大氣層外中制導(dǎo)段縮小彈目距離、動(dòng)能殺傷武器(Kinetic Kill Vehicle，KKV)末制導(dǎo)階段對(duì)姿態(tài)位置進(jìn)行微調(diào)并最終通過(guò)直接碰撞，實(shí)現(xiàn)對(duì)數(shù)千千米外的空間目標(biāo)進(jìn)行打擊的攔截武器[1]。大氣層內(nèi)的初始上升段經(jīng)過(guò)一、二級(jí)助推使得攔截彈在最短時(shí)間內(nèi)爬升到大氣層外進(jìn)入中制導(dǎo)階段；大氣層外中制導(dǎo)段的主要目的是將彈目相對(duì)距離盡量減小到量級(jí)較小的值，為末制導(dǎo)創(chuàng)造良好條件[2]；末制導(dǎo)經(jīng)過(guò)初始上升段、中制導(dǎo)段助推后距離目標(biāo)已經(jīng)較為接近，通過(guò)攔截彈的最后一級(jí)KKV自帶的姿軌控發(fā)動(dòng)機(jī)對(duì)自身狀態(tài)進(jìn)行微調(diào)，使得KKV導(dǎo)引頭能夠探測(cè)到空間目標(biāo)并實(shí)現(xiàn)直接對(duì)撞打擊。其中，中制導(dǎo)段的任務(wù)是將數(shù)量級(jí)在上千千米的彈目距離通過(guò)中制導(dǎo)段盡量減小到幾千米甚至幾百米的數(shù)量級(jí)，對(duì)于攔截彈的成功打擊具有重要作用[3]。

針對(duì)上述中制導(dǎo)問(wèn)題的研究，陸亞?wèn)|等[4]利用預(yù)測(cè)命中點(diǎn)的制導(dǎo)方法給出了發(fā)動(dòng)機(jī)的定向策略，但計(jì)算量大不適合在線處理而且未考慮中制導(dǎo)段軌道修正后對(duì)末制導(dǎo)段攻擊角的影響，存在不完善之處；臧月進(jìn)等[5]利用零重力差模型結(jié)合最優(yōu)控制和龐特里亞金極小值設(shè)計(jì)出了一種大氣層外最優(yōu)攔截制導(dǎo)律，但零重力差模型只適用于彈目距離較小的情況，當(dāng)彈目距離較大時(shí)誤差過(guò)大；Zes D等[6]提出了一種考慮地球重力項(xiàng)攝動(dòng)和完整引力差的比例導(dǎo)引方法，通過(guò)假設(shè)彈目重力差為零來(lái)計(jì)算零控脫靶量，同樣只適用于彈目初始位置較為接近、初始零控脫靶量較小的情況。

本文提出了一種通過(guò)線性重力差模型來(lái)計(jì)算脫靶時(shí)刻和零控脫靶量的方法，并基于此設(shè)計(jì)了攔截器助推級(jí)的點(diǎn)火策略，經(jīng)過(guò)仿真驗(yàn)證表明本文方法能夠有效應(yīng)對(duì)長(zhǎng)程(大于3000km)攔截任務(wù)，具有一定的工程價(jià)值。

1 攔截彈目標(biāo)運(yùn)動(dòng)模型

攔截任務(wù)主要關(guān)注攔截彈與目標(biāo)在慣性空間下的相對(duì)運(yùn)動(dòng)情況，因此在發(fā)射慣性坐標(biāo)系下建立運(yùn)動(dòng)方程進(jìn)行研究。大氣層外空氣稀薄，氣動(dòng)力可忽略不計(jì)，攔截彈與目標(biāo)的質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)方程表示如下[7]：

(1)

(2)

圖1 空間慣性坐標(biāo)系下攔截彈與目標(biāo)運(yùn)動(dòng)情況Fig.1 Motion of Interceptor and Target in Space Inertial Coordinate System

其中攔截彈除了受到引力作用之外還受到額外的推力T作用，零控脫靶量是指從當(dāng)前時(shí)刻起，不加外部控制、只受引力作用下攔截彈與目標(biāo)最終的位置矢量偏差，既可以作為一種衡量攔截器全段制導(dǎo)精度的性能指標(biāo)，也可以作為對(duì)當(dāng)前狀態(tài)進(jìn)行指引的預(yù)測(cè)值。當(dāng)前狀態(tài)下彈目相對(duì)運(yùn)動(dòng)方程如下[8]：

(3)

攔截彈多段助推的目的是通過(guò)調(diào)整推力矢量使得彈目相對(duì)距離最小，也就是實(shí)現(xiàn)對(duì)目標(biāo)的攔截。上述非線性二階時(shí)變方程難以通過(guò)實(shí)時(shí)解析方法得到精確解，而整個(gè)中制導(dǎo)段的目的就是通過(guò)調(diào)節(jié)T推力的大小和方向，將二者位置矢量差值盡可能降低，因此對(duì)于公式(3)中二者重力差值ΔG(t)，提出四種模型進(jìn)行簡(jiǎn)化處理，提高零控脫靶量預(yù)測(cè)值的計(jì)算速度。

2 四種重力差模型的建立

分別提出等重力差、常值重力差、線性重力差、二次重力差四種模型[9]，給出相應(yīng)的解析式并求出各自對(duì)應(yīng)模型下的零控脫靶量預(yù)測(cè)值。

2.1 等重力差模型

假設(shè)攔截彈與目標(biāo)所受重力相等[9]，公式(3)簡(jiǎn)化為：

(4)

在外部推力作用T=0時(shí)，相對(duì)運(yùn)動(dòng)方程如下：

(5)

(6)

2.2 常值重力差模型

攔截彈與目標(biāo)初始時(shí)刻重力差值ΔG(t0)可以通過(guò)指揮控制通信系統(tǒng)(Command and Control Integrated Communication and Intelligence System，C3I)和攔截彈自帶導(dǎo)航系統(tǒng)得到，而最終脫靶時(shí)刻可認(rèn)為彈目位置較為接近，重力差ΔG(tf)=0，因此常值重力差為兩個(gè)端點(diǎn)平均值[9]，即：

(7)

常值重力差模型下相對(duì)運(yùn)動(dòng)方程如下：

(8)

結(jié)合零控脫靶量的定義并利用牛頓迭代法求解出攔截時(shí)間tf，帶入可得常值重力差模型下的零控脫靶量預(yù)測(cè)值：

(9)

2.3 線性重力差模型

線性重力差模型即假設(shè)自由飛行段飛行器所受重力(地球引力)隨時(shí)間線性變化[9]，即：

(10)

此時(shí)相對(duì)運(yùn)動(dòng)方程形式如下：

(11)

求解零控脫靶量預(yù)測(cè)值細(xì)節(jié)不再贅述，直接給出結(jié)果：

(12)

2.4 二次重力差模型

進(jìn)一步對(duì)重力差模型進(jìn)行精確模擬可假設(shè)重力差值以二次函數(shù)形式變化[9]。為獲得二次函數(shù)模型需要知道兩個(gè)時(shí)間點(diǎn)t0與tp時(shí)刻導(dǎo)彈與目標(biāo)的重力差。二次重力差模型可表達(dá)為：

ΔG(t)=ΔG2(tp,t0,tf)(tf-t)2+

ΔG1(tp,t0,tf)(tf-t)

(13)

此時(shí)的相對(duì)運(yùn)動(dòng)方程如下：

(14)

求解出二次重力差模型下的零控脫靶量預(yù)測(cè)值：

V(t0)(tf-t0)+R0

(15)

在此基礎(chǔ)上對(duì)上述四種重力差模型精度進(jìn)行分析：以助推火箭中制導(dǎo)段終端時(shí)刻t0作為初始條件，分別采用上述四種零控脫靶量預(yù)測(cè)模型進(jìn)行仿真，攔截目標(biāo)為800km的赤道圓軌道空間目標(biāo)，攔截器與目標(biāo)在t0時(shí)刻狀態(tài)如下表：

表1 彈目初始狀態(tài)

得到的四種模型下實(shí)際軌道和預(yù)測(cè)軌道偏差情況如下所示：

圖2 彈道預(yù)測(cè)精度對(duì)比Fig.2 Precision comparison of trajectory prediction

表2 脫靶時(shí)刻預(yù)測(cè)精度對(duì)比

Tab.2 Precision comparison of miss time prediction

預(yù)測(cè)方法待飛時(shí)間偏差Δtf/s零重力差模型(Zero Gravity)7.038常值重力差模型(Constant Gravity)1.496 線性重力差模型(Linear Gravity)0.2562二次重力差模型(Quadratic Gravity)0.3824

由仿真結(jié)果可見(jiàn)線性重力差模型與二次重力差模型的預(yù)測(cè)值與真實(shí)值偏差量較小，由于二次重力差模型需要更多參數(shù)，但在精度上沒(méi)有很大優(yōu)勢(shì)，因此選擇線性重力差模型預(yù)測(cè)零控脫靶量。

3 中制導(dǎo)律設(shè)計(jì)

通過(guò)前文分析，可以得到較為精確的零控脫靶量預(yù)測(cè)值ZEMpred，基于求得攔截彈推力矢量T=Tλ(T為攔截彈推力大小，λ為推力方向的單位矢量)將零控脫靶量預(yù)測(cè)值ZEMpred消除為零[10]。

制導(dǎo)律具體形式如下：

T=TλΛ=ε+KZEM⊥=Λλ

(16)

表示為兩項(xiàng)之和：第一項(xiàng)ε=R/R為彈目視線方向上的單位向量；第二項(xiàng)KZEM⊥為零控脫靶量垂直于彈目視線方向上的分量ZEM⊥與增益K的乘積。二者有如下關(guān)系：

（3）原蟲(chóng)寄生類(lèi)疾病。在對(duì)這類(lèi)疾病進(jìn)行治療時(shí)，因?yàn)榇蟛糠挚辜纳x(chóng)藥物都含有一定毒性，為將這些藥物的副作用降低到最小，防疫人員在用藥的同時(shí)應(yīng)通過(guò)營(yíng)養(yǎng)、強(qiáng)心等藥物升治療效果。

ZEM⊥=ZEM-(ZEM·ε)ε

(17)

因此推力方向主要由零控脫靶量在彈目視線方向和垂直于彈目視線方向的兩個(gè)分量決定，實(shí)際應(yīng)用當(dāng)中主要通過(guò)調(diào)節(jié)增益系數(shù)K來(lái)對(duì)兩個(gè)分量進(jìn)行調(diào)整。

中制導(dǎo)過(guò)程中，攔截彈與目標(biāo)的相對(duì)運(yùn)動(dòng)方程如下：

(18)

其中ε,n分別為沿彈目視線方向上的和垂直于彈目視線方向上的單位矢量，結(jié)合制導(dǎo)律公式可得：

(19)

4 攔截器助推級(jí)點(diǎn)火時(shí)間確定

前述方法可以得到精度較高的零控脫靶量預(yù)測(cè)值ZEMpred，并通過(guò)制導(dǎo)律設(shè)計(jì)可以使ZEMpred趨近于零，但一方面預(yù)測(cè)值與真實(shí)值存在一定的偏差，另一方面隨著中制導(dǎo)段無(wú)控飛行時(shí)間的增長(zhǎng)，原本趨近于零的ZEMpred可能會(huì)出現(xiàn)發(fā)散，因此如果不加以限制，很有可能出現(xiàn)脫靶。

為解決可能出現(xiàn)的脫靶問(wèn)題，采用延遲中制導(dǎo)二次助推(也即攔截器助推級(jí))點(diǎn)火的策略，因此將助推級(jí)的作用更多地體現(xiàn)在中制導(dǎo)段的軌道修正上[11]，因此攔截彈二級(jí)助推完成后先進(jìn)行一段時(shí)間的自由飛行，并通過(guò)實(shí)時(shí)參數(shù)計(jì)算得到某一點(diǎn)火信號(hào)Jk，滿足開(kāi)機(jī)條件之后開(kāi)啟攔截器助推級(jí)來(lái)修正零控脫靶量的預(yù)測(cè)值ZEMpred。

選取開(kāi)啟時(shí)間主要有以下原則：

(1)末制導(dǎo)段KKV軌道修正能力有限，為提高打擊精度不能過(guò)晚開(kāi)啟助推級(jí)；而助推級(jí)完成助推之后已經(jīng)修正為零的零控脫靶量預(yù)測(cè)值ZEMpred可能會(huì)再次發(fā)散，因此助推級(jí)也不能開(kāi)啟過(guò)早[12]。

確定以上原則后若信號(hào)不滿足開(kāi)機(jī)條件則攔截彈繼續(xù)飛行直至滿足；若一直不滿足條件則實(shí)時(shí)計(jì)算待飛時(shí)間dt=tf-t=100s時(shí)開(kāi)啟攔截器助推級(jí)[13]。

結(jié)合地面測(cè)試得到的攔截器速度增量ΔV和實(shí)時(shí)待飛時(shí)間tf可決定攔截器變軌能力ΔR：

(20)

其中twork為攔截器助推級(jí)的工作時(shí)間，可見(jiàn)飛行過(guò)程中變軌能力ΔR在不斷變小，若變軌量ΔR小于零控脫靶量預(yù)測(cè)值ZEMpred則在理論上無(wú)法命中目標(biāo)；結(jié)合實(shí)際情況下計(jì)算待飛時(shí)間要考慮助推級(jí)的加速過(guò)程以及推力方向的限制，定義點(diǎn)火信號(hào)如下：

(21)

其中0≤M≤1為一常數(shù)，一般選取0.6～0.8之間。定義Jp=Jc/ΔR，其中Jc是零控脫靶量的絕對(duì)值，因此Jp表示攔截過(guò)程中的需求和剩余實(shí)際變軌能力的比值；點(diǎn)火信號(hào)為上升沿觸發(fā)[12]，第一次由0置1時(shí)攔截器助推級(jí)點(diǎn)火。

至此，中制導(dǎo)律設(shè)計(jì)部分完成。

5 仿真驗(yàn)證

5.1 中制導(dǎo)仿真驗(yàn)證

根據(jù)上文設(shè)計(jì)的中制導(dǎo)律，在Matlab Simu-link環(huán)境下進(jìn)行仿真，目標(biāo)為1000km高的赤道圓軌空間目標(biāo)，彈目初始狀態(tài)如下，中制導(dǎo)段二級(jí)助推火箭剩余工作時(shí)間為30s，攔截器主推機(jī)工作時(shí)間為60s，彈目初始距離為3596.3km。

表3 彈目初始狀態(tài)

中制導(dǎo)段仿真結(jié)果如下：

圖3 零控脫靶量預(yù)測(cè)值ZEMpred與時(shí)間關(guān)系Fig.3 The relationship between predicted zero miss distance and time

圖4 相對(duì)距離與時(shí)間關(guān)系Fig.4 The relationship between relative distance and time

中制導(dǎo)段仿真結(jié)果可知：

(1)二級(jí)助推火箭關(guān)機(jī)時(shí)減小為零的零控脫靶量預(yù)測(cè)值ZEMpred逐漸發(fā)散；在長(zhǎng)距離自由飛行后由302.34s開(kāi)啟攔截器助推級(jí)，將零控脫靶量預(yù)測(cè)值ZEMpred再次修正為零。

(2)彈目相對(duì)距離始終呈減小趨勢(shì)，最終脫靶量為164.51m，也就是說(shuō)末制導(dǎo)段KKV只需要修正164.51m的脫靶量即可。

5.2 全段仿真驗(yàn)證

結(jié)合攔截彈全段對(duì)中制導(dǎo)律進(jìn)行驗(yàn)證，為簡(jiǎn)化問(wèn)題給出如下假設(shè)：(1)只考慮相對(duì)慣性系位置，不考慮地面相對(duì)位置；(2)軌道為圓形軌道；(3)目標(biāo)從北向南看逆時(shí)針運(yùn)動(dòng)。

5.2.1 仿真情況一

目標(biāo)為800km軌道高度的圓軌道空間目標(biāo)，彈目初始條件如表4所示。

表4 彈目初始狀態(tài)

全段仿真結(jié)果如下：

圖5 零控脫靶量在中制導(dǎo)段隨時(shí)間變化Fig.5 The relationship between zero miss distance and time in midcourse

圖6 發(fā)射坐標(biāo)系下全段彈道仿真Fig.6 Simulation of whole trajectory in launch coordinate system

攔截過(guò)程中的全段參數(shù)如下表所示：

表5 全段彈道仿真參數(shù)

從仿真結(jié)果可以看出，最終的零控脫靶量為0.7606m，可認(rèn)為全段制導(dǎo)律能夠成功攔截800km高度的空間目標(biāo)，并且助推級(jí)點(diǎn)火由待飛時(shí)間條件觸發(fā)也即正常點(diǎn)火，剩余射程能覆蓋脫靶量，有足夠的攔截能力。

5.2.2 仿真情況二

目標(biāo)為1200km軌道高度的圓軌道空間目標(biāo)，彈目初始條件如下：

表6 彈目初始狀態(tài)

圖7 零控脫靶量在中制導(dǎo)段隨時(shí)間變化Fig.7 The relationship between zero miss distance and time in midcourse

圖8 發(fā)射坐標(biāo)系下全段彈道仿真Fig.8 Simulation of whole trajectory in launch coordinate system

攔截過(guò)程中的全段參數(shù)如下表所示：

表7 全段彈道仿真參數(shù)

從仿真結(jié)果可見(jiàn)，最終的零控脫靶量為0.96m，可認(rèn)為全段制導(dǎo)律能夠成功攔截1200km高度的空間目標(biāo)，并且攔截器助推級(jí)由軌道修正能力條件觸發(fā)，也即提前點(diǎn)火；若仍按照待飛時(shí)間條件觸發(fā)則脫靶量會(huì)在千米級(jí)別，證明點(diǎn)火策略對(duì)攔截情況的有效預(yù)判與控制能力。

6 結(jié) 論

本文結(jié)合機(jī)載動(dòng)能攔截彈任務(wù)需求，結(jié)合多級(jí)助推各段制導(dǎo)的特點(diǎn)，選擇零控脫靶量預(yù)測(cè)值作為指標(biāo)設(shè)計(jì)了一種預(yù)測(cè)制導(dǎo)方法，隨后介紹了基于四種模型的預(yù)測(cè)方法(零重力差模型、常值重力差模型、線性重力差模型、二次重力差模型)，并經(jīng)過(guò)仿真說(shuō)明線性重力差模型較優(yōu)，選取線性重力差模型預(yù)測(cè)零控脫靶量；在此基礎(chǔ)上設(shè)計(jì)中制導(dǎo)律，確定制導(dǎo)增益；針對(duì)長(zhǎng)距離攔截情況下的零控脫靶量預(yù)測(cè)值發(fā)散問(wèn)題，采用延遲點(diǎn)火策略，結(jié)合實(shí)際攔截情況與自身攔截能力設(shè)計(jì)攔截器助推級(jí)點(diǎn)火信號(hào)。最后對(duì)所設(shè)計(jì)的中制導(dǎo)律與點(diǎn)火信號(hào)進(jìn)行仿真驗(yàn)證，仿真結(jié)果表明制導(dǎo)律對(duì)于長(zhǎng)距離攔截具有較高精度，能夠?yàn)槟┲茖?dǎo)提供良好的初始條件。