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    偽k-投射半模

    2012-12-27 03:50:36王秀麗
    關(guān)鍵詞:投射模半環(huán)同態(tài)

    王秀麗

    (中國民航大學(xué)理學(xué)院,天津 300300)

    偽k-投射半模

    王秀麗

    (中國民航大學(xué)理學(xué)院,天津 300300)

    引進了偽k-投射半模的概念,并利用與k-投射半模和偽投射模相類似的研究方法,得到了偽k-投射半模的一些性質(zhì),進而實現(xiàn)了偽投射模和k-投射半模的一些性質(zhì)到偽k-投射半模的推廣.

    可吸收半模;k-正則同態(tài);偽k-投射半模;真正合列;自由半模

    1 預(yù)備知識

    本文中的R均表示有單位元1的半環(huán).如果沒有特別強調(diào),所有的半模M都是指對任意的m∈M,滿足1·m=m的左R-半模,而且所有的同態(tài)都是R-同態(tài)..

    下面陳述幾個本文要用到的定義:[1-3]

    (1)一個半環(huán)R滿足左消去律當(dāng)且僅當(dāng)對任意

    一個半模M滿足左消去律當(dāng)且僅當(dāng)對任意

    (2)半模M的一個非空子集N是可吸收的當(dāng)且僅當(dāng)對任意m,m′∈M,由m+m′∈N和m∈N可推出m′∈N.

    (3)一個半環(huán)R是完全可吸收的,如果R是完全可吸收半模;一個半模M是完全可吸收的當(dāng)且僅當(dāng)M的每個子半模N是可吸收的.

    (4)設(shè)α:A→B是一個半模同態(tài),如下定義B的子半模Imα:

    α是i-正則的,如果α(A)=imα.α是k-正則的,如果對任意a,a′∈A,由α(a)=α(a′)可推出

    α是半單同態(tài),如果Ker(α)=0.

    (5)序列A→B→C是一個真正合列,如果

    的真正合列稱為一個短真正合列.

    2 偽k-投射半模

    H.M.Al-Thani在文獻[2-3]中已經(jīng)分別給出了投射半模和k-投射半模的概念,下面將要給出偽k-投射半模的概念,并利用與偽投射模和k-投射半模相類似的研究方法[4-7]給出關(guān)于偽k-投射半模的一些主要結(jié)果.

    定義2.1一個R-半模M是偽投射半模,如果對任何R-半模A,滿同態(tài)f:M→A和g:M→A,存在一個R-同態(tài)h:M→M使得g=fh,即半模同態(tài)交換圖(1)可交換.特別的,如果f是一個k-正則同態(tài)時,M就被稱作偽k-投射半模.

    定理2.1設(shè)M是一個R-半模,則下面的條件等價:

    (1)M是偽k-投射的;

    (2)對任何短正合列

    是正合的,則需證明:

    (2)?(1).顯然成立.

    (1)?(3).對每個子半模K≤M,任意自然滿同態(tài)nk:M→M/K是k-正則的.由于M是偽k-投射的,因此每個R-同態(tài)h:M→M/K可通過n k進行分解.

    (3)?(1).假設(shè)有一個滿的k-正則同態(tài)β:M→N滿足K=Ker(β),則由分解定理[3],存在一個滿同態(tài)h:N→M/K使得hβ=nk.設(shè)h(n)=h(n′),由于β是滿的,則有hβ(m)=hβ(m′),其中β(m)=n,β(m′)=n′,因此m/K=m′/K,即有m+k=m′+k′,其中k,k′∈K.因此β(m)=β(m′),進而h是一個同構(gòu).由假設(shè),如果γ:M→N是一個半模同態(tài),則hγ可通過nk進行分解:即有一個半模同態(tài)ˉγ使得圖(2)可交換.因此有

    參照文獻[8-10]有下面的結(jié)論.

    定理2.2設(shè)M是一個半模,則下面的敘述是等價的:

    (1)M是偽k-投射的;

    (2)對任意R-半模A,任意滿的k-正則同態(tài)g:B→A(其中B是M的滿同態(tài)像)和滿同態(tài)f:M→A,存在一個半模同態(tài)h:M→B使得f=gh.

    證明(2)?(1).顯然成立.

    (1)?(2).給定R-半模同態(tài)交換圖(3),其中f是一個k-正則滿同態(tài).由于B是M的滿同態(tài)像,故存在滿同態(tài)n:M→B→0,因此gn:M→A→0是滿的.由結(jié)論(1)可知,存在半模同態(tài)h1:M→M使得f=gnh1,取h=nh1:M→B,則有g(shù)h=gnh1=f.

    定理2.3設(shè)Mi是一個R-半模,(Mi)i∈A是R-半模的集合.則⊕A M i是偽k-投射的當(dāng)且僅當(dāng)每個M i是偽k-投射的.

    證明給定一個R-半模同態(tài)圖(4),其中f是一個k-正則滿同態(tài),利用該圖分別構(gòu)造半模同態(tài)交換圖(5)和圖(6)去證明定理的結(jié)論.

    由于⊕A M j是偽k-投射的,由定理2.2,存在一個R-半模同態(tài)h i:⊕A M i→Mj使得fh i=gπj.設(shè)h=hii j:Mj→Mj,則fh=fhii j=(gπj)ij=g(πji j)=g I⊕AMi=g.

    充分性.考慮半模同態(tài)交換圖(6),可用與上面相類似的方法證明.如果每個M j是偽k-投射的,則對每個j,存在hj:M j→M j使得fh j=gij.設(shè)h:⊕A M i→Mj滿足h(〈mj〉)=∑ih j(mj),其中和式中有有限個mj≠0.顯然h是一個R-半模同態(tài).由于fhj=gij,進而對每個j,有fh jπj=gijπj,所以fh=g.

    定義2.2[3]一個R-半模P是k-正則的,如果存在一個自由R-半模F和一個滿的R-同態(tài)f:F→P使得f是k-正則的.

    定理2.4設(shè)P是一個k-正則半模,則下面的結(jié)論等價:

    (1)P是偽k-投射的;

    (2)P是投射的.

    證明(1)?(2).假設(shè)P是偽k-投射的.由于P是k-正則的,則存在一個自由R-半模F和一個k-正則滿R-同態(tài)α:F→P.又由假設(shè)P是偽k-投射的,則存在R-同態(tài)β:P→F使得βα=Ip.設(shè){ek:k∈K}是F的一組基,如果x∈P,則β(x)∈F.因此可記

    其中λk∈R且對幾乎所有的k,λk=0.定義βk(x)=λk,則βk是R-同態(tài).由于α是滿射,所以{p k:k∈K}生成P,其中p k=α(ek).而且,如果x∈P,則

    由定理2.1可知P是投射的.

    (2)?(1).顯然.

    [1]GOLAN J S.The theory of semirings with applications in mathematics and theoretical computer[M].London:Longman Science&Technical,1992:54-79.

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    [3]HUDA MOHAMMED,ALTHANI J.k-projective semimodules[J].Kobe J MATH,1996,13:49-59.

    [4]AHSAN J,SHABIR M.Semirings with projective ideals[J].Math Japonica,1993,38(2):271-276.

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    [6]TAKAHASHI M.Extentions of semimodulesⅡ[J].Math Sem Notes,1983,11:83-118.

    [7]佟文廷.關(guān)于偽投射模[J].數(shù)學(xué)研究與評論,1996,16(3):355-358.

    [8]王秀麗.Ni-內(nèi)射半模及其性質(zhì)[J].純粹數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué),2010,26(2):316-318.

    [9]趙春娥,杜先能.關(guān)于偽投射模的一些討論[J].大學(xué)數(shù)學(xué),2006,22(3):100-102,.

    [10]馬麗麗,張朝鳳,張永正.有限維模李超代數(shù)U的導(dǎo)子代數(shù)[J].東北師大學(xué)報:自然科學(xué)版,2011,43(2):1-6.

    Pseudok-projective semimodules

    WANG Xiu-li
    (Science College,Civil Aviation University of China,Tianjin 300300,China)

    In this paper,the concept of pseudok-projective semimodules is introduced,then on the similar method tok-projective semimodules and pseudo-projective modules,it gets some good properties of pseudok-projective semimodules,which realize the generalizations of some properties of pseudo-projective semimodules andk-projective semimodules to pseudok-projective semimodules.

    subtractive semimodules;k-regular homomorphism;pseudok-projective semimodules;proper exact sequence;free semimodules

    O 153.3

    110·21

    A

    1000-1832(2012)01-0041-04

    2011-06-30

    天津市自然科學(xué)基金資助項目(08JCYBJC13900);中國民航大學(xué)理學(xué)科研基金資助項目(2010kys06).

    王秀麗(1976—),女,碩士,講師,主要從事環(huán)與代數(shù)研究.

    陶 理)

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