帶有積分邊值條件的三階邊值問(wèn)題正解的存在性

劉玉敬，郭少聰，郭彥平

（1.河北科技大學(xué)理學(xué)院，河北石家莊 050018；2.河北科技大學(xué)電氣信息學(xué)院，河北石家莊 050018）

帶有積分邊值條件的三階邊值問(wèn)題正解的存在性

劉玉敬1，郭少聰1，郭彥平2

（1.河北科技大學(xué)理學(xué)院，河北石家莊 050018；2.河北科技大學(xué)電氣信息學(xué)院，河北石家莊 050018）

應(yīng)用特征值準(zhǔn)則研究了一類(lèi)三階帶有積分邊值條件邊值問(wèn)題正解的存在性，其中非線性項(xiàng)f：［0，1］×［0，∞）→［0，∞）滿足Caratheodory條件。在賦予非線性項(xiàng)一定條件下，得到該邊值問(wèn)題至少存在3個(gè)正解的充分條件。

特征值準(zhǔn)則；格林函數(shù)；正解；邊值問(wèn)題；積分邊值條件

近幾年，從研究二階帶有一般邊值條件的微分方程多重正解存在性到偶數(shù)階的邊值問(wèn)題正解的存在性，文獻(xiàn)［1］－文獻(xiàn)［3］都應(yīng)用了算子特征值和不動(dòng)點(diǎn)指數(shù)性質(zhì)的方法，給出了一些新的結(jié)論。

物理和數(shù)學(xué)中常常出現(xiàn)一類(lèi)帶有積分邊值條件的邊值問(wèn)題，但是由于Green函數(shù)難構(gòu)造，有關(guān)該問(wèn)題的研究成果較少。2011年，ZHAO等研究了帶有積分邊值條件的三階邊值問(wèn)題［4］：

解的存在與不存在性。筆者利用算子特征值的方法研究帶有積分邊值條件的三階微分方程

多重正解的存在性，其中f：［0，1］×R＋→R＋的函數(shù)。本文的結(jié)果補(bǔ)充和完善了文獻(xiàn)［4］的結(jié)論。

本文總是假設(shè)下列條件成立。

1 基本引理

定義1［1］P為Banach空間X中一個(gè)錐，如果X中每個(gè)元素x＝x＋－x－，其中x＋，x－∈P，則P為再生錐。

引理1 （Krein－Rutman）［5］K為實(shí)Banach空間X的一個(gè)再生錐，令L：X→X為緊線性算子且L（K）?K。設(shè)r（L）為L(zhǎng)的譜半徑，如果r（L）＞0，那么存在φ1∈K＼｛0｝，使得Lφ1＝r（L）φ1。

引理2［6］X是一個(gè)Banach空間，P為X中錐，Ω（P）為P中一個(gè)有界開(kāi)子集，設(shè)A：（P）→P是一個(gè)全連續(xù)算子。那么下列結(jié)論成立：

1）如果存在u0∈P＼｛0｝，對(duì)?u∈?Ω（P）和λ≥0，都有u≠Au＋λu0。那么不動(dòng)點(diǎn)指數(shù)i（A，Ω（P），P）＝0；

2）當(dāng)0∈Ω（P），對(duì)?u∈?Ω（P）和λ≥1都有Au≠λu。那么不動(dòng)點(diǎn)指數(shù)i（A，Ω（P），P）＝1。

易證P是X中的再生錐，K為X中錐；Pr，Kr為P中一個(gè)有界開(kāi)子集。

2 主要結(jié)論

3 重要定理

則邊值問(wèn)題（1）至少存在3個(gè)非零正解，滿足：ρ＜‖u1‖＜ρ2＜‖u2‖＜ρ1＜‖u3‖≤r。

證明 設(shè)0＜ρ＜min｛ρ0，ρ2｝，由引理7和式（12）得：i（A，Pρ，P）＝1。由定理1已證i（A，Kρ1，K）＝1，i（A，Kρ2，K）＝0。設(shè)r＞max｛ρ1，r0｝，由引理10和式（11），則或者i（A，Kr，K）＝0，或者存在u∈?Kr，Au＝u。由不動(dòng)點(diǎn)指數(shù)性質(zhì)，邊值問(wèn)題（1）至少存在3個(gè)非零正解u1，u2，u3∈K，滿足：ρ＜‖u1‖＜ρ2＜‖u2‖＜ρ1＜‖u3‖≤r。

注：將算子A換成A＊，同樣的證明方法可以得到邊值問(wèn)題（2）至少存在3個(gè)非零正解的定理。

［1］ WEBB J R L，LAN K Q.Eigenvalue criteria for existence of multiple positive solutions of nonlinear boundary value problems of local and nonlocal type［J］.Topological Methods in Nonlinear Analysis，2006，27：91－115.

［2］ JIANG Wei－h(huán)ua.The existence of positive solutions for second－order multi－point BVPs with the first derivative［J］.Journal of Computational and Applied Mathematics，2009，225：387－392.

［3］ JIANG Wei－h(huán)ua.Eigenvalue criteria for existence of multiple positive solutions of high－order nonlinear BVPs［J］.Nonlinear Analysis，2008，69：295－303.

［4］ ZHAO J F，WANG P G，GE W G.Existence and nonexistence of positive for a class of third order BVP with integral boundary conditions in banach spaces［J］.Commun Nonlinear Sci Numer Simulat，2011，16（1）：402－413.

［5］ NUSSBAUM R D.Eigenvectors of nonlinear positive operators and the linear Krein－Rutman theorem［J］.Lecture Notes in Math，1981，886：309－330.

［6］ GUO D，LAKSHMIKANTHAM V.Nonliear Problems in Abstract Cones［M］.San Diego：Academic Press，1988.

Existence of positive solutions of the third order boundary value problems with integral boundary conditions

LIU Yu－jing1，GUO Shao－cong1，GUO Yan－ping2

（1.College of Sciences，Hebei University of Science and Technology，Shijiazhuang Hebei 050018，China；2.College of Electrical Engineering and Information Science，Hebei University of Science and Technology，Shijiazhuang Hebei 050018，China）

By using eigenvalue criteria，the existence of positive solutions to the boundary value problems with integral boundary conditions is considered，where the nonlinear termf：［0，1］×［0，∞）→［0，∞）satisfies Caratheodory conditions.The existence of at least three positive solutions is proved for the boundary value problems when the nonlinear term meets some certain conditions.

eigenvalue criteria；Green＇s function；positive solution；boundary value problem；integral boundarycondition

O175

A

1008－1542（2012）02－0093－04

2011－09－26；責(zé)任編輯：張 軍

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（10971045）；河北省自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（A2009000664）

劉玉敬（1976－），女，河北唐山人，講師，碩士，主要從事微分方程方面的研究。