基于并聯(lián)機構(gòu)的六維加速度傳感器的方案設(shè)計及建模研究?

尤晶晶,李成剛,吳洪濤

(1.南京航空航天大學(xué)機電學(xué)院,江蘇南京 210016;2.江蘇省精密與微細制造技術(shù)重點實驗室,江蘇南京 210016)

引 言

慣性導(dǎo)航系統(tǒng)是一種不依賴于外部信息、也不向外部輻射能量的自主式導(dǎo)航系統(tǒng),通過測量運載體在慣性參考系中的加速度,再經(jīng)過積分可以解算出載體的速度、偏航角、位置等導(dǎo)航參數(shù)。目前,慣性導(dǎo)航系統(tǒng)中慣性測量裝置一般包括 3個單軸加速度計和3個陀螺儀,分別測量運載器在三維空間內(nèi)3個線加速度以及 3個角速率。加速度計與陀螺儀是分離的元件,不但體積大、成本高、缺乏角加速度信息,而且對于控制大姿態(tài)角、大機動狀態(tài)的運動都很困難[1,2]。應(yīng)用一體化的六維加速度傳感器直接獲取上述信息,不但可提高精度和帶寬,而且可節(jié)省空間和成本,對提升導(dǎo)航系統(tǒng)的控制性能,尤其是高機動導(dǎo)彈、無人機等新型飛行器具有重要意義[3,4]。另外,六維加速度傳感器在機器人、車輛、生物醫(yī)療等領(lǐng)域的振動測量方面都有著非常廣泛的應(yīng)用前景[5～7]。

目前,單軸加速度傳感器的技術(shù)比較成熟,基于壓電、壓阻、光纖等檢測機理的各種傳感器,市場上都有相應(yīng)的產(chǎn)品[8]。多維加速度傳感器在市場上并不多見,國內(nèi)外科學(xué)家對其研究也主要集中在三維領(lǐng)域[9]。至于可以同時測量載體加速度6個分量的傳感器還未進入市場,國內(nèi)外的研究都不多,尚處于探索階段。 FENG J采用靜電懸浮原理設(shè)計了六維加速度傳感器[10],通過測量電容的變化來計算加速度,具有測量精度高的優(yōu)點,適合于測量微重力或低溫環(huán)境下量程較小的加速度。重慶大學(xué)設(shè)計的一種組合式六維加速度傳感器是將六只單軸壓電加速度計首尾相連[11],以垂直正交的立方體布局結(jié)構(gòu)固定在各安裝平面上,利用該結(jié)構(gòu)可以實現(xiàn)運動載體六維加速度的傳感,并具有結(jié)構(gòu)緊湊的優(yōu)點。從檢索到的文獻來看,六維加速度傳感器普遍存在完全解耦困難、結(jié)構(gòu)復(fù)雜、加工及安裝要求高等缺陷。進行六維加速度傳感器的設(shè)計已經(jīng)成為傳感器研究領(lǐng)域的一項重要課題,有著巨大的理論意義和實際價值[12]。

本文提出一種新的基于并聯(lián)機構(gòu)的壓電式六維加速度傳感器的設(shè)計方案,在闡明工作原理的基礎(chǔ)上,詳細推導(dǎo)了待測六維加速度的解耦過程。最后,通過將由數(shù)學(xué)模型計算的結(jié)果與ADAMS仿真結(jié)果進行對比以及將實物樣機的試驗結(jié)果與激振器的標準輸出值進行對比,有效驗證了設(shè)計方案的合理性和可行性。鑒于六維加速度傳感器的靈敏度等性能目前還沒有統(tǒng)一、規(guī)范的定義,且缺乏綜合性能評價指標,本文不在性能方面與其他方案進行對比。

1 工作原理

考慮到并聯(lián)機構(gòu)具有剛度大、精度高、承載能力強、動力學(xué)性能好、結(jié)構(gòu)緊湊且穩(wěn)定等優(yōu)點[13],對其進行理論和應(yīng)用方面的研究已逐漸成為學(xué)術(shù)界的熱點,另外,壓電陶瓷具有重量輕、靈敏度高、壓電系數(shù)大、信噪比大、頻響特性好、性能穩(wěn)定可靠等優(yōu)點[14],且特別適合于加速度的測量[15],本文提出一種將并聯(lián)機構(gòu)作為六維加速度傳感器的彈性體結(jié)構(gòu),并用壓電陶瓷充當傳感器敏感元件的設(shè)計方案,其三維模型如圖1所示。涉及到的并聯(lián)機構(gòu)具有9條相同的 SPS支鏈,其中,S代表球面副,這里設(shè)計成彈性球鉸鏈,具有體積小、無間隙、無摩擦等優(yōu)點;P代表移動副,圓柱狀壓電陶瓷在軸向力作用下沿其極化方向會產(chǎn)生一定量的彈性變形,故可視為移動副。每3條SPS支鏈為一組,它們一端的彈性球鉸鏈固結(jié)在一起,組合成復(fù)合彈性球鉸鏈并固結(jié)于立方體質(zhì)量塊一面的幾何中心;另一端的彈性球鉸鏈分別固結(jié)于外殼上相鄰的相互垂直的3個面。

圖1 六維加速度傳感器三維模型Fig.1 Three-dimensional model of six-axis accelerometer

傳感器的加工及裝配容許存在一定的誤差,除了定位螺母可對各支鏈進行調(diào)節(jié)外,還可通過建立誤差模型和進行標定試驗進一步補償。鑒于與復(fù)合彈性球鉸鏈相聯(lián)結(jié)的3條支鏈轉(zhuǎn)動中心保持重合會給加工帶來極大困難,將轉(zhuǎn)動中心設(shè)計成沿各軸線方向延長線重合可以大大降低加工難度,實際計算時只需將支鏈長度進行相應(yīng)修改即可。

傳感器工作時,其外殼底板剛性固定在待測體上,保證傳感器外殼運動的加速度即為待測的六維加速度。在慣性力和慣性力矩作用下,質(zhì)量塊壓縮或拉伸9組壓電陶瓷。壓電陶瓷重量輕,且兩端連接球面副,故每條SPS支鏈可視為二力桿。由于正壓電效應(yīng),壓電陶瓷在沿極化方向作用力下其極化面上會產(chǎn)生電荷。9組壓電陶瓷兩極通過單面導(dǎo)電膜以及環(huán)氧樹脂膠與鉸鏈固結(jié),并從鉸鏈的凹槽引出導(dǎo)線,導(dǎo)線分別連接電荷放大器 9個通道的輸入端,放大器輸出端輸出經(jīng)過信號放大和阻抗變換處理之后的電壓模擬量,再通過數(shù)據(jù)采集卡將其轉(zhuǎn)換成數(shù)字量供計算機分析處理。

2 數(shù)學(xué)模型

2.1 運動學(xué)模型

為便于建立系統(tǒng)的運動學(xué)、動力學(xué)模型,將圖 1的三維模型進行簡化。用直線表示壓電陶瓷,空心圓圈表示彈性球鉸鏈,實心圓圈表示復(fù)合彈性球鉸鏈,簡化后的模型如圖 2所示。

圖2 六維加速度傳感器簡化模型Fig.2 Simplified model of six-axis accelerometer

在質(zhì)量塊上固結(jié)坐標系{M},其坐標原點選為質(zhì)量塊的質(zhì)心,3條坐標軸分別平行于質(zhì)量塊的3條棱邊。在外殼上固結(jié)坐標系{W},與初始狀態(tài)時的{M}重合,并將其坐標原點記為OW。圖 2中b1,b2,b3分別表示固結(jié)在質(zhì)量塊前表面、右表面和上表面幾何中心處的復(fù)合彈性球鉸鏈;B11～B33表示固結(jié)在外殼上的彈性球鉸鏈。各條 SPS支鏈的初始長度設(shè)為L,質(zhì)量塊的邊長設(shè)為 2n,則坐標系{W}原點與固結(jié)在外殼上各彈性球鉸鏈的中心連線的矢量可以分別表示為

式中 上標“W”表示矢量投影在坐標系{W}中,下標括號中的第1個點為矢量起點,第2個點為矢量終點。

為便于建模,將坐標系{W}原點與 3個復(fù)合彈性球鉸鏈的中心連線的矢量分別表示為

圓柱狀壓電陶瓷剛度K的計算表達式

式中L0,D,S33分別表示壓電陶瓷的原長、底面圓直徑和彈性柔順系數(shù)。

根據(jù)數(shù)據(jù)采集卡第i通道輸出的電壓值Ui,計算第i個壓電陶瓷上受到的軸向力大小

式中Sq,Su分別為在電荷放大器控制面板上設(shè)置的輸入電荷靈敏度和輸出電壓靈敏度;d33為壓電陶瓷的壓電系數(shù)。

傳感器工作過程中,第i條 SPS支鏈的長度為

另外,每條 SPS支鏈的長度還可以通過兩端彈性球鉸鏈的幾何坐標來計算,以第一組 SPS支鏈為例列寫計算表達式

將式(1)代入(5)求解方程組,計算得到兩組解?？紤]到傳感器實際工作時,復(fù)合彈性球鉸鏈b1不會運動至圖 2所示的平面B11B12B13的另一側(cè),故僅有一組解滿足傳感器的結(jié)構(gòu)要求,即

其中,S1=L12L32+L22L32,S12=L12+L22+L32,S13= 4L4+

同理,可以列出其他兩個復(fù)合彈性球鉸鏈幾何坐標的解析表達式。

如圖 3所示,將{M}的坐標原點記為O′;b1,b2,b3組成邊長為的正三角形。將O′在面b1b2b3上的投影記為O″,過O″分別作直線O″p1,O″p2平行于b1b3和b2b3,p1和p2為交點。

圖3 質(zhì)量塊位姿計算模型Fig.3 Calculation model of position and pose of the mass-block

運用立體幾何知識,連接坐標系{W}和{M}的坐標原點所形成的矢量可以表示為

其中,|b3p1|=|b3p2|=r(b3b2)= (b2x-b3x,b2y-b3y,b2z-b3z)T;r(b3b1)= (b1xb3x,b1y-b3y,b1z-b3z)T。

另外,{M}相對于{W}的旋轉(zhuǎn)矩陣在 {W}中投影為

式(7),(8)即為該并聯(lián)機構(gòu)的位置正解,顯然,等號右邊各項可以用關(guān)于系統(tǒng)結(jié)構(gòu)參數(shù)和支鏈實時長度的解析式來表示。

將 3個復(fù)合彈性球鉸鏈的速度矢量分別記為:

式(6)對時間求一階導(dǎo)數(shù),得到b1速度矢量中各分量的解析表達式

同理,可列出其他 2個復(fù)合彈性球鉸鏈速度的表達式。將{M}的坐標原點在{W}中運動的線速度矢量以及{M}相對于{W}轉(zhuǎn)動的角速度矢量分別記為和kW,它們與復(fù)合彈性球鉸鏈的速度矢量之間滿足關(guān)系:

由式(10),(11),易得到kW關(guān)于復(fù)合彈性球鉸鏈坐標以及速度的解析表達式,再將其代入式(12)即得到的解析表達式,限于篇幅這里不具體列出。

將 3個復(fù)合彈性球鉸鏈的加速度矢量分別記

式(9)對時間求一階導(dǎo)數(shù),得到b1加速度分量的表達式

同理,可以列出其他 2個復(fù)合彈性球鉸鏈加速度的解析表達式。點O′在{W}中運動的線加速度矢量以及{M}相對于{W}轉(zhuǎn)動的角加速度矢量分別記為和XW,它們與復(fù)合彈性球鉸鏈的速度、加速度之間滿足關(guān)系:

由式(14),(15),易得到XW關(guān)于復(fù)合彈性球鉸鏈坐標、速度以及加速度的解析表達式,再將其代入式(16)即得到 AO′W的表達式。

在地面上固結(jié)慣性坐標系{O}并使其與初始狀態(tài)時的{M}重合。將{W}相對于{O}轉(zhuǎn)動的角速度矢量記作kO,上標“O”表示該矢量是在{O}中投影的。根據(jù)角速度加法公式,計算{M}相對于{O}轉(zhuǎn)動的角速度矢量,也即質(zhì)量塊的絕對角速度

式(17)對時間求一階導(dǎo)數(shù),并運用變矢量的絕對導(dǎo)數(shù)與相對導(dǎo)數(shù)定理[16],得到質(zhì)量塊的絕對角加速度

將連接{O}與{W}坐標原點的矢量記為rO(OOW),則{M}的坐標原點在{O}中運動的線速度,也即質(zhì)量塊質(zhì)心的絕對線速度可以表示為

式(19)對時間求一階導(dǎo)數(shù),得到質(zhì)量塊質(zhì)心絕對線加速度的表達式

2.2 動力學(xué)模型

作用在質(zhì)量塊上的外力包括沿 9條 SPS支鏈軸線方向的壓縮(拉伸)力以及質(zhì)量塊自身的重力,其合力以及對質(zhì)心的合力矩分別為:

式中 RO為{W}相對于{O}的旋轉(zhuǎn)矩陣;M為質(zhì)量塊的質(zhì)量;g為重力加速度;

根據(jù)牛頓-歐拉法,建立傳感器系統(tǒng)的動力學(xué)方程,也即系統(tǒng)的振動微分方程組:

式中 IW表示在坐標系{W}中描述的質(zhì)量塊的慣性張量,且滿足關(guān)系IW=RWdiag(2Mn2/3,2Mn2/3,2Mn2/3)(RW)T。

綜合式(17),(18),(22),(24),并將所有的矢量投影在坐標系{O}中,得到如下形式的高度耦合的微分方程

引入輔助角速度k*,使其滿足下面關(guān)系式

式(26)等號兩邊對時間求一階導(dǎo)數(shù)

將式(26),(27)代入 (25),并考慮到 RO為正交矩陣,化簡整理后得到不含RO的微分方程

假設(shè)傳感器外殼由靜止開始運動,可以通過求解式(29)所示的一階常微分方程組的初值問題來計算k*。

式中 Y=k*;G(t,Y)=U-Tk*。

易證明函數(shù)G(t,Y)關(guān)于Y滿足 Lipschitz條件,運用改進的歐拉算法求解方程組(29),其遞推公式為

式中h為計算步長;下標N,p,c分別表示第N步數(shù)值、預(yù)測值和校正值。

坐標系旋轉(zhuǎn)矩陣的描述方法通常有方向余弦、歐拉角等,為便于實現(xiàn)六維加速度的實時解耦,使用四元數(shù)來描述正交矩陣RO,即

其中,

λ1,λ2,λ3,λ0為單位四元數(shù)Λ的各分量 ,且滿足:Λ=(λ1,λ2,λ3,λ0)T。

另外,剛體的角速度矢量也可以用描述旋轉(zhuǎn)矩陣的四元數(shù)及其對時間的一階導(dǎo)數(shù)來表示

綜合式(26),(31),(32),化簡后得到關(guān)于四元數(shù)Λ的微分方程組

顯然,傳感器外殼處于初始位姿時,其旋轉(zhuǎn)矩陣為單位陣,即

同樣運用改進的歐拉算法求解式(33),(34)組成的一階常微分方程組的初值問題。

需要指出的是,單位四元數(shù)的各分量之間還必須滿足約束方程(35),由于計算過程中存在截斷誤差和舍入誤差,四元數(shù)不再滿足該約束方程,也即存在違約問題。

將通過微分方程組數(shù)值計算得到的四元數(shù)、四元數(shù)的理論值以及計算誤差分別記為λ~i,λi和Δλi。

綜合式(35),(36),并運用泰勒公式在數(shù)值計算值處展開,忽略二階以上無窮小量,得到

由式(37)并根據(jù)矩陣廣義逆理論,計算姿態(tài)四元數(shù)在每一個節(jié)點處的修正值

式中Pinv(· )表示矩陣的廣義逆。

將經(jīng)過違約修正之后的單位四元數(shù)Λ代入式(31),(26),(27),分別計算RO,kO和d kO/dt;再結(jié)合式 (20),(21),(23),計算 d2r(OOW)O/dt2。 其中,d2r(OOW)O/dt2和d kO/dt分別表示傳感器外殼運動的線加速度矢量和角加速度矢量,也即待測的六維加速度。

3 算例驗證

3.1 仿真驗證

ADAMS是目前國際上應(yīng)用最為廣泛的虛擬樣機分析軟件,具有強大的運動學(xué)、動力學(xué)分析功能和先進的求解算法。為驗證數(shù)學(xué)模型的可靠性,在ADAMS/View模塊中建立六維加速度傳感器的虛擬樣機,如圖 4所示。

圖4 六維加速度傳感器虛擬樣機Fig.4 Virtual prototype of six-axis accelerometer

在傳感器外殼上同時施加直線驅(qū)動和旋轉(zhuǎn)驅(qū)動,其方向矢量分別為(5,-6,7)和(17,12,-20),線位移函數(shù)和角位移函數(shù)分別為:Γ=19.859×cos(10π×t)- 19.859(mm)和 Θ= 0.524×cos(10π×t)-0.524(rad)。設(shè)定仿真步長為0.002 s,仿真時間為2 s,對虛擬樣機進行動力學(xué)仿真。測量9條支鏈的伸長量,在 Post-Processor模塊中將其數(shù)據(jù)導(dǎo)出并導(dǎo)入根據(jù)數(shù)學(xué)模型編寫的 M ATLAB程序中,數(shù)據(jù)輸入、計算、顯示和保存的時間之和僅為1.64 s。將解算得到的六維加速度與在 ADAMS中仿真時外殼運動的六維加速度進行數(shù)據(jù)對比,結(jié)果如圖 5(a)～ (f)所示,顯示兩者吻合得很好。 誤差主要來源于數(shù)值微分和微分方程數(shù)值求解過程中的截斷誤差和舍入誤差,以及 ADAMS軟件中測量數(shù)據(jù)初始點的攝動和中間點的擾動。由式(20)可知,待測線加速度的計算誤差中除了包含角加速度的計算誤差外,還包含了角速度的計算誤差以及并聯(lián)機構(gòu)運動學(xué)的計算誤差,這與圖 5反映出的線加速度和角加速度的誤差大小關(guān)系是完全吻合的。

圖5 理論計算與 ADAMS仿真對比Fig.5 Comparison between theoretical calculation and simulation with ADAMS

3.2 試驗驗證

為進一步驗證本文設(shè)計方案的可行性,加工制作了六維加速度傳感器的實物樣機,并將其安裝在激振器上進行了振動測試實驗,如圖6所示。利用第2節(jié)中建立的數(shù)學(xué)模型及其算法對9組壓電陶瓷輸出的經(jīng)過剔除、濾波、放大等調(diào)理后的電壓信號進行數(shù)據(jù)處理,其中在求解微分-代數(shù)方程組(33)和(35)時分別運用傳統(tǒng)增廣法和違約修正法進行處理。將解算到的兩組六維加速度與激振器輸出的標準加速度進行對比,一方面顯示了試驗結(jié)果與標準輸出值吻合得較好;另一方面顯示了 2.2節(jié)中違約修正算法的有效性,限于篇幅,這里僅給出X方向線加速度的對比曲線,如圖 7所示。其中,違約修正法的誤差主要來源于傳感器的加工、安裝誤差以及壓電陶瓷電壓信號的輸出誤差和調(diào)理誤差,可通過進一步的標定研究來提高六維加速度傳感器的測量精度。

圖6 六維加速度傳感器實物樣機及試驗平臺Fig.6 Physical prototypes and experimental platform of six-axis accelerometer

圖7 實物樣機試驗驗證Fig.7 Experimental verification of physical prototypes

4 結(jié) 論

(1)提出了一種基于并聯(lián)機構(gòu)的壓電式六維加速度傳感器的設(shè)計方案。用一種特殊構(gòu)型的具有 9條 SPS支鏈的并聯(lián)機構(gòu)充當傳感器的彈性體結(jié)構(gòu),壓電陶瓷同時充當傳感器的敏感元件和并聯(lián)機構(gòu)的移動副,用彈性球鉸鏈代替?zhèn)鹘y(tǒng)的球面副。充分集成了并聯(lián)機構(gòu)、壓電陶瓷和彈性鉸鏈的優(yōu)點,為多維加速度傳感器的結(jié)構(gòu)設(shè)計提供了一種新的思路。

(2)通過將固結(jié)在動平臺(質(zhì)量塊)上的 3個復(fù)合彈性球鉸鏈的運動參量作為中間變量,能夠推導(dǎo)出并聯(lián)機構(gòu)正向運動學(xué)(包括位置正解、速度正解和加速度正解)的封閉解,為傳感器的實時測量提供了有力保證,同時也為其他并聯(lián)機構(gòu)運動學(xué)、動力學(xué)的分析提供了一種有效的解決途徑。

(3)通過測量 9組壓電陶瓷的輸出電壓并運用機械多體系統(tǒng)動力學(xué)理論可以建立六維加速度的解耦模型。通過引入輔助角速度以及四元數(shù),可以從系統(tǒng)動力學(xué)方程中分離出旋轉(zhuǎn)矩陣,進而實現(xiàn)六維加速度的完全解耦。針對四元數(shù)的違約問題,運用矩陣廣義逆理論提出了一種有效的修正算法,該算法還可以移植到速度修正、加速度修正中去,且可以重復(fù)運行,直到滿足精度要求為止。

(4)通過算例,將根據(jù)數(shù)學(xué)模型計算的結(jié)果與ADAMS仿真的結(jié)果進行了對比,將六維加速度傳感器實物樣機的試驗結(jié)果與激振器的標準輸出值進行了對比,結(jié)果表明:提出的新型六維加速度傳感器可以實現(xiàn)運動載體加速度 6個分量的實時、精確測量,有效驗證了設(shè)計方案的合理性以及數(shù)學(xué)模型的可靠性。

[1] Chen JH,Lee SC,Debra D B.Gyroscope free strapdown inertial measurement unit by 6 linear accelerometers[J].Journal of Guidance,Control,and Dynamics,1994,17(2):286—290.

[2] Brown A K.GPS/INS uses low-cost MEMS IMU[J].IEEE Aerospace and Electronic Systems Magazine,2005,20(9):3—10.

[3] Touboul P,Rodrigues M,Willemenot E,et al.Electrostatic accelerometers for the equivalence principle test in space[J].Classical Quantum Gravity,1996,13:67—78.

[4] Canuto E.Drag-free and attitude control for the GOCE satellite[J].Automatica,2008,44:1 766—1 780.

[5] Abdellatif H, Heimann B. Advanced model-based control of a 6-DOF hexapod robot: A case study[J].Mechatronics,2010,15(2):269—279.

[6] Lam T L,Qian H H,Xu Y S.Omnidirectional steering interface and control for a four-wheel independent steering vehicle[J].Mechatronics,2010,15(3):329—338.

[7] Ang W T,Khosla P K,Riviere C N.Nonlinear regression model of a low-g MEM S accelerometer[J].IEEE Sensors Journal,2007,7(1):81—88.

[8] 吉訓(xùn)生,王壽榮.電容式硅微機械加速度計系統(tǒng)的特性研究 [J].宇航學(xué)報,2005,26(4):446— 450.JI Sun-sheng,Wang Shou-rong.Analysis of characteristics on capacitive silicon micro-accelerometer system[J].Journal of Astronautics,2005,26(4):446—450.

[9] 趙彥濤,李志全.基于 Bragg光纖光柵的三維加速度傳感器的研究 [J].儀器儀表學(xué)報,2006,27(6):299—301.ZHAO Yan-tao,LI Zhi-quan.Study on triaxial accelerometer based on FBG[J].Chinese Journal of Scientific Instrucment,2006,27(6):299—301.

[10]Feng J. Six-axis electrostatic accelerometer[D].Texas:Texas Tech University,1995.

[11]Yuan G,Wang D H,Hou X H,et al.Rapid prototyping of a piezoelectric six-axis accelerometer[A].Proceedings of the World Congress on Intelligent Control and Automation[C].2008,6:2 723—2 726.

[12]高鐘毓,董景新 ,張嶸.微機電傳感器發(fā)展及應(yīng)用的現(xiàn)狀與趨勢 [J].機械工程學(xué)報,2003,39(11):7— 16.GAO Zhong-yu,DONG Jing-xin,ZHANG Rong.Actuality and trend of developments and applications on micro electromechanical sensors[J].Chinese Journal of Mechanical Engineering,2003,39(11):7—16.

[13]楊廷力,劉安心,羅玉峰,等.機器人機構(gòu)綜合方法的基本思想、特點及其發(fā)展趨勢 [J].機械工程學(xué)報,2010,46(9):1—11.YANG Ting-li,LIU An-xin,LUO Yu-feng,et al.Basic principles,main characteristics and development tendency of methods for robot mechanism structure synthesis[J].Chinese Journal of Mechanical Engineering,2010,46(9):1—11.

[14]Unruan M,Ananta S,Laosiritaworn Y,et al.Effects of parallel and perpendicular compressive stresses on the dielectric and ferroelectric properties of soft PZT ceramics[J].Ferroelectrics.2010,400(1):144—154.

[15]張憲民,王華,胡存銀.壓電陶瓷驅(qū)動三自由度精密定位系統(tǒng)的彈性動力學(xué)與輸入調(diào)理特性研究 [J].振動工程學(xué)報,2007,20(1):9— 14.ZHANG Xian-min,WANG Hua,HU Cun-yin.Elastic Dynamic and input tuning analysis of a piezoelectric ceramics actuated 3-DOF compliant precision micropositioning stage[J].Journal of Vibration Engineering,2007,20(1):9—14.

[16]吳勝寶,章定國.大范圍運動剛體-柔體梁剛?cè)狁詈蟿恿W(xué)分析 [J].振動工程學(xué)報,2011,24(1):1— 7.WU Sheng-bao, ZHANG Ding-guo. Rigid-flexible coupling dynamic analysis of hub-flexible beam with large overall motion[J].Journal of Vibration Engineering,2011,24(1):1—7.