一種攔截機(jī)動(dòng)目標(biāo)的最優(yōu)中制導(dǎo)律設(shè)計(jì)

周池軍，雷虎民，葉繼坤

（空軍工程大學(xué) 導(dǎo)彈學(xué)院，陜西 三原713800）

對(duì)于中遠(yuǎn)程地空導(dǎo)彈，為了提高導(dǎo)彈的制導(dǎo)精度和射程，需要采用二級(jí)以上的復(fù)合制導(dǎo)模式.其中中制導(dǎo)的任務(wù)是把導(dǎo)彈導(dǎo)引到末制導(dǎo)導(dǎo)引頭能夠截獲目標(biāo)的有利空間，保證主動(dòng)雷達(dá)導(dǎo)引頭可靠截獲目標(biāo)，并盡可能地為末制導(dǎo)段提供一個(gè)良好的初始攻擊條件，如航向誤差要小，動(dòng)能要大等[1，2].文獻(xiàn)[3]在最優(yōu)預(yù)測(cè)中制導(dǎo)律的基礎(chǔ)上，設(shè)計(jì)了一種導(dǎo)彈在交班時(shí)刻性能最優(yōu)的中制導(dǎo)律，使導(dǎo)彈在交班點(diǎn)處速度達(dá)到最大，導(dǎo)彈與目標(biāo)的相對(duì)幾何關(guān)系達(dá)到最佳.但所提出的中制導(dǎo)律需要對(duì)命中點(diǎn)以及交班點(diǎn)進(jìn)行預(yù)測(cè)，預(yù)測(cè)的精度對(duì)制導(dǎo)律的影響較大.文獻(xiàn)[4]針對(duì)大氣層外中段攔截問題，設(shè)計(jì)了一種帶有固定推進(jìn)時(shí)間的近最優(yōu)中制導(dǎo)策略，充分考慮了兩飛行器之間重力差的影響，但沒有對(duì)交班時(shí)刻的角度進(jìn)行約束，而且需要利用變系數(shù)線性微分方程來求解最優(yōu)制導(dǎo)律，推導(dǎo)過程較為復(fù)雜.文獻(xiàn)[5]通過引入偽控制變量的概念，針對(duì)低速目標(biāo)設(shè)計(jì)了一種最優(yōu)末制導(dǎo)律，該制導(dǎo)律推導(dǎo)過程簡(jiǎn)單，但攻擊高速大機(jī)動(dòng)目標(biāo)時(shí)，剩余飛行時(shí)間估計(jì)誤差較大，這嚴(yán)重影響了導(dǎo)彈的制導(dǎo)性能.

為克服以往中制導(dǎo)律推導(dǎo)過程的復(fù)雜性，本文以最優(yōu)控制理論為基礎(chǔ)，將最小化控制能量和交班時(shí)刻速度前置角作為性能指標(biāo)，利用偽控制變量將變系數(shù)線性微分方程轉(zhuǎn)化為常系數(shù)線性微分方程，設(shè)計(jì)了一種最優(yōu)中制導(dǎo)律，并通過仿真驗(yàn)證了該制導(dǎo)律的有效性.

1 彈目相對(duì)運(yùn)動(dòng)模型

為了便于研究導(dǎo)彈的中制導(dǎo)律，假設(shè)導(dǎo)彈在飛行過程中不發(fā)生滾轉(zhuǎn)，將導(dǎo)彈在三維空間中的運(yùn)動(dòng)解耦成縱向平面和側(cè)向平面，并分別進(jìn)行研究.由于側(cè)向平面的運(yùn)動(dòng)與縱向平面的運(yùn)動(dòng)類似，本文僅針對(duì)縱向平面攔截情況進(jìn)行分析.縱向平面內(nèi)的彈目相對(duì)運(yùn)動(dòng)關(guān)系如圖1所示.

圖1 彈目相對(duì)運(yùn)動(dòng)關(guān)系

圖1中vm，vt分別為導(dǎo)彈和目標(biāo)的速度；am，at分別為導(dǎo)彈和目標(biāo)的法向加速度，它們分別垂直于各自的速度矢量，只改變速度的方向，不改變速度的大?。沪萴，θt分別為導(dǎo)彈和目標(biāo)的彈道傾角；ηm和ηt分別為導(dǎo)彈和目標(biāo)的速度前置角；R為彈目相對(duì)距離，q為彈目視線角.彈目相對(duì)運(yùn)動(dòng)學(xué)模型為

式中，ηm＝q－θm，ηt＝q－θt.對(duì)式（2）求導(dǎo)，并將式（1）代入，整理得：

2 最優(yōu)制導(dǎo)律的設(shè)計(jì)

中遠(yuǎn)程地空導(dǎo)彈中末制導(dǎo)交班點(diǎn)處的角度約束是導(dǎo)引頭成功捕獲目標(biāo)的關(guān)鍵.在交班點(diǎn)處希望導(dǎo)引頭敏感軸指向目標(biāo)，可以通過調(diào)整俯仰角?間接調(diào)整導(dǎo)引頭指向.直接控制?不易實(shí)現(xiàn)，由于在中制導(dǎo)段導(dǎo)彈過載較小，攻角α很小，可近似認(rèn)為θm＝?.因此，只要在交班時(shí)刻使彈軸指向目標(biāo)，即θm＝q，就可以認(rèn)為導(dǎo)引頭能夠以最佳的角度捕獲目標(biāo)，并為末制導(dǎo)提供最優(yōu)的初始條件[6].

設(shè)導(dǎo)彈的控制量為法向過載，即

選取x1＝ηm，x2＝為狀態(tài)變量，將導(dǎo)彈的法向過載作為輸入量，則彈目相對(duì)運(yùn)動(dòng)的狀態(tài)空間描述為

式中，

式（7）為變系數(shù)線性微分方程，直接求解是十分困難的，因此，引入一個(gè)偽控制變量：

則彈目相對(duì)運(yùn)動(dòng)可描述為

考慮控制能量和交班時(shí)刻的角度約束2個(gè)因素，選取性能指標(biāo)函數(shù)為[7]

式中，X＊（t）為控制量取最優(yōu)時(shí)所對(duì)應(yīng)的系統(tǒng)狀態(tài)，P（t）為半正定對(duì)稱矩陣，且滿足黎卡提方程：

求解P（t）可得：

式中，

剩余飛行時(shí)間tgo＝tf－t0.

對(duì)于中制導(dǎo)律而言，在中末制導(dǎo)交班時(shí)刻，導(dǎo)彈彈軸對(duì)準(zhǔn)目標(biāo)即認(rèn)為此時(shí)導(dǎo)引頭達(dá)到捕獲目標(biāo)的最佳幾何位置，因此約束條件為x1（tf）＝0，ηm（tf）＝0，故取f1→∞，而對(duì)導(dǎo)彈的速度前置角變化率不作約束，取f2＝0.代入式（13）得：

由式（11）、式（17）可得：

將式（18）代入式（8）得導(dǎo)彈的法向過載ny滿足：

式中，

3 制導(dǎo)律的實(shí)現(xiàn)

3.1 制導(dǎo)信息的獲取

由制導(dǎo)律的形式可知，要求解最優(yōu)制導(dǎo)律，需要用到的信息包括導(dǎo)彈信息、目標(biāo)信息以及彈目相對(duì)運(yùn)動(dòng)信息3類.導(dǎo)彈的運(yùn)動(dòng)信息可以通過自身的捷聯(lián)慣測(cè)裝置解算得到.對(duì)于處在中制導(dǎo)段飛行的導(dǎo)彈，導(dǎo)引頭尚未開機(jī)，制導(dǎo)所需的目標(biāo)信息以及彈目相對(duì)運(yùn)動(dòng)信息均由地面雷達(dá)測(cè)量或計(jì)算得到，并實(shí)時(shí)傳遞給導(dǎo)彈.地面雷達(dá)可以直接測(cè)量目標(biāo)與雷達(dá)連線的視線高低角、目標(biāo)接近雷達(dá)的速度以及目標(biāo)與雷達(dá)之間的距離等信息，通過濾波裝置可以計(jì)算視線高低角速度以及目標(biāo)接近雷達(dá)的速度的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)目標(biāo)和雷達(dá)的相對(duì)運(yùn)動(dòng)關(guān)系可以解算得到目標(biāo)的速度、法向和切向加速度以及彈道傾角等實(shí)時(shí)運(yùn)動(dòng)信息.同時(shí)，地面雷達(dá)結(jié)合導(dǎo)彈的運(yùn)動(dòng)可以計(jì)算得到彈目相對(duì)運(yùn)動(dòng)信息.由于地面雷達(dá)具有強(qiáng)大的信息處理能力，因此，測(cè)量或計(jì)算得到的目標(biāo)信息和彈目相對(duì)運(yùn)動(dòng)信息的精度完全可以滿足中制導(dǎo)需求.

3.2 剩余時(shí)間的估計(jì)

剩余時(shí)間的估計(jì)算法很多，常見的算法都是利用彈目相對(duì)距離和彈目相對(duì)距離變化率進(jìn)行估計(jì)[3，5].對(duì)于固定目標(biāo)和低速目標(biāo)，這種算法估計(jì)的剩余時(shí)間較為精確，但是對(duì)于大機(jī)動(dòng)目標(biāo)，估計(jì)的誤差較大.這里，給出一種新的剩余時(shí)間估計(jì)算法.

當(dāng)目標(biāo)不機(jī)動(dòng)時(shí)，由彈目相對(duì)距離和彈目相對(duì)距離變化率可得：

當(dāng)目標(biāo)進(jìn)行機(jī)動(dòng)時(shí)，由彈目相對(duì)運(yùn)動(dòng)關(guān)系可得：

式中，vm，los，vt，los分別為導(dǎo)彈、目標(biāo)速度在彈目視線方向上的分量；am，los，at，los分別為導(dǎo)彈、目標(biāo)法向加速度在彈目視線方向上的分量.由式（21）可得：

式中，I＝am，los－at，los，H＝vm，los－vt，los，K＝－R.求解式（22）可得：

式中，Δ＝H2－4IK，tgo按下列規(guī)則進(jìn)行取值：

①當(dāng)Δ＜0 或 者am，los，at，los同 時(shí) 為 0 時(shí)，tgo＝tgo，0；

②當(dāng)Δ≥0且｜tgo，1－tgo，0｜＜｜tgo，2－tgo，0｜時(shí)，tgo＝tgo，1；

③當(dāng)Δ≥0且｜tgo，1－tgo，0｜＞｜tgo，2－tgo，0｜時(shí)，tgo＝tgo，2.

4 仿真分析

假設(shè)目標(biāo)作超聲速蛇形機(jī)動(dòng)，初始時(shí)刻目標(biāo)的位置為（50km，10km），速度vt＝800m/s，切向加速度t＝－gsinθt，法向加速度at＝6gsin（0.4t），目標(biāo)的初始彈道傾角為180°.導(dǎo)彈中制導(dǎo)初始時(shí)刻的位置（2km，1km），速度vm＝900m/s，切向加速度m＝－gsinθm，初始時(shí)刻彈道傾角為21°，雷達(dá)導(dǎo)引頭的鎖定距離為12km.

考慮制導(dǎo)系統(tǒng)延遲，將導(dǎo)彈的自動(dòng)駕駛儀傳遞函數(shù)T等效為一個(gè)慣性環(huán)節(jié)和一個(gè)振蕩環(huán)節(jié)的串聯(lián)模型，可以表示為[8]式中，自動(dòng)駕駛儀時(shí)間常數(shù)τ＝0.5s，阻尼常數(shù)ζ＝0.6，頻率ωn＝18rad/s.

為了體現(xiàn)本文所設(shè)計(jì)的最優(yōu)中制導(dǎo)律（OGL）的制導(dǎo)效果，將其與帶角度約束的變結(jié)構(gòu)制導(dǎo)律（VSG）[6]和修正比例導(dǎo)引律（APN）[9]進(jìn)行比較.

為比較中制導(dǎo)過程中的能量消耗，采用控制能量[8]（Ec）作為比較參數(shù)，其計(jì)算形式為仿真結(jié)果如圖2～圖6及表1所示.

圖2 導(dǎo)彈與目標(biāo)運(yùn)動(dòng)軌跡

圖3 前置角變化曲線

圖4 制導(dǎo)指令變化曲線

圖5 視線角速度變化曲線

圖6 剩余時(shí)間變化曲線

表1 攔截參數(shù)比較

由圖2可知，采用最優(yōu)制導(dǎo)律得到的彈道比采用變結(jié)構(gòu)制導(dǎo)律和修正比例導(dǎo)引律得出的彈道更加平滑.由圖3可知，3種制導(dǎo)律在中末制導(dǎo)交班時(shí)刻均能得到較小的速度前置角，但采用最優(yōu)制導(dǎo)律時(shí)，導(dǎo)彈在中末制導(dǎo)交班時(shí)刻的速度前置角幾乎為0，可以認(rèn)為導(dǎo)引頭已經(jīng)達(dá)到捕獲目標(biāo)的最佳幾何位置.由圖4可知，采用最優(yōu)中制導(dǎo)律時(shí)，導(dǎo)彈的法向過載較小，受目標(biāo)機(jī)動(dòng)的影響較小，而采用變結(jié)構(gòu)制導(dǎo)律和修正比例導(dǎo)引律時(shí)，在初始時(shí)刻和中末制導(dǎo)交班時(shí)刻導(dǎo)彈的制導(dǎo)指令較大.從圖5可知，采用最優(yōu)中制導(dǎo)律時(shí)，視線角速度的變化相比其它2種制導(dǎo)律更加平穩(wěn)，中制導(dǎo)結(jié)束時(shí)刻，視線角速度較小.由圖6可知，與傳統(tǒng)的剩余時(shí)間計(jì)算方法相比，基于本文提出的計(jì)算方法得到的剩余時(shí)間更能體現(xiàn)目標(biāo)的運(yùn)動(dòng)特性，2種計(jì)算方法得出的剩余時(shí)間的偏差隨著彈目距離的減小而逐漸減小，在中制導(dǎo)末段2種計(jì)算方法得出的剩余時(shí)間幾乎一致.從表1可以看出，采用最優(yōu)中制導(dǎo)律時(shí)導(dǎo)彈在中末制導(dǎo)交班點(diǎn)處的過載和速度前置角均很小，能夠保證導(dǎo)引頭成功捕獲目標(biāo)以及中末制導(dǎo)彈道的平滑過渡，整個(gè)中制導(dǎo)過程消耗的能量很小，雖然中制導(dǎo)時(shí)間稍有增加，但相對(duì)于變結(jié)構(gòu)制導(dǎo)律和比例導(dǎo)引律仍然具有明顯的優(yōu)勢(shì).

5 結(jié)束語(yǔ)

本文以控制能量和中末制導(dǎo)交班時(shí)刻導(dǎo)彈的速度前置角為性能指標(biāo)，利用偽控制量簡(jiǎn)化了制導(dǎo)規(guī)律的求解，得出了一種最優(yōu)中制導(dǎo)律.仿真結(jié)果表明，該最優(yōu)中制導(dǎo)律能夠有效地保證中末制導(dǎo)的順利交班，并為末制導(dǎo)提供良好的初始攻擊條件.本文在最優(yōu)中制導(dǎo)律的設(shè)計(jì)過程中，沒有考慮通過濾波或估計(jì)得到的目標(biāo)信息和彈目相對(duì)運(yùn)動(dòng)信息的誤差.采用先進(jìn)的濾波算法減小誤差并分析誤差對(duì)制導(dǎo)精度的影響是下一步需要研究和解決的問題.

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