雙基陣方位—頻率勻加速運(yùn)動(dòng)目標(biāo)跟蹤算法研究

許兆鵬，韓樹(shù)平

(海軍潛艇學(xué)院 水聲中心，山東青島266042)

0 引言

微處理器性能與網(wǎng)絡(luò)技術(shù)的不斷提高，解決了多部傳感器同步工作和數(shù)據(jù)傳輸上的問(wèn)題，使得多傳感器聯(lián)合使用進(jìn)行目標(biāo)跟蹤成為一個(gè)重要的研究方向，其中，應(yīng)用兩部聲納基陣即雙基陣的量測(cè)信息對(duì)水中運(yùn)動(dòng)目標(biāo)的跟蹤問(wèn)題是研究的熱點(diǎn)之一。

勻加速運(yùn)動(dòng)是目標(biāo)較為常見(jiàn)的運(yùn)動(dòng)方式，但尚沒(méi)有基于雙基陣量測(cè)信息對(duì)水中勻加速運(yùn)動(dòng)目標(biāo)跟蹤方面的研究，以往的研究只針對(duì)勻速直線運(yùn)動(dòng)目標(biāo)［1～4］。這里將雙基陣量測(cè)的目標(biāo)方位信息和其中一部基陣量測(cè)的目標(biāo)頻率信息作觀測(cè)融合后，根據(jù)勻加速運(yùn)動(dòng)狀態(tài)方程，建立雙基陣方位—頻率勻加速運(yùn)動(dòng)目標(biāo)跟蹤系統(tǒng)。由于該跟蹤系統(tǒng)的觀測(cè)方程中含有非線性函數(shù)，則其為非線性系統(tǒng)。此時(shí)，對(duì)于系統(tǒng)的非線性性，根據(jù)量測(cè)值應(yīng)用非線性濾波算法對(duì)勻加速運(yùn)動(dòng)目標(biāo)進(jìn)行狀態(tài)估計(jì)。為此，本文提出了一種雙基陣方位—頻率勻加速運(yùn)動(dòng)目標(biāo)跟蹤算法。

本文又對(duì)該跟蹤系統(tǒng)的可觀測(cè)性進(jìn)行了研究。所謂可觀測(cè)性，是指系統(tǒng)在忽略觀測(cè)噪聲情況下目標(biāo)狀態(tài)是否有唯一解的問(wèn)題，有唯一解則稱系統(tǒng)是完全可觀測(cè)的?？捎^測(cè)性是跟蹤系統(tǒng)進(jìn)行目標(biāo)跟蹤的前提和基礎(chǔ)，只有滿足可觀測(cè)條件才能對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行正確求解，從而實(shí)現(xiàn)對(duì)目標(biāo)的有效跟蹤。以往的研究表明:對(duì)于非線性系統(tǒng)的可測(cè)性有多種定義方法，而按照線性系統(tǒng)的有關(guān)理論，線性系統(tǒng)的可測(cè)性具有明確的定義［5］。由于該系統(tǒng)的非線性性，這里擬從線性系統(tǒng)可測(cè)性的有關(guān)理論出發(fā)，通過(guò)將雙基陣方位—頻率勻加速運(yùn)動(dòng)目標(biāo)跟蹤系統(tǒng)偽線性化來(lái)進(jìn)行可觀測(cè)性的研究，得到其可觀測(cè)性判定條件。最后，通過(guò)仿真驗(yàn)證了算法的有效性和可觀測(cè)性判定條件的正確性。

1 雙基陣方位—頻率勻加速運(yùn)動(dòng)目標(biāo)跟蹤算法

在水中目標(biāo)被動(dòng)跟蹤問(wèn)題中，由于跟蹤距離遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于目標(biāo)深度，可以忽略深度的影響，將目標(biāo)與雙基陣設(shè)定在同一平面內(nèi)，即研究二維的目標(biāo)被動(dòng)跟蹤問(wèn)題［6］。為了便于研究，假設(shè)雙基陣位于同一觀測(cè)平臺(tái)，以基陣1為坐標(biāo)原點(diǎn)建立二維笛卡爾坐標(biāo)系，基陣2位于x軸，雙基陣聲學(xué)中心的間距為L(zhǎng);采樣間隔為T(mén)，第k個(gè)采樣時(shí)刻目標(biāo)以基陣1為基準(zhǔn)的相對(duì)運(yùn)動(dòng)向量為 X(k)=［x(k)，y(k)，vx(k)，vy(k)，ax(k)，ay(k)］T，x(k)，y(k)為 x 方向與 y方向上的相對(duì)距離，vx(k)，vy(k)為 x方向與 y方向上的相對(duì)速度，ax(k)，ay(k)為x方向與y方向上的相對(duì)加速度;α(k)和β(k)分別為雙基陣所觀測(cè)的目標(biāo)方位，如圖1所示，這里假設(shè)基陣1觀測(cè)的目標(biāo)頻率信息為f(k)，目標(biāo)固有頻率為f0。

圖1 雙基陣跟蹤系統(tǒng)Fig 1 Tracking system of two sonar arrays

狀態(tài)方程為

式中 W(k)為過(guò)程高斯白噪聲，狀態(tài)矩陣Φ為

觀測(cè)方程為

式中 V(k)是量測(cè)高斯白噪聲，c為聲速。

式(1)和式(2)構(gòu)成了基于雙基陣方位—頻率的勻加速運(yùn)動(dòng)目標(biāo)跟蹤系統(tǒng)。式(2)中含有非線性函數(shù)arctan{·}，則此跟蹤系統(tǒng)為非線性系統(tǒng)。針對(duì)系統(tǒng)的非線性性，依據(jù)各采樣時(shí)刻的量測(cè)值，采用擴(kuò)展卡爾曼濾波(EKF)算法或無(wú)跡卡爾曼(UKF)濾波算法等非線性濾波算法［7］，對(duì)該系統(tǒng)進(jìn)行勻加速運(yùn)動(dòng)目標(biāo)狀態(tài)估計(jì)，從而可對(duì)勻加速目標(biāo)進(jìn)行跟蹤，此過(guò)程即構(gòu)成了基于雙基陣方位—頻率勻加速運(yùn)動(dòng)目標(biāo)跟蹤算法。

2 系統(tǒng)可觀測(cè)性判定

2.1 偽線性化

為了便于系統(tǒng)可觀測(cè)性判定，將跟蹤系統(tǒng)由離散形式改寫(xiě)成連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的形式，并對(duì)觀測(cè)方程進(jìn)行偽線性化。需說(shuō)明的是:在分析過(guò)程中并沒(méi)有考慮噪聲的影響，這是因?yàn)樵肼暤拇嬖谥粚?duì)定位和跟蹤的精度有影響，而不影響系統(tǒng)的可觀測(cè)性。狀態(tài)向量改寫(xiě)為

狀態(tài)方程改寫(xiě)為式(3)

其中，t0為跟蹤起始時(shí)刻。

采用偽線性處理后［1，2］，量測(cè)方程改寫(xiě)為

2.2 可觀測(cè)性判定條件

這里采用Jaufferet C提出的可觀測(cè)性判定定理［5］

可觀測(cè)的充要條件是:?Y≠0∈Rn，?t∈［t0，t1］，使得H(t)Φ(t，t0)Y≠0。

該定理又可用其逆否命題表述，可觀測(cè)充要條件是:?t∈［t0，t1］，如果 H(t)Φ(t，t0)Y=0，則 Y=0。

其表明系統(tǒng)在時(shí)間段［t0，t1］內(nèi)可觀測(cè)，當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)任何一個(gè)非零向量 Y，總存在 t∈［t0，t1］使得 H(t)Φ(t，t0)Y≠0或者說(shuō)若 H(t)Φ(t，t0)Y=0，則 Y 必須為0。

若假 設(shè) Y= ［y1，y2，y3，y4，y5，y6，y7］T，則 根 據(jù)H(t)Φ(t，t0)Y=0 可得方程組式(5)～ 式(7)

由于α(t)隨時(shí)間變化，要等式成立只能有y3=y4=y5=y6=0，將它們分別代入式(5)和式(7)可得式(10)和y7=0

由于α(t)隨時(shí)間變化，要等式成立只能有y1=y2=0。則Y即為零向量，所以，系統(tǒng)可觀測(cè)，此時(shí)只要基陣1測(cè)量的方位變化，即可滿足條件。

2)當(dāng) α'(t)=0時(shí)

式(8)恒為零，此時(shí)要使式(5)和式(6)組成的方程組有唯一解，則需方程組的行列式值 sin［α(t)-β(t)］不為零，則 α(t)-β(t)≠kπ。此時(shí)，由于行列式是隨t實(shí)時(shí)變化的，要使等式成立必有

亦由t-t0隨t實(shí)時(shí)變化，要使等式成立需y1=y3=y5=0和 y2=y4=y6=0，則式(7)中，y7=0。所以，得 Y=0，因此，系統(tǒng)可觀測(cè)，此時(shí)只要目標(biāo)不在雙基陣連線上運(yùn)動(dòng)即可滿足條件。

綜上，雙基陣方位—頻率勻加速運(yùn)動(dòng)目標(biāo)跟蹤系統(tǒng)可觀測(cè)條件為:只有當(dāng)勻加速運(yùn)動(dòng)目標(biāo)在雙基陣連線上運(yùn)動(dòng)，并且用于測(cè)量目標(biāo)頻率的基陣所測(cè)量的方位值不發(fā)生變化時(shí)，系統(tǒng)才不可觀測(cè)外，其余情況均可觀測(cè)。

3 仿真驗(yàn)證

為使問(wèn)題簡(jiǎn)化，假設(shè)兩部聲納均靜止不動(dòng)，聲納1的坐標(biāo)為(0，0 km)，聲納2的坐標(biāo)為(1，0 km)，兩聲納方位測(cè)量均方誤差分別為0.2°和0.3°，聲納1頻率測(cè)量均方誤差為0.5 Hz，目標(biāo)固有頻率為500 Hz，采樣周期為2 s;目標(biāo)初始速度為零，初始位置(-5，0 km)，航向90°，軸向分加速度(ax，ay)初始時(shí)為(0.04，0 m/s2)，過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)后變?yōu)?-0.04，0 m/s2)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為1 000 s;采用本文所提方法進(jìn)行跟蹤，濾波時(shí)選用UKF濾波算法，Monte—Carlo仿真次數(shù)為50，跟蹤結(jié)果如圖2所示。

圖2 跟蹤結(jié)果Fig 2 Results of tracking

從仿真結(jié)果可看出:0～500 s，目標(biāo)在雙基陣連線上運(yùn)動(dòng)，此時(shí)基陣1所測(cè)方位 α(t)恒為270°，即 α'(t)=0，不滿足可觀測(cè)條件，跟蹤結(jié)果不收斂;但當(dāng)目標(biāo)經(jīng)過(guò)原點(diǎn)后，α(t)=90°，方位發(fā)生變化，α'(t)≠0，此時(shí)滿足可觀測(cè)條件，跟蹤結(jié)果收斂。此外，應(yīng)用所提出的方法對(duì)目標(biāo)穩(wěn)定跟蹤時(shí)的跟蹤精度較高。

4 結(jié)論

基于雙基陣量測(cè)的方位信息和其中一部基陣量測(cè)的目標(biāo)頻率信息，根據(jù)勻加速運(yùn)動(dòng)狀態(tài)方程，建立跟蹤系統(tǒng)，進(jìn)而提出了一種基于雙基陣方位—頻率勻加速運(yùn)動(dòng)目標(biāo)跟蹤算法。從偽線性化角度出發(fā)，用線性理論中可觀測(cè)性判斷定理對(duì)該跟蹤系統(tǒng)進(jìn)行分析，給出了此系統(tǒng)的可觀測(cè)性判定條件。最后，通過(guò)仿真驗(yàn)證了算法的有效性和可觀測(cè)性判定條件的正確性。

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