基于Copula理論的金融資產(chǎn)傳染效應(yīng)研究

尹新哲

(四川外語(yǔ)學(xué)院國(guó)際商學(xué)院,重慶 400031)

一、前 言

隨著當(dāng)今世界經(jīng)濟(jì)全球化的程度不斷加深,某一金融極端事件的發(fā)生極有可能波及到整個(gè)金融市場(chǎng)從而爆發(fā)金融危機(jī)。研究外部沖擊對(duì)一國(guó)金融系統(tǒng)的傳染性影響,成為當(dāng)今世界所面臨的重大現(xiàn)實(shí)問(wèn)題。世界銀行對(duì)金融危機(jī)傳染的定義是通過(guò)對(duì)金融市場(chǎng)間在危機(jī)時(shí)期和非危機(jī)時(shí)期影響概率進(jìn)行判斷,如果危機(jī)時(shí)期比非危機(jī)時(shí)期影響概率大,則表明兩個(gè)金融市場(chǎng)之間產(chǎn)生了傳染效應(yīng)?；趥魅拘?yīng)的定義,多數(shù)學(xué)者們將檢驗(yàn)金融危機(jī)傳染效應(yīng)的視角主要集中在檢驗(yàn)危機(jī)時(shí)期相關(guān)性是否顯著增加上,即運(yùn)用簡(jiǎn)單的線(xiàn)性相關(guān)系數(shù)來(lái)考察危機(jī)前后相關(guān)結(jié)構(gòu)的改變。Chang&Majnoni[1]指出如果國(guó)際投資者因?yàn)槟骋粋€(gè)國(guó)家的金融危機(jī)的發(fā)生而理性地改變自己對(duì)另外一個(gè)國(guó)家的投資信心時(shí),那么就會(huì)產(chǎn)生危機(jī)傳染。Forbes&Rigobon[2]指出,所謂金融危機(jī)傳染是指當(dāng)一個(gè)國(guó)家的金融市場(chǎng)發(fā)生較大波動(dòng)后,跨國(guó)金融市場(chǎng)之間的聯(lián)系顯著增強(qiáng)。張志波等[3]通過(guò)分析危機(jī)前后各國(guó)市場(chǎng)波動(dòng)性之間的因果關(guān)系的變化、以及被傳染國(guó)家對(duì)危機(jī)發(fā)源國(guó)的脈沖響應(yīng)變化,來(lái)檢驗(yàn)金融危機(jī)傳染效應(yīng)。Chiang et al.[4]采用了動(dòng)態(tài)條件相關(guān)性研究發(fā)現(xiàn)在亞洲金融危機(jī)期間存在傳染效應(yīng)的證據(jù)。Skintzi等[5]用EGARCH模型研究了美國(guó)債券市場(chǎng)和歐洲債券市場(chǎng)對(duì)12個(gè)歐洲國(guó)家債券市場(chǎng),發(fā)現(xiàn)存在顯著的波動(dòng)溢出效應(yīng)。

上述對(duì)于傳染效應(yīng)的研究多集中于各個(gè)金融市場(chǎng)本身的異常波動(dòng)而對(duì)于金融市場(chǎng)之間的關(guān)系僅僅用線(xiàn)性相關(guān)與否來(lái)衡量,但考慮到金融市場(chǎng)中的數(shù)據(jù)通常是厚尾分布,線(xiàn)性相關(guān)系數(shù)沒(méi)有辦法捕捉變量間非線(xiàn)性等相關(guān)關(guān)系。而基于Copula的方法被認(rèn)為能很好地捕獲變量間的非線(xiàn)性、非對(duì)稱(chēng)相關(guān)關(guān)系,特別是容易捕捉到分布尾部的相關(guān)結(jié)構(gòu)變化[6],在研究金融市場(chǎng)之間的聯(lián)動(dòng)性方面,Copula方法與其他計(jì)量分析方法相比有著明顯的優(yōu)勢(shì),近年來(lái)在金融領(lǐng)域中得到廣泛應(yīng)用并逐漸被用來(lái)度量金融危機(jī)傳染的大小[7～9]。因此本文考慮引入Copula函數(shù)方法,實(shí)證考察美國(guó)次貸危機(jī)時(shí)期多變量之間相關(guān)結(jié)構(gòu)的改變,首先確定Copula函數(shù)的邊際分布及參數(shù)估計(jì),然后采用非參數(shù)估計(jì)方法做Copula函數(shù)的參數(shù)估計(jì),最后通過(guò)尾部相關(guān)性的變化分析美國(guó)次債危機(jī)前后美國(guó)股票市場(chǎng)與主要的亞洲股票市場(chǎng)指數(shù)之間相關(guān)模式的變化,以考察次債危機(jī)對(duì)亞洲股票市場(chǎng)是否存在風(fēng)險(xiǎn)傳染。

二、Copula理論

Copula理論是1959年由Sklar提出的,他定義了一個(gè)聯(lián)合分布分解為它的K個(gè)邊緣分布和一個(gè)Copula函數(shù),其中Copula函數(shù)描述了變量間的相關(guān)結(jié)構(gòu)。具體表述如下:

令F為具有n維邊緣分布F(x1),F(x2),…,F(xn)的聯(lián)合分布函數(shù),則存在一個(gè)Copula函數(shù)C,滿(mǎn)足:

若F(x1),F(x2),…,F(xn)連續(xù),則Copula函數(shù)是唯一確定的;反之,如果C是n維copula函數(shù),F1,F2,…,Fn是分布函數(shù),則由上面定義的函數(shù)F是邊際分布為F1,F2,…,Fn的n維隨機(jī)變量的聯(lián)合分布函數(shù)。由此可知,確定了單個(gè)變量的邊緣分布以及定義一個(gè)能較好地描述邊緣分布相依結(jié)構(gòu)的Copula函數(shù),就能計(jì)算出多維隨機(jī)變量的聯(lián)合分布。根據(jù)Sklar定理,可將Copula函數(shù)表述為邊際分布為 [0,1]均勻分布的n維變量的聯(lián)合分布函數(shù)。并且,用Copula理論建模時(shí),可將隨機(jī)變量的邊緣分布和它們之間的相關(guān)結(jié)構(gòu)分開(kāi)來(lái)研究。

(一)Copula函數(shù)的參數(shù)估計(jì)

Copula函數(shù)中阿基米德族Copula函數(shù)的建模方式比較靈活,它可將多元變量之間復(fù)雜的相依結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)換為一個(gè)相對(duì)簡(jiǎn)單的生成函數(shù)φ,這樣就將復(fù)雜的多維問(wèn)題轉(zhuǎn)換為一個(gè)一維問(wèn)題,從而有利于對(duì)實(shí)際問(wèn)題的求解和估計(jì)。同時(shí),它能刻畫(huà)與實(shí)際情況更為接近的非對(duì)稱(chēng)性風(fēng)險(xiǎn)和尾部風(fēng)險(xiǎn);Gumbel Copula能較好地?cái)M合上尾部數(shù)據(jù),Clayton Copula則能夠較好地刻畫(huà)下尾部風(fēng)險(xiǎn),且對(duì)單個(gè)變量的邊緣分布形式?jīng)]有限制[10]。因此,本文選取Gumbel Copul函數(shù)與Clayton Copula函數(shù)來(lái)對(duì)金融數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合。

阿基米德族Copula定義:對(duì)任意φ∈Ψ,存在逆函數(shù)φ-1:[0,∞] →[0,1],且每個(gè)φ(t)均可生成一個(gè)Copula,也即生成一個(gè)具有固定邊際分布是服從 [0,1]上均勻分布的n維分布函數(shù),其表示形式為:

其中φ-1是算子ψ的分位數(shù)函數(shù)。選擇不同的算子,會(huì)產(chǎn)生不同類(lèi)型的阿基米德族Copula函數(shù)。

1.當(dāng)算子φ(t)=(-1nt)θ時(shí),得到的Copula函數(shù)稱(chēng)之為Gumbel Copula,其表達(dá)式為:C(u1, …,un)=exp{-[(-1nu1)θ+…+(-1nun)θ)1/θ},其中θ∈ [1, ∞];當(dāng)θ=1時(shí),變量獨(dú)立;當(dāng)θ→∞時(shí),變量完全相關(guān)。

Copula函數(shù)參數(shù)估計(jì)的方法多樣,可以用極大似然函數(shù)法、IFM(inference function for margins)法等,但若邊緣分布函數(shù)的假設(shè)模型有誤,會(huì)導(dǎo)致Copula函數(shù)一個(gè)有偏估計(jì)[11]。鑒于Archimedean Copula的特性,本文采用非參數(shù)估計(jì)方法估計(jì)Copula函數(shù),即根據(jù)τ統(tǒng)計(jì)量來(lái)估計(jì)Copula函數(shù)中的參數(shù)θ。具體表達(dá)式為:

(二)Copula函數(shù)的相關(guān)性測(cè)度

Copula函數(shù)的相關(guān)性指標(biāo)用來(lái)度量變量間的相關(guān)性變化、溢出效應(yīng)等,通常采用Kendall秩相關(guān)系數(shù)τ及尾部相關(guān)系數(shù)。

設(shè)(x1,y1),(x2,y2)是獨(dú)立同分布的隨機(jī)向量,x1,x2∈x,y1,y2∈υ則:

τ=p{x1-x2)(y1-y2)＞0}-p{(x1-x2)(y1-y2)＜0}

由定義,在已有觀測(cè)樣本的情況下,可以根據(jù)以下公式估計(jì)Kendallτ[12],

根據(jù)(3)式:若^τ=1,表示x與y正相關(guān);若^τ=-1,表示x與y負(fù)相關(guān);若^τ=0,則x與y不能確定是否相關(guān)。令變量X與Y的分布函數(shù)形式分別為F(t)和G(t),則X與Y的上尾相關(guān)性與下尾相關(guān)性可分別定義為:

其中:F-1(t)=inf(x|X＞t),G-1(t)=inf(y|Y＞t)。如果λ上尾或λ下尾存在且λ上尾∈ [0,1]或λ下尾∈ [0,1],那么X與Y具有漸近上或下尾相關(guān)性;如果λ上尾=0或λ下尾=0,X與Y在上或下尾獨(dú)立。

結(jié)合尾部相關(guān)系數(shù)和Copula函數(shù)的定義,得到尾部相關(guān)系數(shù)的Copula表示形式:

(三)邊際分布模型

大量實(shí)證表明,金融資產(chǎn)收益不符合正態(tài)分布,而是具有尖峰厚尾、異方差性等特征。為此,本文選取t-GARCH(1,1)作為股票收益率的邊際分布模型,其具體表現(xiàn)形式為:

其中:rt為收益序列,μ為回報(bào)的無(wú)條件期望值,σt為條件方差,εt為殘項(xiàng);α0＞0,α1＞0,β1≥0;ηt～t(0,1,v),v為該t分布的自由度;該序列為平穩(wěn)過(guò)程的充要條件為:α1+β1＜1。

由于Copula函數(shù)是邊際分布為 [0,1]的均勻分布構(gòu)成的n維變量分布函數(shù),因此,在構(gòu)建過(guò)程中需要進(jìn)行分布檢驗(yàn),以確保經(jīng)過(guò)邊際分布模型過(guò)濾得到的序列服從獨(dú)立的 [0,1]均勻分布。檢驗(yàn)獨(dú)立均勻分布的主要步驟:對(duì)邊際分布模型過(guò)濾后得到的序列進(jìn)行自相關(guān)檢驗(yàn),以確保序列獨(dú)立性;對(duì)過(guò)濾后得到的殘差序列進(jìn)行概率積分變換;運(yùn)用K-S統(tǒng)計(jì)量檢驗(yàn)概率積分變換后的序列是否服從 [0,1]均勻分布。

三、實(shí)證分析

(一)樣本選擇與描述性統(tǒng)計(jì)

本文選取美國(guó)證券市場(chǎng)與具有代表性的亞洲證券市場(chǎng)作為研究對(duì)象,分析美國(guó)次貸危機(jī)對(duì)亞洲股市的傳染效應(yīng)。具體以美國(guó)標(biāo)準(zhǔn)普爾指數(shù)、中國(guó)滬深300指數(shù)、印度BSE30指數(shù)、馬來(lái)西亞綜合指數(shù)、漢城綜合指數(shù)、日經(jīng)225指數(shù)日收益率作為研究對(duì)象,股票市場(chǎng)日收益率計(jì)采用百分比的方式:

2007年2月13日美國(guó)新世紀(jì)金融公司(New Century Finance)發(fā)出2006年第四季度盈利預(yù)警,隨后匯豐控股為在美次級(jí)房貸業(yè)務(wù)增加18億美元壞賬準(zhǔn)備,標(biāo)志著美國(guó)次級(jí)債危機(jī)爆發(fā)。由于我國(guó)滬深300指數(shù)交易日始自2005年4月8日,因此本文以2005-4-8～2009-12-31為樣本區(qū)間,以2007年2月13日為分界點(diǎn)將樣本期劃分為平穩(wěn)期和危機(jī)期2個(gè)子區(qū)間,定義2007-2-13前為危機(jī)前的平穩(wěn)期,共計(jì)376個(gè)觀察值;2007-2-13后為危機(jī)期,共計(jì)591個(gè)觀測(cè)值,數(shù)據(jù)來(lái)源于雅虎財(cái)經(jīng)網(wǎng)。采用Matlab 7.1軟件進(jìn)行數(shù)據(jù)分析。

表1、2給出了平穩(wěn)期與危機(jī)期指數(shù)收益率的描述性統(tǒng)計(jì)。由表中可知,平穩(wěn)期各指數(shù)均呈現(xiàn)正的日平均收益率;危機(jī)期間,各指數(shù)日均收益率均出現(xiàn)較大幅度的下降,其中標(biāo)準(zhǔn)普爾、新加坡指數(shù)和日經(jīng)指數(shù)的日均收益率均為負(fù),認(rèn)為美國(guó)次級(jí)債爆發(fā)對(duì)各證券市場(chǎng)股指收益率均具有負(fù)面影響。從標(biāo)準(zhǔn)差來(lái)看,危機(jī)后各指數(shù)收益率標(biāo)準(zhǔn)差均出現(xiàn)了大幅的上升,這表明證券市場(chǎng)間存在波動(dòng)溢出效應(yīng),次級(jí)債危機(jī)的爆發(fā)加劇了各股市的波動(dòng)。從偏度和峰度指標(biāo)來(lái)看,2個(gè)子區(qū)間內(nèi)的各證券指數(shù)收益率均存在著尖峰和厚尾的性質(zhì),結(jié)合Jarque Bera統(tǒng)計(jì)量檢驗(yàn)結(jié)果,認(rèn)為證券市場(chǎng)的日收益率序列并不滿(mǎn)足正態(tài)分布的假設(shè),也因此可知,選取刻畫(huà)非對(duì)稱(chēng)分布及尾部風(fēng)險(xiǎn)能力更強(qiáng)的阿基米德族中Gumbel Copula函數(shù)與Clayton Copula函數(shù)作為連接函數(shù)比橢圓族Copula函數(shù)與實(shí)際情況更加符合。

表1 危機(jī)前各指數(shù)收益率的描述性統(tǒng)計(jì)(2005.4.8～2007.2.13)

表2 危機(jī)期間各指數(shù)收益率的描述性統(tǒng)計(jì)(2007.2.14～2009.12.31)

(二)邊際分布參數(shù)估計(jì)結(jié)果及檢驗(yàn)

由表1、表2所作的描述性統(tǒng)計(jì)可知各指數(shù)收益序列不滿(mǎn)足正態(tài)分布,LM檢驗(yàn)表明存在波動(dòng)聚集效應(yīng)即ARCH效應(yīng),因而可以應(yīng)用GARCH類(lèi)模型建模,此處采用t-GARCH(1,1)作為各股指收益率的邊際分布模型。參數(shù)估計(jì)結(jié)果如表3、4所示。在求得t-GARCH(1,1)模型系數(shù)的估計(jì)值后,需要對(duì)原序列作概率積分變換,運(yùn)用K-S統(tǒng)計(jì)量檢驗(yàn)經(jīng)過(guò)概率積分轉(zhuǎn)換后的序列是否服從區(qū)間為 [0,1]的均勻分布。檢驗(yàn)結(jié)果表明,在5%的顯著水平上經(jīng)過(guò)概率積分轉(zhuǎn)換的序列均通過(guò)了服從標(biāo)準(zhǔn)均勻分布的原假設(shè)。認(rèn)為t-GARCH(1,1)模型能夠很好地過(guò)濾股票收益率的異方差性,該模型作為邊際分布模型是合理的。

表3 危機(jī)前t-GARCH(1,1)的邊際分布模型估計(jì)結(jié)果

表4 危機(jī)期間t-GARCH(1,1)的邊際分布模型估計(jì)結(jié)果

(三)基于Copula函數(shù)的參數(shù)估計(jì)及尾部相關(guān)性檢驗(yàn)

通過(guò)t-GARCH(1,1)模型過(guò)濾各股收益后,再由式(3),采用Matlab編程計(jì)算,得到穩(wěn)定期和危機(jī)期時(shí)作為傳染源的美國(guó)股指與被檢驗(yàn)股指之間的Kendall秩相關(guān)系數(shù)τ值(表5)。

表5 兩階段股指收益率之間的Kendall秩相關(guān)系數(shù)τ值

從上表的計(jì)算結(jié)果可以看出:美國(guó)股指與被檢驗(yàn)股指兩兩之間的Kendall秩相關(guān)系數(shù)τ值從穩(wěn)定期到危機(jī)期幾乎都有大幅度的上升,除與滬深300間的相關(guān)系數(shù)增幅23.7%外,與其它股指間的相關(guān)系數(shù)增幅幾乎都在一倍以上。說(shuō)明次債危機(jī)爆發(fā)后,各股票市場(chǎng)間的一致變化程度顯著加強(qiáng)。求得各指數(shù)之間的秩相關(guān)系數(shù)后,根據(jù)秩相關(guān)系數(shù)與Copula函數(shù)中的參數(shù)關(guān)系[10]可分別計(jì)算Gumbel Copula和Clayton Copula中的參數(shù)(表6、7):

表6 Gumbel Copula中參數(shù)θ的估計(jì)值

表7 Clayton Copula中參數(shù)θ的估計(jì)值

確定了Copula函數(shù)的參數(shù)后,可以對(duì)分析中更有實(shí)際意義的金融市場(chǎng)間的尾部相關(guān)性進(jìn)行研究。尾部相關(guān)性反映了某個(gè)市場(chǎng)出現(xiàn)上漲(下跌)后,另一個(gè)市場(chǎng)出現(xiàn)上漲(下跌)的概率。結(jié)合Copula函數(shù)并根據(jù)式(3)、(6)、(7)可以推導(dǎo)出Gumbel Copula和Clayton Copula分別度量金融市場(chǎng)間上尾部相關(guān)性和下尾部相關(guān)性的公式[11]:

根據(jù)表6、7對(duì)Gumbel Copula和Clayton Copula參數(shù)θ的估計(jì)結(jié)果以及式(9)、(10),可以得到次債危機(jī)前后美國(guó)股指與被檢驗(yàn)股指間的尾部相關(guān)性度量結(jié)果(表8、9):

表8 兩階段股指收益率之間的上尾部尾相關(guān)性λ上尾值

表9 兩階段股指收益率之間的下尾部相關(guān)性λ下尾值

表8和表9給出了次債危機(jī)前后標(biāo)準(zhǔn)普爾指數(shù)與其它股票指數(shù)之間的上、下尾部相關(guān)性的計(jì)算結(jié)果。據(jù)此發(fā)現(xiàn),與穩(wěn)定期相比,在危機(jī)期美股與其它股指之間的上、下尾部相關(guān)性指標(biāo)均呈現(xiàn)較大幅度的增長(zhǎng)。而金融時(shí)序的尾部波動(dòng)常常是衡量金融資產(chǎn)風(fēng)險(xiǎn)大小的重要參考依據(jù),尾部波動(dòng)性加大,可認(rèn)為持有該金融資產(chǎn)的風(fēng)險(xiǎn)加大。由此可知,美國(guó)次級(jí)債危機(jī)對(duì)亞洲各大股票市場(chǎng)的相關(guān)結(jié)構(gòu)產(chǎn)生了顯著的影響,認(rèn)為次債危機(jī)對(duì)亞洲證券市場(chǎng)存在著風(fēng)險(xiǎn)傳染。另外,我們也看到,相比于其它的亞洲證券市場(chǎng),次債危機(jī)前后美國(guó)普爾指數(shù)與滬深300指數(shù)間的上、下尾部相關(guān)性變化相對(duì)較小,表明我國(guó)金融市場(chǎng)與國(guó)際金融市場(chǎng)間的關(guān)聯(lián)性較弱,次債危機(jī)對(duì)我國(guó)的風(fēng)險(xiǎn)傳染性較低,這也與我國(guó)的金融市場(chǎng)發(fā)展的時(shí)間較短,正在逐步、有序開(kāi)放的現(xiàn)實(shí)情況相符合。

四、結(jié)束語(yǔ)

考慮到資產(chǎn)收益的厚尾性、波動(dòng)的異方差性對(duì)金融資產(chǎn)間相關(guān)結(jié)構(gòu)的影響,本文采用了t-GARCH(1,1)模型對(duì)股指收益序列進(jìn)行了過(guò)濾。同時(shí),應(yīng)用非參數(shù)法作為Copula函數(shù)的參數(shù)檢驗(yàn),采用阿基米德族Copula函數(shù)中的Gumbel Copula函數(shù)與Clayton Copula函數(shù)刻畫(huà)指數(shù)收益波動(dòng)的上下尾部風(fēng)險(xiǎn)進(jìn)而分析資產(chǎn)間的傳染效應(yīng),并實(shí)證考察了穩(wěn)定期與危機(jī)期美國(guó)證券市場(chǎng)與具有代表性的亞洲證券市場(chǎng)間的風(fēng)險(xiǎn)傳染性,由檢驗(yàn)結(jié)果可知,次債危機(jī)的爆發(fā)改變了各股票市場(chǎng)的平均收益率水平、波動(dòng)及相關(guān)結(jié)構(gòu),從穩(wěn)定期到危機(jī)期美國(guó)股票市場(chǎng)和被檢驗(yàn)股票市場(chǎng)間的Kendall秩相關(guān)系數(shù)τ值及上下尾部相關(guān)性都有相當(dāng)程度的增強(qiáng),認(rèn)為次債危機(jī)對(duì)亞洲股票市場(chǎng)存在風(fēng)險(xiǎn)傳染。另外,檢驗(yàn)結(jié)果也表明t-GARCH(1,1)模型及Copula函數(shù)的類(lèi)型選擇是合理的,對(duì)市場(chǎng)的風(fēng)險(xiǎn)傳染分析與實(shí)際情況較為符合。同時(shí),我們也看到,本文所應(yīng)用的GARCH類(lèi)模型及阿基米德族Copula函數(shù)對(duì)于其它的多元資產(chǎn)如混型資產(chǎn)的適用性還有待檢驗(yàn),例如可以考慮應(yīng)用其它類(lèi)型的模型如SV類(lèi)隨機(jī)波動(dòng)模型來(lái)描述資產(chǎn)收益的波動(dòng)以及其它各類(lèi)的Copula函數(shù)來(lái)刻畫(huà)金融資產(chǎn)間的非線(xiàn)性、非對(duì)稱(chēng)性等相關(guān)結(jié)構(gòu),這也是下一步要研究的問(wèn)題。

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