十年考研數(shù)學(xué)之常微分方程試題分析

張少華

（遵義師范學(xué)院數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院，貴州遵義563002）

作者對(duì)近十年（2003～2012年）全國研究生入學(xué)考試數(shù)學(xué)一、數(shù)學(xué)二、數(shù)學(xué)三試題中的常微分方程試題[1]進(jìn)行了分析，以期對(duì)教師教學(xué)[2]和學(xué)生復(fù)習(xí)迎考有所助益。

一、十年考研數(shù)學(xué)常微分方程試題總體情況分析

十年考題總個(gè)數(shù)為37個(gè)，總分值為247分。填空題及選擇題，每題4分。各類題目的個(gè)數(shù)和分值見表1，各類試題個(gè)數(shù)及分值比較，見圖1、圖2（數(shù)學(xué)一、數(shù)學(xué)二、數(shù)學(xué)三中相同的題目，算作一個(gè)題（下同）；解答題的分值為本大題分值，包括相關(guān)知識(shí)，沒有細(xì)分）。

表1 十年各類試題總體情況

圖1 各類試題個(gè)數(shù)柱型圖

圖2 各類試題總分值柱型圖

二、題型分析

題型1求一階線性微分方程的通解或特解（詳見表2）。共有13個(gè)題，涉及分值58分。

表2 十年一階線性方程試題情況

題型2求二階齊次或非齊次線性微分方程的通解或特解（詳見表3）。共有10個(gè)題，涉及分值74分。

表3 十年二階線性方程試題情況

題型3求三階齊次或非齊次線性微分方程的通解或特解。2010年，數(shù)學(xué)二，二（9），共1題，分值4分。

題型4已知二階線性齊次或非齊次微分方程的通解或特解，反求微分方程。2006年，數(shù)學(xué)二，二（10）。共1題，分值4分。

題型5二階可降階微分方程的求解。2007年，數(shù)學(xué)二，三（19）。共1題，分值10分。

題型6已知三階線性齊次或非齊次微分方程的通解或特解，反求微分方程。2008年，數(shù)學(xué)一，一（3）。共1題，分值4分。

題型7求歐拉方程的通解或特解。2004年，數(shù)學(xué)一，一（4）。共1題，分值4分。

題型8常微分方程的應(yīng)用。由已知條件，建立微分方程，然后求解函數(shù)表達(dá)式或曲線方程（詳見表4）。共9個(gè)題，涉及分值89分。

表4 十年常微分方程應(yīng)用題情況

三、對(duì)幾個(gè)典型考題的評(píng)析

典型題1（2003年數(shù)學(xué)三，第七題）

設(shè)F（x）=f（x）g（x），其中函數(shù)f（x），g（x）在（-∞，+∞）內(nèi)滿足以下條件：f′（x）=g（x），g′（x）=f（x），且f（0）=0，f（x）+g（x）=2ex，（1）求 F（x）所滿足的一階微分方程；（2）求出 F（x）的表達(dá)式。

分析：F（x）所滿足的一階微分方程，必含有F′（x）。這就暗示先要求出F′（x）。因此應(yīng)先對(duì)F（x）=f（x）g（x）求導(dǎo)，再利用f（x），g（x）滿足的條件進(jìn)行轉(zhuǎn)化，即可得F（x）滿足的一階微分方程F′（x）+2F（x）=4e2x。

這是常系數(shù)的一階非齊線性微分方程，可用公式法、常數(shù)變易法、特征根法進(jìn)行求解。注意初始條件。

此題沒有直接給出微分方程，須先通過對(duì)F（x）求導(dǎo)，利用所給條件進(jìn)行恒等變形，從而推導(dǎo)出微分方程。此題比較新穎。然而，一旦得到微分方程，便有“山窮水復(fù)疑無路，柳暗花明又一村”之感，就能順利求解了。

典型題2（2010年數(shù)學(xué)二，三（17）題）設(shè)函數(shù)y=f（x）由參數(shù)方程

求函數(shù) ψ（t）。

求解方程（3），方法一，是進(jìn)行降階。令ψ′（t）=p，則可得

從而得解。

方法二，是直接將方程（3）化為

連續(xù)施行兩次積分，代入初值條件，即可得解。

方法三，是用二階微分方程的常數(shù)變易法來求解。方程（3）所對(duì)應(yīng)的齊次方程為

連續(xù)兩次積分得

ψ（t）＝A（t＋1）2＋B，（A，B 為任意常數(shù)）

易知方程（4）有基本解組 1，（t＋1）2。

因此，將方程（3）化為

設(shè)ψ（t）＝C1（t）＋C2（t）（t＋1）2，代入方程（5），利用二階微分方程的常數(shù)變易法，可求出C1（t）、C2（t），從而可得ψ（t）的通解，代入初值條件，即可得解。

此題用參數(shù)求導(dǎo)法推出ψ（t）的二階微分方程后，有多種解法，考生可根據(jù)自己的情況靈活選擇。此題有一定的難度。對(duì)于選拔性考試來說，可以拉開考生的差距。因此，此題是一個(gè)較好的考研試題。

典型題3（2012年數(shù)學(xué)三，三（19）題）若函數(shù)f（x）滿足方程

分析：方法一，易知方程（6）是常系數(shù)二階齊線性微分方程，其特征方程為 λ2＋λ－2＝0，

因此，可求出方程（6）的通解

現(xiàn)在考慮方程（7），式（8）應(yīng)滿足方程（7），將式（8）代入（7），比較系數(shù)，可求出C1，C2，從而可得f（x）的表達(dá)式f（x）＝ex。

方法二，易知方程（7）是常系數(shù)一階非齊線性微分方程，可解得其通解為

將（9）式代入（6）式，可求出C＝0，從而得到f（x）的表達(dá)式。

方法三，觀察方程（6）、（7）的特點(diǎn)，將方程（7）兩邊對(duì)x求導(dǎo)數(shù)得

用（10）式減去（6），立即可得f（x）的表達(dá)式。這種方法最佳，省時(shí)省力。

因而找到了問題2）的密鑰。利用此密鑰，將問題2）轉(zhuǎn)化，問題2）迎刃而解。

此題步步遞進(jìn)，連環(huán)相扣，有多種途徑，設(shè)局甚佳。到了第一個(gè)目的地，就知道下一步怎么走。到了第二個(gè)目的地，就可遙望最終目標(biāo)。這樣，在前進(jìn)的道路上，一直使人信心滿滿，勇往直前，盼著摘取紅彤彤的碩果。此題是一個(gè)好的考研試題。

四、幾點(diǎn)建議

（1）考研試題中的常微分方程試題，多為基礎(chǔ)知識(shí)題。重點(diǎn)之一是求一階線性微分方程的通解或特解，涉及的有關(guān)題目有13個(gè)，分值約為58分，占十年常微分方程試題總分值的23．48%。重點(diǎn)之二是求二階齊次或非齊次線性微分方程的通解或特解，涉及的有關(guān)題目有10個(gè)，分值約為74分，占十年常微分方程試題總分值的30%。此二項(xiàng)分值之和為132分，占十年常微分方程試題總分值的53．44%。若再加上綜合題的分值，這個(gè)比例就更高了。因此，考生復(fù)習(xí)時(shí)，須牢固掌握基礎(chǔ)知識(shí)，特別是一階線性微分方程、二階線性微分方程。

（2）考研試題中的題型，大多為常見題型。因此，復(fù)習(xí)時(shí)，只要能夠打牢基礎(chǔ)，就能夠應(yīng)對(duì)各種題型的變化。

（3）對(duì)于常微分方程的應(yīng)用題，需要綜合應(yīng)用相關(guān)知識(shí)，如物理的、幾何形體方面的、經(jīng)濟(jì)方面的相關(guān)知識(shí)，才能求解試題。此外，就是一些數(shù)學(xué)知識(shí)與常微分方程的綜合應(yīng)用。對(duì)于應(yīng)用題這種題型，部分考生感覺有難度。因此，要針對(duì)有關(guān)知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行有目的的教學(xué)，再加以適當(dāng)?shù)木毩?xí)或模擬考試，使學(xué)生掌握解決這類問題的方法，就能攻克這一難關(guān)。

（4）常微分方程有關(guān)理論知識(shí)，也是考生所考相關(guān)專業(yè)的基礎(chǔ)理論課。若能在本科學(xué)習(xí)階段打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)，對(duì)于將來學(xué)習(xí)或進(jìn)行科研工作，都是大有幫助的。

[1]中國教育在線．全國碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試歷年真題集錦——考研數(shù)學(xué)真題[M]．http：／zhenti．kaoyan．eol．cn／，2012－03－05．

[2]張少華，王思聰．《常微分方程》教學(xué)中探究式教學(xué)法初探[J]．遵義師范學(xué)院學(xué)報(bào)，2007，9（6）：72－74．