氣液兩相分層流剪切應(yīng)力的不確定度分析

劉夷平，王汝金，陳 超，王 經(jīng)

（1.上海市計(jì)量測(cè)試技術(shù)研究院 熱工與能源計(jì)量技術(shù)研究所，上海 201203；2.合肥通用機(jī)械研究院壓縮機(jī)技術(shù)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，合肥 230088；3.上海交通大學(xué) 機(jī)械與動(dòng)力工程學(xué)院 工程熱物理研究所，上海 200240）

0 引 言

研究水平氣液兩相流流型轉(zhuǎn)換以及預(yù)測(cè)持液率和流動(dòng)壓降，大多采用Taitel－Dukler的經(jīng)典方法，他們從動(dòng)量方程出發(fā)，通過適當(dāng)簡(jiǎn)化，提出了凸顯兩相流動(dòng)特征的一維雙流體模型［1］。但是，該模型在不同流型區(qū)域預(yù)測(cè)持液率會(huì)出現(xiàn)低估或高估，而且需要額外提供本構(gòu)關(guān)系式來封閉求解方程（其中重要的本構(gòu)關(guān)系包括：流體－壁面相互作用和兩相流體之間的相互作用），這些本構(gòu)關(guān)系大多是基于實(shí)驗(yàn)的經(jīng)驗(yàn)公式。雖然求解過程直接而普適，但是由于方程的非線性關(guān)系，不方便對(duì)本構(gòu)關(guān)系做有效的誤差分析。結(jié)果偏差必然導(dǎo)致研究者無法準(zhǔn)確預(yù)測(cè)流型轉(zhuǎn)變的臨界條件和其他動(dòng)力學(xué)參數(shù)。

基于水平氣液兩相分層流的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，計(jì)算了液壁、氣液間剪切應(yīng)力的不確定度。根據(jù)最大不確定度原理，對(duì)影響其準(zhǔn)確度的因素進(jìn)行誤差分析。剪切應(yīng)力是計(jì)算各相摩擦因子的前提，從實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)分析中提出有關(guān)液壁、氣液界面摩擦因子的經(jīng)驗(yàn)關(guān)系式。

1 求解方法和不確定度表達(dá)

1.1 兩相流動(dòng)量平衡

由于無法直接測(cè)量氣液界面的剪切應(yīng)力，一般的做法是從可測(cè)參數(shù)通過一維動(dòng)量平衡方程間接求得。根據(jù)分層流理想化模型，如圖1所示，水平圓管內(nèi)充分發(fā)展氣液兩相動(dòng)量平衡可以用以下兩式表達(dá)：

Taitel和Dukler［1］對(duì)兩相流體引入摩擦因子fG和fL并采用傳統(tǒng)方式處理流體和壁面以及氣液界面的剪切應(yīng)力：

圖1 水平管氣液分層流動(dòng)的參數(shù)示意圖Fig.1 Definition of the geometrical parameters for idealized stratified pipe flow

其中χ是Locakhart和Martinelli（1949）引入的無量綱參數(shù)［2］，和兩相流率、流體性質(zhì)和管徑有關(guān)。

表1中所有的無量綱幾何參數(shù)、兩相無量綱速度u＊G、u＊L都僅和θ（液相界面張角（圖1））有關(guān)，而無量綱液層高度h＊L＝0.5（1－cosθ），那么，方程（4）僅包含3個(gè)未知量：無量綱液層高度h＊L、代表體積流量的液相表觀速度uSL和氣相表觀速度uSG。無論是流型轉(zhuǎn)變預(yù)測(cè)還是求解動(dòng)力學(xué)參數(shù)，一旦已知其中之二，都需要通過方程（4）求解第三個(gè)未知量。寫成無量綱形式，是為了突出方程中僅有的本構(gòu)關(guān)系：fi／fG。Taitel和Dukler令fi≈fG，他們認(rèn)為即使對(duì)于波狀分層流，使用這一假設(shè)所帶來的誤差也不大，從而方便求解。然而，很多文獻(xiàn)都指出這一假設(shè)會(huì)導(dǎo)致持液率和壓力梯度出現(xiàn)低估。事實(shí)上，對(duì)于給定的Martinelli數(shù)χ，持液率（或液層高度）隨fi／fG比值的增大而減?。?］。多年來，研究者通過大量實(shí)驗(yàn)測(cè)量氣壁和氣液剪切應(yīng)力，再由式（3）求得各摩擦因子的修正關(guān)系式［4－5］。根據(jù)測(cè)量不確定度理論，分析其中主要待測(cè)量——剪切應(yīng)力。

表1 無量綱流動(dòng)和幾何參數(shù)Table1 Non－dimensional parameters

將表1中的無量綱幾何關(guān)系代入式（1），可得界面剪切應(yīng)力為：

由式（5）可知，如果確定τWG，通過測(cè)得的軸向壓力梯度和液層高度，得到界面剪切應(yīng)力τi，進(jìn)而由式（6）得到液壁剪切應(yīng)力τWL。

1.2 剪切應(yīng)力的不確定度分析

在估計(jì)導(dǎo)出量的標(biāo)準(zhǔn)不確定度中，需考慮各被測(cè)量的不確定分量的相關(guān)性，如果將明顯相關(guān)的分量做了不相關(guān)處理，結(jié)果是合成的標(biāo)準(zhǔn)不確定度偏小。為了不失相關(guān)性，按照最大不確定度（相關(guān)系數(shù)為1）分析：

界面剪切應(yīng)力的不確定度為：

各敏感系數(shù)為：

洋蔥的霜霉病主要危害其葉片。在病害發(fā)生初期會(huì)由外葉開始，并呈現(xiàn)由下向上的發(fā)展趨勢(shì)，在發(fā)病過程中逐漸向內(nèi)葉蔓延。發(fā)病較輕的時(shí)候洋蔥會(huì)出現(xiàn)蒼白綠長(zhǎng)橢圓形或者長(zhǎng)條形的病斑，隨著病斑的擴(kuò)大，葉身將逐漸枯折，在發(fā)病較為嚴(yán)重的時(shí)候甚至?xí)V線干枯或者腐爛的情況，對(duì)于幼苗有很大的危害。

類似地，液壁剪切應(yīng)力的不確定度為：

各敏感系數(shù)為：

本文數(shù)據(jù)取自Kowalski的實(shí)驗(yàn)［6］，他使用熱膜風(fēng)速儀測(cè)量了氣壁剪切應(yīng)力和雷諾剪切應(yīng)力，并使用動(dòng)量平衡法間接測(cè)量了氣液界面剪切應(yīng)力，該方法和步驟簡(jiǎn)述如下：

（1）實(shí)驗(yàn)可測(cè)量包括兩相表觀速度uSL和uSG，平均液層高度hL，壓力梯度dP／dx和氣壁剪切應(yīng)力τWG，共5個(gè)；

（2）表1中所有量都可以通過實(shí)驗(yàn)測(cè)量值hL得到，特別是液相和氣相的實(shí)際速度uL和uG也可求得；

（3）從式（5）和（6）得到τi和τWL，由式（3）計(jì)算兩個(gè)摩擦因子fi和fL。

至此，獲得剪切應(yīng)力和摩擦因子的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，用于不確定度分析。

（1）軸向壓力梯度的不確定度

實(shí)驗(yàn)使用Miraiam U型管壓力計(jì)，NIST認(rèn)為，作為一種操作簡(jiǎn)單的標(biāo)準(zhǔn)測(cè)量器具，準(zhǔn)確度僅僅取決于液柱高，其測(cè)量不確定度為最小分度的1／2。該壓力計(jì)的分辨率為0.05mm水柱，所以測(cè)量不確定度為0.49Pa，兩段取壓口相距2m，所以軸向壓力梯度的測(cè)量不確定度為0.25Pa／m。

（2）氣壁剪切應(yīng)力的不確定度

Kowalski使用熱膜風(fēng)速儀沿周向從管頂（0°）到氣液界面（130°）附近，每隔30°多次測(cè)量氣壁剪切應(yīng)力，由于液面波動(dòng)的影響，最大分散性發(fā)生在氣液界面處，如圖2所示，其中當(dāng)處于最小平均氣壁剪切應(yīng)力τWG＝0.037Pa（uSL＝0.05m／s，uSG＝1.97m／s）時(shí)，誤差條范圍±0.025τWG。取0.05τWG作為氣壁剪切應(yīng)力的不確定度。

圖2 沿管壁周向測(cè)得的氣壁剪切應(yīng)力Fig.2 Gas wall shear stress profile along the circumferential wall（uSL＝0.05m／s，uSG＝1.97m／s，τWG＝0.037Pa）

（3）液層高度的不確定度

Kowalski使用電導(dǎo)探針測(cè)量波動(dòng)液面，做積分平均取得平均液層高度。根據(jù)Kordyban的假設(shè)［7］，液層類似于正弦波上下波動(dòng)，如圖3所示，均方根波高h(yuǎn)RMSL表達(dá)為式（16），可以認(rèn)為液層在波峰幅度（Peak amplitude）范圍內(nèi)隨機(jī)波動(dòng)，故無量綱液層高度的不確定度u（h＊L）由式（17）計(jì)算。

圖3 液層波動(dòng)時(shí)序示意圖Fig.3 Instantaneous liquid height profile

2 結(jié)果和討論

表2分別列出測(cè)量數(shù)據(jù)和結(jié)果。

表2 測(cè)量數(shù)據(jù)（左欄）和結(jié)果（右欄）Table2 Measurement data（left）and results（right）

氣液界面剪切應(yīng)力的相對(duì)不確定度和各個(gè)不確定度分量如圖4（a）所示，τi最小時(shí)（0.047Pa）相對(duì)不確定度最大，約為22%，隨著氣速增加，界面剪切應(yīng)力增大，而τi的相對(duì)不確定度逐漸減小至9.13%。當(dāng)兩流體之間相對(duì)速度（因而τi）較低時(shí)，即便使用高準(zhǔn)確度的壓力計(jì)，壓力梯度分量仍然是界面剪切應(yīng)力誤差的主要來源（占61.5%），而隨著氣速增加，其對(duì)不確定度的貢獻(xiàn)減弱。值得注意的是，液層高度不確定度隨著τi由小增大，在高τi區(qū)域貢獻(xiàn)了最大部分的不確定度，最高占整個(gè)不確定度的66%～68%。這表明，液層高度和壓力梯度測(cè)量數(shù)據(jù)是影響氣液界面剪切應(yīng)力的主要誤差源。而氣壁剪切應(yīng)力τWG一般占有最少的不確定度份額，很少成為不確定度的最大貢獻(xiàn)者（僅有4點(diǎn)，其所占的份額僅有40%～45%）。Andritsos［8］和Kowalski等人的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)已經(jīng)說明，使用單向管流的Blasius方程及其平衡水力直徑關(guān)系計(jì)算的氣壁摩擦因子和實(shí)驗(yàn)結(jié)果很吻合，只是在高氣相Reynolds數(shù)區(qū)域（環(huán)狀流，界面波和液滴變形較為顯著的區(qū)域），Blasius關(guān)系式給出的預(yù)測(cè)結(jié)果出現(xiàn)一些低估。這和分析相符，即以氣壁剪切應(yīng)力（摩擦因子）作為本構(gòu)關(guān)系的出發(fā)點(diǎn)，利用動(dòng)量平衡關(guān)系進(jìn)行求解不會(huì)帶來很大的誤差。

圖4 氣液界面剪切應(yīng)力和液壁剪切應(yīng)力的不確定度分布圖Fig.4 The uncertainty distribution of gas－liquid interface and liquid wall shear stresses

液壁剪切應(yīng)力的不確定度分布（圖4（b））顯現(xiàn)出明顯的差異，最大的不確定度是氣液界面剪切應(yīng)力貢獻(xiàn)的，盡管液層高度和壓力梯度通過τi間接影響τWL的不確定度，但是液壁剪切應(yīng)力最終的誤差卻和他們沒有直接關(guān)系。如圖5所示，Kowalski給出的液壁摩擦因子和持液率及液相雷諾數(shù)關(guān)系式fL＝f（εL，ReL），和實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)不太吻合，在對(duì)數(shù)坐標(biāo)中，數(shù)據(jù)并沒有呈現(xiàn)出明顯的線性關(guān)系，這說明液壁摩擦因子和液相無量綱特征參數(shù)之間不是一個(gè)類似于Blasius方程的指數(shù)型關(guān)系。

圖5 液壁摩擦因子fL和持液率－液相雷諾數(shù)的關(guān)系Fig.5 The function between liquid wall friction factor fLand liquid phase holdup－Reynolds

圖6 液壁摩擦因子隨氣相表觀速度發(fā)生的轉(zhuǎn)捩Fig.6 The function between liquid wall friction factor and gas superficial velocity at the transition of flow regime

對(duì)于給定的液相表觀速度，液層高度隨氣速增加而降低，Kowalski關(guān)系式描述的液壁摩擦因子隨氣速緩慢上升，事實(shí)上，氣液界面從光滑轉(zhuǎn)變?yōu)闈i漪波時(shí)，液壁摩擦因子出現(xiàn)突增（圖6），這意味著氣液剪切應(yīng)力增加了液流的湍流耗散，當(dāng)氣速繼續(xù)增加，出現(xiàn)大振幅波，平均液層高度降低，液流的湍流耗散減弱，液壁摩擦因子減少，Kowalski的關(guān)系式?jīng)]有考慮到氣相速度通過氣液剪切應(yīng)力對(duì)液相部分帶來的影響，因而和實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)偏離較大。根據(jù)Andritsos和Kowalski等人的分析，氣液界面摩擦因子和平均液層高度、氣相雷諾數(shù)、液相雷諾數(shù)有關(guān)聯(lián)，而分析表明液壁剪切應(yīng)力的不確定度主要是由氣液界面剪切應(yīng)力所貢獻(xiàn)，那么液相摩擦因子必須結(jié)合氣液界面摩擦因子才能和各相流動(dòng)特征參數(shù)建立關(guān)聯(lián)。通過非線性回歸，得到如下關(guān)系式。圖7表明計(jì)算結(jié)果和實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)吻合，偏差在±12%以內(nèi)。

圖7 式（18）計(jì)算的摩擦因子比值和實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的比較Fig.7 Friction factor ratio obtained by Eq.（18）in comparison with the measurement data

3 結(jié) 論

氣液分層流中各相剪切應(yīng)力是兩相流動(dòng)方程本構(gòu)關(guān)系的直接來源，利用不確定度對(duì)各個(gè)影響分量作了分析。結(jié)果表明：液層高度和壓力梯度的測(cè)量是氣液界面剪切應(yīng)力誤差的主要來源，使用單相管流關(guān)系式計(jì)算的氣壁剪切應(yīng)力對(duì)最終的結(jié)果影響不大，而液壁剪切應(yīng)力受氣液界面剪切應(yīng)力的影響較大，并且液壁摩擦因子很難用單相管流的指數(shù)型關(guān)系式來描述，所以將液壁和氣液摩擦因子結(jié)合起來建立一個(gè)有效的關(guān)聯(lián)，結(jié)果表明該關(guān)系式的計(jì)算結(jié)果和實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)比較吻合。

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