考慮激波串的超聲速燃燒流場分析模型

王成鵬， 楊永陽， 程克明

（南京航空航天大學 空氣動力學系，江蘇 南京210016）

0 引 言

近年來各種高超聲速飛行實驗的成功［1－2］，表明了高空條件下超聲速燃燒的可實現(xiàn)性，也驗證了采用超燃沖壓發(fā)動機方案推進吸氣式高超聲速飛行器的可行性；盡管還存在如推力富裕度很小等很多關鍵問題有待解決［3］，但吸氣式高超聲速飛行器相對火箭在長航時飛行時所表現(xiàn)出的經濟性仍吸引了更多的關注。這種高超聲速飛行器機體／推進系統(tǒng)高度一體化和飛行速域寬的特點要求在概念設計階段各學科的模型分析精度就要達到較高的水平，而總體選型和性能分析需要進行大量的方案評估，需要快速地得到航程、有效載荷等各項性能的優(yōu)化參數(shù)，所以需要各部件建立具有一定精度的快速分析流動模型［4］；其中針對燃燒室內超聲速燃燒流場的分析和計算最為關鍵，超聲速燃燒室流場結構復雜，存在著激波系、膨脹波系、激波附面層相互干擾結構等，化學非平衡效應強烈；針對這種含化學反應的多組分高溫高速三維流動，詳細計算需要采用CFD技術，需要考慮大量的中間化學反應過程，一般采用簡化的化學動力學模型進行并行模擬，二維和三維流場計算量均相當大［5］，而且這種計算中包含的先進湍流燃燒模型尚不成熟。尋找一種快捷簡單而又具有一定精度的超聲速流動燃燒一維模型為吸氣式高超飛行器的初步設計和性能估算服務非常必要。

國內外在描述超聲速燃燒主要物理過程的模型建立方面做了很多工作［6－14］，文獻［6］對一類超燃燃燒室一維流動分析模型進行了總結并給出了改進模型，模型主要以 William H.Heiser和 David T.Pratt［7］提出的三段物理過程（絕熱壓縮，等壓釋熱和膨脹釋熱）為框架，基于實驗中獲得的實驗數(shù)據(jù)分布，人為確定三種物理過程的分界點，忽略摩擦、熱交換等次要因素，先求馬赫數(shù)分布，再求其他變量；這類以實驗燃燒室靜壓數(shù)據(jù)為基礎的超燃燃燒室流場分析模型可以給出超燃沖壓發(fā)動機燃燒室內的超聲速燃燒過程的合理描述，在估算燃燒室性能方面有重要的參考價值［8］。在概念性飛行器設計的初步階段，可能無法獲得相應的燃燒室壁面壓力數(shù)據(jù)供預測飛行器性能，此時研究者們發(fā)展了一類準一維或稱為廣義一維數(shù)值分析方法，結合有限速率化學反應模型［9－10］或無限反應速率一步模型［11－14］，在短時間內獲得燃燒室壓力、馬赫數(shù)等參數(shù)沿程分布，為飛行器設計提供性能分析或評價。這其中Timothy，Starkey等發(fā)展的一種“準一維超燃流場模型”［9－10］較有特色，該模型在考慮面積變化、壁面摩擦、燃料噴射以及向燃燒室內壁傳熱影響的基礎上，在一維管流控制方程中耦合了有限速率化學反應方程，加入了燃料混合模型，相對無限反應速率模型在一定程度上提高了精度，該模型已經被用于吸氣式高超聲速飛行器的初步設計之中［9］，他們建立起來的準一維流動模型能夠預測出著火點，在著火點之后能夠準確地計算出壁面沿程靜壓分布；但是由于此模型沒有考慮噴射點之前燃燒高壓前傳形成的激波串結構的影響，因此在燃燒室著火點之前，計算結果與實驗值差別很大；結合超聲速燃燒物理過程目前的理解程度，分析這種模型計算結果與實驗值的差別還需從實驗觀察入手，潘余等［15］采用光學觀測的方式對不同著火方式下燃燒室內著火過程進行了研究，給出了著火過程中燃燒室內的流動現(xiàn)象，他們發(fā)現(xiàn)在一些射流自燃工況中，氫氣首先在射流噴孔下游某個區(qū)域自燃，初始火焰形成后，燃燒區(qū)放熱使局部壓力升高，在燃燒區(qū)域前形成若干激波系，最終實現(xiàn)穩(wěn)定燃燒。Schmidt V 等［16－17］應用高速攝影和高速陰影對著火過程進行了觀測，拍攝了火焰、流場陰影圖像等，結果表明火焰首先起始于燃燒室下游，然后逆流傳播至噴射點上游，最后建立穩(wěn)定燃燒的狀態(tài)。對這些實驗現(xiàn)象的觀察也許能夠解釋Timothy，Starkey等［9－10］人的“準一維超燃流場模型”在激波串區(qū)域失效的原因：實驗中的超聲速燃燒過程可以由兩個階段描述，第一個階段，燃料從噴射口噴出，與主流摻混，在著火點自燃，開始形成初始火焰，壓力升高；第二個階段，燃燒造成的高壓在附面層內亞聲速區(qū)域前傳，產生的逆壓力梯度使壁面附面層發(fā)生分離，進而導致超聲速芯流面積收縮，壓縮主流，形成激波串結構和穩(wěn)定的燃燒過程。由于 “準一維超燃流場模型”是一種一維模型，從燃燒室進口沿程向出口計算，模擬了燃燒的第一個階段，卻無法模擬第二個階段，造成了在著火點之前的壓力計算不準。

從較早的 William H.Heiser和David T.Pratt［7］的“一維流動分析模型”到最近的 Timothy，Starkey［9－10］的“準一維超燃流場模型”，隨著對超燃現(xiàn)象研究的深入，模型開始更細致地考慮基元化學反應的影響，同時也考慮了摩擦、熱交換、燃料噴射等一些在過去模型中忽略的因素，有研究［18］表明這些被忽略的因素很可能會對參數(shù)計算造成較大的誤差。即使這樣，Timothy，Starkey［9－10］的“準一維超燃流場模型”仍然不能在燃料噴口之前的預燃激波串區(qū)域準確地計算出沿程壓力分布，究其原因，是因為在建立模型的過程中沒有考慮激波串結構的影響；而實驗中超燃現(xiàn)象表明在燃料著火之后，高壓在附面層亞聲速流中前傳形成激波串，這一現(xiàn)象在“準一維超燃流場模型”中沒有體現(xiàn)?；谶@種分析，本文在超聲速燃燒實驗現(xiàn)象觀察的基礎上，在“準一維超燃流場模型”中耦合進激波串結構模型［19－20］，提高其壁面壓力的預測能力，而壁面壓力計算結果精度的提高將對超燃燃燒室壓力阻／推力的計算乃至整個飛行器的推阻性能計算有重要意義。

1 物理模型與分析

物理模型的分析仍然借助于William H.Heiser和David T.Pratt［7］提出的超聲速燃燒模型，燃燒室構型為常見的“等直段＋擴張段”（圖1），隔離段進口為經過高超聲速進氣道壓縮后的超聲速來流，燃料在3處噴入超聲速流場中，燃料與來流混合后在噴射點下游某點開始點燃，燃燒放熱形成的高壓壓縮上游超聲速來流，引起附面層分離，使得火焰區(qū)域得以逆流傳播，在d點和s點之間燃燒釋熱與超聲速有效流動面積變化共同作用形成等壓區(qū)域；在s點之后面積擴張的影響占主導，壓力沿程下降；在d點之前，一段激波串區(qū)域跨越燃料噴射點形成絕熱壓縮段銜接上游低壓與燃燒區(qū)高壓。下文將詳細敘述各個物理化學過程的?；幚矸椒?。

圖1 超聲速燃燒流動物理模型Fig.1 Flow analysis model for supersonic combustor

2 超聲速燃燒流場控制方程

將燃燒室內流動介質視為化學反應完全氣體混合物，每一組元視為熱完全氣體，各項組元比熱與比熱比為溫度的函數(shù)；考慮流動變量在x方向上的變化；多組分準一維流剛性常微分控制方程組由連續(xù)方程（1）、動量方程（2）、狀態(tài)方程（3）、組分質量分數(shù)方程（4）、能量方程（5）組成［9］：

公式（1）～（5）中A為燃燒室管道截面積（m2）；Cf為壁面摩擦系數(shù)；cp為比定壓熱容（J／（kg·K））；為以cp為自變量的函數(shù)，詳見文獻［9］；D為圓形截面管道直徑或非圓形截面管道當量直徑（m）；h為單位質量的焓（J／kg）；Ma為馬赫數(shù)；MW為分子量（kg／kmol為組分混合物分子量（kg／kmol）；˙m為質量流量（kg／s）；p為壓力（Pa）；Pr為普朗特數(shù)；T為溫度（K）；U為矢量速度（m／s）；x為軸向坐標（m）；Y為質量分數(shù)；ε為燃料射流速度在x向上分量與主流速度之比；γ為比熱比；ρ為密度（kg／m3）；˙ωi為每一組元在多步反應機理中的凈生成率（kmol／（s·m3））：

其中、對應i組分在j個反應中方程兩邊反應物與生成物的化學當量系數(shù)，kf，jkr，j為正向和逆向反應速率系數(shù)，L表示基元反應步數(shù)，N為組分個數(shù)，這種表達式非常便于化學動力學過程的求解。式（4、5）中下標added為燃料噴射添加的組元，aw為絕熱壁條件，ω為壁面條件，0為滯止狀態(tài)。式（6）中的化學反應機理在本文中采用了Jachimowski提出的13組分、32反應的氫氣／空氣反應模型［21］，該模型是專門針對高速燃燒問題設計的反應模型，原模型中包括了氮氣的化學反應，考慮燃燒室溫度小于氮氣分解溫度4000K，所以僅考慮氫氧反應過程?；瘜W反應生成項及其涉及的反應特征時間尺度差異很大，使得上述控制方程組是剛性常微分方程組，采用剛性系統(tǒng)算法器VODE［22］求解，方程組（1～5）的書寫格式也是為了采用 VODE 求解。CHEMKIN－II［23］作為一種子程序庫為流動燃燒耦合過程中的化學動力學問題提供了計算工具，計算之前首先將氫氣／空氣反應化學機理讀入CHEMKIN－II的解釋器（Interpreter），然后從熱力學數(shù)據(jù)庫中提出與機理相關的熱力學信息，、hi、MW、cp等各項參數(shù)由 CHEMKIN－II的 子程序庫計算得到，輸出的計算結果應用于控制方程組（1～5）的相關項中。

針對燃料垂直地還是平行地與主流混合，將采取不同的混合模型。垂直噴注依靠燃料射流的能力獲得混合效果，文獻［9］中給出了一種燃料垂直噴射的混合模型，假定在一維范疇內，燃料的添加過程在一定長度內發(fā)生，從燃料噴射點向下游定義一混合長度Lmix，在混合長度內燃料僅僅發(fā)生了混合，燃料生產率˙ωi被設定為0，當達到混合長度后，反應開始發(fā)生，直至燃料到了燃燒室的末端或反應已達平衡。本文針對燃料垂直噴射工況仍然采用這種模型，不同于文獻［9］中的人為給定Lmix，基于文獻［24］中相似理論分析和實驗數(shù)據(jù)結果，采用下式來確定燃料空氣混合長度Lmix：

其中d為噴孔直徑（m），j、∞分別表示噴流與主流條件，ξc為噴流中心線上燃料濃度，這里用燃料摩爾分數(shù)表示，文獻［24］采用式（7）來表達噴流中心線上燃料濃度在噴孔下游沿流向方向的變化趨勢，本文將可燃上限對應的氫燃料摩爾分數(shù)代入ξc，來確定Lmix。對于采用支板與主流平行噴射燃料的工況，可壓縮混合長度由下式［13］來計算：

Mc為燃料與主流混合層對流馬赫數(shù)，c為聲速。冷流混合實驗結果與多維計算結果表明公式（7、8）僅適用各自垂直和平行主流噴射燃料的工況，如果實際的燃燒室模型采用與主流成一定角度噴射燃料或采用凹腔等穩(wěn)焰結構，均需根據(jù)實際情況建立混合模型。

3 激波串模型

如前所述，燃料噴入超聲速來流發(fā)生混合、燃燒，形成的高壓將通過附面層向上游傳播，在隔離段中形成激波串結構（圖1中u－d段）。第2節(jié)中的常微分控制方程組在隔離段進口賦初值求解，考慮燃料噴射、混合、燃燒模型，卻沒有考慮反壓前傳形成的激波串對沿程參數(shù)的影響，所以利用控制方程組求出沿程壓力分布后，還需建立激波串模型。激波串為隔離段進口超聲速來流在壁面摩擦、燃燒反壓造成的逆壓力梯度共同作用下減速擴壓形成的復雜流動結構，包含激波相交反射、激波／附面層的相互作用、氣流分離等，即使采用多維RANS（Reynolds－averaged Navier－Stokes）數(shù)值模擬手段刻畫激波串結構目前也是一大難題，原因在于湍流模型在處理分離流、可壓縮流體、激波不穩(wěn)定性效應等現(xiàn)象時精度過低，而目前研究者對這些在激波串流動結構中包含的流動現(xiàn)象的物理機制了解的很不深入。自1958年Crocco［25］首次提出“無激波理論”激波串理論模型以來，至今基于理論分析和實驗研究已發(fā)展了多個激波串（或偽激波）模型，最具代表性的包括 Matsuo［26］發(fā)展的“流量平均”理論模型和Waltrup［19］的基于實驗數(shù)據(jù)的激波串公式，Matsuo的“流量平均”模型采用流量平均的方法處理激波串之前的包含附面層的截面平均參數(shù)，控制體包括整個偽激波結構（激波串＋下游的混合段），下游的靜壓、總壓恢復等參數(shù)可以通過上游的流量平均參數(shù)求出，模型計算值經大量實驗值驗證表明具有很高的精度，但該模型無法給出激波串區(qū)域的沿程參數(shù)變化曲線；激波串區(qū)域流動分離導致的超聲速流動有效面積無法精確確定，導致在一維范疇上處理激波串問題還需借助實驗分析或經驗方法，本文采用Waltrup的激波串公式來處理激波串區(qū)域的壓力分布，該公式基于大量一維軸對稱等直圓管內激波串結構實驗數(shù)據(jù)，考慮了馬赫數(shù)、進口附面層動量厚度以及基于進口附面層動量厚度的雷諾數(shù)等因素的影響，并根據(jù)影響的程度確定了影響因子，確定了管內增壓比與激波串長度的關系式，因其實用性而被后人在計算激波串區(qū)域參數(shù)時廣泛引用：

式中D為圓管直徑，Ma1為激波串前主流馬赫數(shù)，θ1為激波串前附面層動量損失厚度，Reθ為基于激波串前附面層動量損失厚度的雷諾數(shù)，p1為激波串前壁面靜壓，p為對應激波串中軸向位置x點的壁面靜壓。如果管道為矩形截面，則采用下式計算激波串區(qū)域壓力分布：

將公式（9）中的改為，圓管直徑D改為管道進口高度H。如果實際工程應用中需要考慮管道進口（進氣道出口）非對稱附面層來流工況，可以采用下式［20］計算：

式中Dθ為基于附面層動量損失厚度的表征進氣道非對稱出口條件的非對稱度因子，θmax、θmin分別為管道進口最大與最小附面層動量損失厚度，根據(jù)實驗數(shù)據(jù)取為0.3。

由于燃料的噴射、摻混、著火延遲，高壓在燃料噴射點之后形成，圖1表明反壓形成的激波串結構跨越噴射點被分成兩段（u－3段和3－d段），為了確定激波串的位置，文獻［27］發(fā)現(xiàn)3－d段軸向長度x3d與上游來流附面層動量損失厚度θ1、燃燒生成的高壓ps／p1有關：

在圖1的d點和s點之間，考慮超聲速有效流動面積擴張與燃燒加熱的共同作用，假定為等壓段。

總結整個流場分析模型的計算過程：1）求解第二節(jié)中的超聲速燃燒流場控制方程組，確定燃燒著火點和燃燒生成的高壓ps；2）由公式（12）確定激波串在燃料噴射口下游的長度和圖1中d點的位置；3）由ps／p1根據(jù)管道形狀和來流工況確定采用公式（9～11）中的一個確定激波串的總長度xud和ud段壁面壓力的分布；得到整個燃燒室沿程靜壓分布后，可以根據(jù)需要求解相應控制方程得到其他流動變量變化曲線。

4 模型算例驗證

首先選擇了一種常見的“等直段＋擴張段”超燃燃燒室基本構型進行流場計算，算例為Billg和Grenleski［28］研究的一個軸對稱的、壁面垂直噴射燃料的超燃燃燒室模型，如圖2所示，燃燒室的組成：一段長0.3312m的截面積為0.0038m2的圓柱，之后緊接著的是長0.6096m的發(fā)散型圓臺，圓臺進出口面積比為2；在x＝0處沿周向均勻分布8個直徑為2.64mm的燃料噴射口。根據(jù)實驗條件，確定計算模型與數(shù)值模擬的來流條件：Ma＝3.19，p＝54000Pa，T＝920K，壁溫Tω＝500K；假定來流空氣的體積組成是氮78%，氧21%，氬1%；氫燃料溫度705K，油氣當量比為0.5，噴流馬赫數(shù)為1。

圖2 Billig超燃實驗模型Fig.2 Billig's experimental combustor configuration

圖3中的虛線為求解第二節(jié)中的超聲速燃燒流場控制方程組所得壓力沿程分布，計算過程采用了公式（7）所確定的氫垂直噴射混合模型，燃料在x＝0處開始噴射入主流，經過混合燃燒過程在x＝0.078m處達到最大壓力點，而后在擴張段壓力沿程下降，可見這段計算過程可以確定燃料的著火點和很好的預測擴張段壓力分布［9］，圖4給出了對應圖3中虛線壓力數(shù)據(jù)的溫度和組分沿程分布，表明了對應過程中H2O的生成與OH基的分布。考慮燃燒高壓在附面層內亞聲速區(qū)域的前傳過程，采用第三節(jié)中的激波串模型來處理氫燃料著火點之前的壁面壓力分布，其中激波串長度采用公式（9）計算，結果如圖3實線所示，可見考慮激波串的模型很好的計算了壁面壓力分布，考慮該模型的較高精度和快速計算特征，可以用于燃燒室的概念設計和性能優(yōu)化中。為了更好地理解燃燒室內流動特征，圖5給出了采用文獻［5］中的三維數(shù)值模擬方法計算得到的燃燒室中心面上的等馬赫數(shù)線圖譜，可見噴口附近形成的激波串結構。

圖3 不同模型壁面壓力計算結果與實驗數(shù)據(jù)對比Fig.3 Comparison of theoretical and experimental wall pressure distributions

圖4 未考慮激波串模型時沿程溫度與組分計算結果Fig.4 Temperature and mass fraction of H2，H2O，and OH distributions calculated using the model without shock train

圖5 數(shù)值模擬Billig燃燒室等馬赫數(shù)線圖譜Fig.5 Mach number contours in Billig′s experimental combustor

在各種形式的超燃燃燒室數(shù)值和實驗研究中，帶后向臺階的垂直噴氫方式也非常常見，第二個算例選擇了Billg和Grenleski［28］的一個軸對稱的、帶后向臺階的超燃燃燒室模型，燃燒室?guī)缀螚l件見圖6，燃燒室同樣由“等直段＋擴張段”組成，與第一個算例不同的是，等直段由兩段不同直徑的部分組成，擴張段也由不同擴張角的兩段發(fā)散型圓臺連接而成，氫氣在后向臺階附近上游垂直噴射。第二個算例與第一個算例采用同一個超聲速噴管，計算模型來流條件同第一個算例，所不同的是氫當量比提高至0.93。圖7給出模型計算得出的壁面壓力分布與實驗數(shù)據(jù)的對比，考慮激波串的模型計算所得激波串長度為0.0542m，沿主流方向于噴口之后的延伸距離為0.0051m，盡管存在臺階，模型在x＝0附近仍很好地計算了激波串區(qū)域的壓力分布，數(shù)值模擬結果也表明臺階的存在對激波串結構靠近壁面的分離區(qū)流場結構影響較?。辉趚＝0.1～0.2m處計算結果的偏低表明等壓假設的不完善，但作為一種高效快捷的模型計算結果可以接受。

圖6 帶后向臺階的超燃燃燒室模型Fig.6 A backward－facing step combustor configuration

圖7 后向臺階模型壁面壓力計算結果與實驗數(shù)據(jù)對比Fig.7 Comparison of theoretical and experimental wall pressure distributions is a step－cylinder－cone combustor

作為一種重要的燃料噴注方式，支板噴射可以將燃料噴入超聲速來流的主流當中并獲得良好的混合效果。第三個算例選擇了Anderson和Gooderum［29］的支板噴射氫燃料超燃試驗，如圖8所示，燃燒室由“等直段＋擴張段”段構成，氫燃料由支板上噴口垂直噴入主流，燃料噴口位于圖8中x＝0處，燃燒室截面為矩形，沿程保持等寬度0.17m，其他尺寸見圖中標識。噴管出口條件為馬赫數(shù)Ma＝2.7，靜壓P＝75777Pa，靜溫T＝1031K，油氣當量比為0.619，壁面溫度假定為Tw＝500K，來流空氣組分按照質量百分數(shù)定為：O2：27.69%，N2：50.52%，H2O：21.79%。圖9中考慮激波串的模型計算所得激波串長度為0.1562m，在燃燒室膨脹段計算壓力分布與實驗數(shù)據(jù)吻合很好，在x＝0～0.2m區(qū)間模型計算結果沒有反映出實驗數(shù)據(jù)的跳躍趨勢，是由于模型沒有考慮支板與壁面間的激波反射相交現(xiàn)象。

圖8 Anderson超燃實驗模型Fig.8 Anderson′s experimental combustor configuration

圖9 Anderson實驗模型壁面壓力計算結果與實驗數(shù)據(jù)對比Fig.9 Comparison of theoretical and experimental wall presuure distributions in Anderson′s experimental combustor

通過對上述3例的比較分析，發(fā)現(xiàn)本文所建立模型能很好地反映超聲速燃燒室流動中的物理化學過程，并和實驗數(shù)據(jù)相符。從而認為該模型是有效的。

5 結 論

對考慮了激波串結構模型的超聲速燃燒流場中物理化學過程的?；幚矸椒ㄟM行了研究，建立了意義明確、精度較高的流場分析模型，計算了“等直段＋擴張段”、后向臺階和支板噴射三種構型的燃燒室內氫燃料的超聲速燃燒問題，在每一算例中，均能夠計算出與實驗數(shù)據(jù)分布趨勢一致的壁面沿程壓力數(shù)據(jù)，該模型適用于采用超燃沖壓發(fā)動機推進的高超聲速飛行器概念設計階段的流場性能預測分析和參數(shù)優(yōu)化，也可用于地面、飛行實驗數(shù)據(jù)分析，加深對燃燒室內氣動熱力過程的理解。論文給出了處理超燃燃燒室內流動問題的框架，所述方法具有一定的參考價值，研究人員可以根據(jù)具體的燃燒室構型（如凹腔結構、多點噴射等）在本文的基礎上構建適合的混合、燃燒、激波串模型對流場進行分析。

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