與等式ab=cd相關(guān)聯(lián)的競(jìng)賽題

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(南京師范大學(xué) 江蘇南京 210000)

與等式ab=cd相關(guān)聯(lián)的競(jìng)賽題

●葛軍

(南京師范大學(xué) 江蘇南京 210000)

有一系列的競(jìng)賽題均涉及到等式的理解和運(yùn)用.現(xiàn)舉例加以說(shuō)明.

結(jié)論1設(shè)a,b,c,d為正整數(shù)，滿足ab=cd，則必存在正整數(shù)r,s,u,v，且(r,s)=1，使得a,b,c,d分別可以表示為a=ru，b=sv，c=su，d=rv.

利用結(jié)論1，可以較容易地解決一些競(jìng)賽題.

例1設(shè)a,b,c,d為正整數(shù)，滿足ab=cd，求證：a2+b2+c2+d2是合數(shù).

分析由結(jié)論1，得

a2+b2+c2+d2=

(ru)2+(su)2+(sv)2+(rv)2=

(r2u2+r2v2)+(s2v2+s2u2)=

(r2+s2)(u2+v2).

由a,b,c,d為正整數(shù)，知r,s,u,v是正整數(shù),因此

u2+v2≥12+12=2，

同理

r2+s2≥2,

從而可得a2+b2+c2+d2為合數(shù).

評(píng)注該題是美國(guó)的一道競(jìng)賽題.題目雖解答完畢，但還需追求“一分鐘的過(guò)程，必獲十分鐘的效果”.首先，可以反思總結(jié)出：解決因數(shù)分解問(wèn)題的基本思路之一，就是轉(zhuǎn)化為因式分解問(wèn)題來(lái)處理.其次，自然地運(yùn)用“一般化”意識(shí),心問(wèn)：當(dāng)滿足例1的條件時(shí)，an+bn+cn+dn(n≥1,n∈N+)仍是合數(shù)嗎？在a2+b2+c2+d2的分解中，可以將各項(xiàng)式子一般化，即

an+bn+cn+dn=

(rnun+rnvn)+(snvn+snun)=

(rn+sn)(un+vn)

也為合數(shù).

特別地，當(dāng)n=1時(shí)的結(jié)論還可以參見(jiàn)文獻(xiàn)[1].另外，根據(jù)上述過(guò)程還可以得到:

a2+b2-c2-d2=

(ru)2+(su)2-(sv)2-(rv)2=

(r2-s2)(u2-v2)=

(r-s)(u-v)(r+s)(u+v).

例2設(shè)a,b,c,d為正整數(shù)，滿足ab=cd，a+b=c-d，求證：存在邊長(zhǎng)是整數(shù)且面積為ab的直角三角形[2].

分析本題的題意是要求證明：存在正整數(shù)x,y，使得xy=2ab，且x2+y2為完全平方數(shù).由ab=cd及結(jié)論1，可令a=mu,b=nv，c=nu,d=mv,代入a+b=c-d，得

a+b+c+d=2c，

即

(m+n)(u+v)=2c.

對(duì)照2ab=2cd，自然地考慮嘗試在等式的2邊同乘以d(即mv)，得

(m+n)(u+v)·mv=2c·mv=2cd=2ab,

從而 [(m+n)v] [(u+v)m]=

(mv+nv)(mu+nv)=2ab,

即

(d+b)(d+a)=2ab.

假若可以驗(yàn)證(d+a)2+(d+b)2為完全平方數(shù)，則問(wèn)題得到解決.事實(shí)上，

(d+a)2+ (d+b)2=

2d2+2d(a+b)+a2+b2=

2d(d+a+b)+a2+b2=

2dc+a2+b2=(a+b)2,

故例2得證.

評(píng)注注意到ab=cd及a+b=c-d，聯(lián)想到a,b為一個(gè)一元二次方程的2個(gè)根，于是例2變形為2012年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽江蘇賽區(qū)初賽試題：

設(shè)a,b,c,d為正整數(shù)，a,b為方程x2-(d-c)x+cd=0的2個(gè)根，證明：一定存在邊長(zhǎng)是整數(shù)且面積為ab的直角三角形.

(第26屆獨(dú)聯(lián)體數(shù)學(xué)奧林匹克競(jìng)賽試題)

分析觀察題中條件與結(jié)論，注意到k可視為不變量，嘗試從n-k與k的大小關(guān)系入手.由k

kn=lm=(k+a)(k+b)=k2+(a+b)k+ab,

推得k|ab，從而ab≥k.因此,

前面討論了基于直接給出等式ad=bc的相關(guān)問(wèn)題的解決，下面給出2個(gè)例題，需先揭示出等式ad=bc，然后再證明問(wèn)題的結(jié)論.

例4在2個(gè)相鄰的完全平方數(shù)n2與(n+1)2之間任取若干個(gè)不同的整數(shù)，證明：它們中兩兩乘積互不相同.

(第17屆全蘇數(shù)學(xué)奧林匹克競(jìng)賽試題)

分析若取2個(gè)數(shù)，則無(wú)兩兩乘積，不符題意.若取3個(gè)數(shù)a,b,c,不妨設(shè)a

ab

但ad與bc的大小不定，于是就需考慮ad≠bc是否成立？ 考慮到4個(gè)數(shù)是任取的，則取多于4個(gè)數(shù)的情況，就可以轉(zhuǎn)化為任取4個(gè)數(shù)的問(wèn)題，即探究在任取的4個(gè)數(shù)中，兩兩乘積是否不相同.于是，問(wèn)題就轉(zhuǎn)化為證明：

對(duì)于給定的正整數(shù)n，若正整數(shù)a,b,c,d滿足n2

采用反證法證明.假設(shè)存在a,b,c,d且n2

a=ru,b=su,c=rv,d=sv,(u,v)=1.

由b>a，c>a，得s>r,v>u，即有

s≥r+1,v≥u+1，

從而

d=sv≥(r+1)(u+1)=ru+(r+u)+1,

而(n+1)2>d，矛盾.

因此，對(duì)于介于n2與(n+1)2之間的任意4個(gè)整數(shù)，它們的兩兩乘積互不相同，即例4得證.

評(píng)注反思上述的證明思路，條件n2

若r≠u(mài)，則

在上述推導(dǎo)過(guò)程中,

結(jié)論成立.

若r=u，則由b

d=sv≥(s+1)s≥(r+2)(r+1)>r2+2r+1.

因?yàn)閞=u，a=ru≥n2，所以r=u≥n.于是

d=sv>r2+2r+1≥n2+2n+1=(n+1)2,

這與d≤(n+1)2矛盾.

因此，進(jìn)一步地，得到命題：

命題1對(duì)于給定的正整數(shù)n，若正整數(shù)a,b,c,d滿足n2≤a

與例4相比，證明該命題的復(fù)雜之處就是需要分情形討論，其難度也就加大了.例4還可以變化為：

對(duì)于給定正整數(shù)n，一定存在2n+2個(gè)連續(xù)整數(shù)，使得任取其中若干個(gè)數(shù)，兩兩乘積都不相同.

分析遇到唯一性問(wèn)題，常用反證法來(lái)處理.

假設(shè)n的分解不是唯一的，則n還可分解為n=u′v′，即uv=u′v′.由uv,u-v聯(lián)想到

(u-v)2=u2-2uv+v2，

同理可得

(u′-v′)2=u′2-2u′v′+v′2.

由uv=u′v′及結(jié)論1，可令u=ac，v=bd，u′=bc,v′=ad，(c,d)=1，這里a,b,c,d為正整數(shù).于是

(u-v)2- (u′-v′)2=u2+v2-u′2-v′2=

(ac)2+(bd)2-(bc)2-(ad)2=

(a2-b2)(c2-d2)=

(a-b)(c-d)(a+b)(c+d).

假設(shè)u-v≠u(mài)′-v′，則由n為奇數(shù)得u,v,u′,v′均為奇數(shù)，從而a,b,c,d也均為奇數(shù).若a-b>0,c-d>0，則a-b>2,c-d>2，從而

(u-v)2-(u′-v′)2=

(a-b)(c-d)(a+b)(c+d)≥

2·2·(a+b)·(c+d)>

(1)

這與式(1)矛盾.

假設(shè)u-v=u′-v′，即u-u′=v-v′.若u>u′，則v-v′>0，得v>v′，因此n=uv>u′v′=n，矛盾.同理若uu′-v′，即

而 (u-v)2-(u′-v′)2=

(a-b)(c-d)(a+b)(c+d)>0,

(3)

由式(2)，(3)得a>b，c>d.例5得證.

在解決競(jìng)賽問(wèn)題時(shí)，首先要學(xué)會(huì)從簡(jiǎn)單入手，競(jìng)賽題的難度就在于對(duì)基本知識(shí)熟悉的程度和對(duì)簡(jiǎn)單知識(shí)理解的程度.越深刻越本質(zhì)的知識(shí)是競(jìng)賽必測(cè)的.其次，要學(xué)會(huì)運(yùn)用基本的邏輯證明方法(如反證法)處理問(wèn)題.再次，學(xué)會(huì)運(yùn)用“一般化”意識(shí)，對(duì)所要處理的或已處理的問(wèn)題進(jìn)行反思.最后，不要忽視書(shū)寫(xiě)的規(guī)范，本文期許讀者能夠簡(jiǎn)捷、完整地書(shū)寫(xiě)上述各例的解答過(guò)程.若然，你就會(huì)對(duì)解題思路有更深刻的認(rèn)識(shí)，甚至得到更為簡(jiǎn)捷的其他做法以及挖掘出相關(guān)的系列問(wèn)題.如反思例1，你會(huì)認(rèn)識(shí)到另外2個(gè)解題方向：4個(gè)數(shù)的平方和可否表示為2個(gè)平方數(shù)的和、可以表示為2個(gè)數(shù)平方和的數(shù)之積也可以表示為2個(gè)數(shù)的平方和，自然地再考慮更為一般的問(wèn)題，如此下去，就會(huì)聯(lián)想到一些著名的數(shù)學(xué)問(wèn)題.

[1] 王志雄.數(shù)學(xué)奧林匹克競(jìng)賽36計(jì)[M].北京：電子工業(yè)出版社,1993.

[2] 余紅兵.數(shù)學(xué)競(jìng)賽中的數(shù)論問(wèn)題[M].上海：華東師范大學(xué)出版社，2005.