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(東陽(yáng)市外國(guó)語(yǔ)學(xué)校高中部 浙江東陽(yáng) 322100)
巧用構(gòu)造法證明不等式競(jìng)賽題
●厲軍萍
(東陽(yáng)市外國(guó)語(yǔ)學(xué)校高中部 浙江東陽(yáng) 322100)
不等式的證明,憑借其簡(jiǎn)單的知識(shí)基礎(chǔ)、獨(dú)特的解題構(gòu)思、發(fā)散的證明方向、奇妙的推理過(guò)程成為數(shù)學(xué)競(jìng)賽中永恒的熱點(diǎn)之一.構(gòu)造法,作為技巧性特別強(qiáng)的一種解題方法,主要通過(guò)構(gòu)造適當(dāng)?shù)淖兞?、等式、函?shù)、圖形、數(shù)列、模型等輔助手段,使問(wèn)題轉(zhuǎn)化,揭示出直觀和本質(zhì)的形式,從而有助于問(wèn)題的解決.構(gòu)造法與不等式證明的結(jié)合,往往能相得益彰,迸發(fā)出令人贊嘆的思維火花.本文擬通過(guò)具體例子,分類闡述如何巧用構(gòu)造法證明不等式競(jìng)賽題.
例1已知a,b,c∈(-2,1),求證:abc>a+b+c-2.
分析此不等式2邊關(guān)于a,b,c對(duì)稱,且a,b,c都是一次的,可以嘗試構(gòu)造一次函數(shù).
證明設(shè)f(x)=(bc-1)x-b-c+2,則
因?yàn)閎,c∈(-2,1),所以
故
從而
f(1)=bc-b-c+1=(1-b)(1-c)>0,
當(dāng)x∈(-2,1)時(shí),f(x)恒大于0,于是f(a)>0,即abc>a+b+c-2.
分析從條件和結(jié)論的形式看,a,b,c呈輪換對(duì)稱,因此構(gòu)造的函數(shù)也應(yīng)當(dāng)是輪換對(duì)稱型.
證明由a2+b2+c2=(a+b+c)2-2(ab+bc+ca)=1-2(ab+bc+ca),可知原不等式等價(jià)于
(1)
令f(x)=(x-a)(x-b)(x-c)=x3-x2+(ab+bc+ca)x-abc,則
因此
整理即得式(1).故原不等式得證.
從數(shù)列的定義上看,數(shù)列可以看作一個(gè)定義在自然數(shù)集或其有限子集上的函數(shù)當(dāng)自變量從小到大依次取值時(shí)的一系列函數(shù)值,因此可以從數(shù)列的角度理解函數(shù)或不等式.利用數(shù)列的通項(xiàng)公式和求和公式以及利用數(shù)列的特殊性質(zhì)證明不等式,與一般證明相比較,常常顯得新穎獨(dú)特,別具一格.
(第19屆莫斯科數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題)
故原不等式成立.
故
數(shù)形結(jié)合是最重要的數(shù)學(xué)思想之一,也是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的有效方法之一.不等式的證明也是如此,如果問(wèn)題條件中的數(shù)量關(guān)系有較為明顯的幾何意義或以某種方式可與幾何圖形建立聯(lián)系,那么可以通過(guò)構(gòu)造圖形,將題設(shè)的條件及數(shù)量關(guān)系直接在圖形中得到體現(xiàn),然后在構(gòu)造的圖形中尋求所證的結(jié)論.
分析根據(jù)題意,本題的證明離不開三角形的知識(shí),但怎樣的三角形可以使解題更為方便,是首先應(yīng)當(dāng)思考的.
證明如圖1所示,構(gòu)造圓外切△ABC,使得3條邊a,b,c滿足a=y+z,b=z+x,c=x+y,則原不等式等價(jià)于
(2)
圖1
(yz+zx+xy)2≥3xyz(x+y+z),
即證明
(yz)2+(zx)2+(xy)2≥xyz(x+y+z),
而此式顯然成立,故原不等式成立.
例6設(shè)x,y,z>0,求證:
分析三角形是最基本的平面圖形,三角形中存在許多結(jié)論,如三角形的邊角不等關(guān)系、正余弦定理和面積計(jì)算公式等是最基本的解題工具,巧妙利用這些知識(shí)解題往往能收到事半功倍的效果.
圖2
證明如圖2所示,∠APB=∠BPC=∠CPA=120°,設(shè)PA=x,PB=y,PC=z,則P為△ABC的費(fèi)馬點(diǎn).易知
在△APB,△BPC,△CPA中,由三角形兩邊之和大于第三邊,并將所得的3個(gè)式子相加,即得左邊的不等式.
另一方面,在△ABC中,由例5的結(jié)論
可得
(3)
從而
(4)
又ab+bc+ca≤a2+b2+c2,由式(4)可得
式(3)+式(5)×2得
故
若隨機(jī)變量ξ的分布列如表1所示,則方差
Dξ=P1(x1-Eξ)2+p2(x2-Eξ)2+…+pn(xn-Eξ)2+…=Eξ2-(Eξ)2≥0.
通過(guò)構(gòu)造隨機(jī)變量的概率分布列,可以證明一類不等式競(jìng)賽題.
例7如果正數(shù)x1,x2,…,xn的和為1,證明:
(第24屆全蘇數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題)
分析構(gòu)造分布列證明的關(guān)鍵在于構(gòu)造適當(dāng)?shù)碾S機(jī)變量及其概率.本題可以用多種不同方法證明.
證明構(gòu)造隨機(jī)變量ξ的分布列如表2所示.
表2 隨機(jī)變量ξ的分布列
則
由Eξ2-(Eξ)2≥0得
例8設(shè)a,b,c,d>0,且ab+bc+cd+da=1,求證:
(第31屆IMO備選試題)
分析本題的證明關(guān)鍵仍然是如何根據(jù)題給條件和所證結(jié)論構(gòu)造適當(dāng)?shù)碾S機(jī)變量及其概率.
證明構(gòu)造隨機(jī)變量ξ的分布列如表3所示.
表3 隨機(jī)變量ξ的分布列
其中m=2(ab+bc+cd+da+ac+bd),則
由Eξ2-(Eξ)2≥0得
代換法是證明不等式的常用方法,通過(guò)代換往往能將一個(gè)復(fù)雜的不等式轉(zhuǎn)化為一個(gè)簡(jiǎn)單的或可直接運(yùn)用公式證明的不等式問(wèn)題.代換的方法很多,如均值代換、三角代換、線性代換、分母代換等,如何尋找一種合適的模型進(jìn)行代換是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.
分析對(duì)于一類齊次型的分式不等式,可以通過(guò)分母代換,將原不等式轉(zhuǎn)化為基本不等式證明問(wèn)題.
證明令a=2x+y+z,b=x+2y+z,c=x+y+2z,則
例10設(shè)x,y,z是大于-1的實(shí)數(shù),證明:
(2004年IMO中國(guó)國(guó)家隊(duì)培訓(xùn)試題)
分析本題x,y,z呈輪換對(duì)稱形式,但每一個(gè)分式都不是齊次型,因此,先通過(guò)基本不等式將分式化為齊次型(含常數(shù))是證明的第一步.
設(shè)p=2c+b,q=2a+c,r=2b+a,則
故原不等式得證.