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    解決初中數(shù)學(xué)競賽中雜題的常用策略

    2012-11-07 05:56:14
    關(guān)鍵詞:比賽結(jié)果箭頭石子

    (富陽市永興中學(xué) 浙江富陽 311400)

    解決初中數(shù)學(xué)競賽中雜題的常用策略

    ●段春炳

    (富陽市永興中學(xué) 浙江富陽 311400)

    數(shù)學(xué)競賽中出現(xiàn)的雜題往往涉及數(shù)論、組合、圖論等知識.這類問題背景豐富、解法靈活多變,而所涉及的知識和方法能體現(xiàn)數(shù)學(xué)的本質(zhì),能考查出學(xué)生數(shù)學(xué)思維的靈活性、深刻性和創(chuàng)造性,因而備受命題者的青睞.雖然這些題目沒有固定的方法,但一些思想方法和數(shù)學(xué)原理常被用到,本文通過近幾年的初中數(shù)學(xué)競賽題舉例說明.

    1 用“抽屜原理”解決存在性問題

    抽屜原理盡管很簡單,卻應(yīng)用廣泛,特別是在解決窮舉有困難的存在性問題中,它往往能起到很好的效果.

    例1有一系列數(shù),前2個數(shù)是1,2,從第3個數(shù)起,每個數(shù)都等于它前面相鄰的2個數(shù)的和的個位數(shù)字.請回答以下問題:

    (1)在這列數(shù)中能否依次出現(xiàn)相鄰的2,0,1,2這4個數(shù)?說明理由.

    (2)這列數(shù)中的第2 012個數(shù)字是什么?說明理由.

    (2012年希望杯初一數(shù)學(xué)競賽第二試試題)

    分析第(1)小題由奇偶性可知前2個數(shù)是偶數(shù),則第3個數(shù)必為偶數(shù),因此不可能出現(xiàn)2,0,1,2這4個數(shù).

    很多學(xué)生在解第(2)小題時一般能猜到這列數(shù)會出現(xiàn)循環(huán),希望通過實(shí)驗(yàn)找出這個循環(huán),但通過多次嘗試沒有出現(xiàn)循環(huán)時往往會否定自己開始的猜想,從而解題受阻.事實(shí)上求解此類試題的關(guān)鍵在于知道這列數(shù)是一定會循環(huán)的.

    當(dāng)相鄰2個數(shù)重復(fù)出現(xiàn)時,數(shù)列就會出現(xiàn)循環(huán),注意到這列數(shù)中只出現(xiàn)0到9的數(shù)字,因此不同的排列方式共有10×10=100種.因此,根據(jù)抽屜原理,相鄰2個數(shù)在這無窮數(shù)串中必定會重復(fù)出現(xiàn),此后成周期循環(huán),且“最壞”的情況是直到第101、第102個數(shù)才與第1、第2個數(shù)重復(fù).通過實(shí)驗(yàn)尋找,如表1所示.

    表1 數(shù)表

    從表1中可以發(fā)現(xiàn),第61個數(shù)等于第1個數(shù),第62個數(shù)等于第2個數(shù),以下各數(shù)以60為周期循環(huán)出現(xiàn).因?yàn)? 012=33×60+32,所以第2 012個數(shù)字等于第32個數(shù)字,即8.

    2 用“不變量原理”解決操作性問題

    有一類問題要求進(jìn)行反復(fù)的操作,哪些結(jié)果可能出現(xiàn),哪些結(jié)果不可能出現(xiàn).解決此類問題的有效策略是:如果有重復(fù)操作,尋找操作過程中的不變量.

    例2有3堆石子的個數(shù)分別為20,10,12,現(xiàn)進(jìn)行如下操作:每次從3堆的任意2堆中分別取出1粒石子,然后把這2粒石子都加到另一堆上去.問:能否經(jīng)過若干次這樣的操作,使得

    (1)3堆石子的石子數(shù)分別為4,14,24;

    (2)3堆石子的石子數(shù)均為14.

    若能滿足要求,請用最少的操作次數(shù)完成;若不能滿足,請說明理由.

    (2010年城市杯初一數(shù)學(xué)應(yīng)用能力決賽試題)

    分析第(1)小題只要從20,10這2堆石子中連續(xù)取出6次都加到12這堆中,分別變?yōu)?4,4,24,而且要得到4,最少是從10變到4,即最少要操作6次.

    第(2)小題的答案是不可能滿足要求的.將(a,b,c)變?yōu)?a-1,b-1,c+2),在這個操作的前后每2個數(shù)的差除以3的余數(shù)是不變的.3堆石子的石子數(shù)均為14,則兩兩的差除以3的余數(shù)均為0,這和起始狀態(tài)不一致,因此不可能得到.

    3 用“對應(yīng)原理”解決計(jì)數(shù)問題

    在很多復(fù)雜的計(jì)數(shù)問題中,當(dāng)直接計(jì)數(shù)較為困難時,可以通過尋找對應(yīng)關(guān)系間接計(jì)數(shù).

    例3如圖1是4×4的正方形網(wǎng)格,以網(wǎng)格的格點(diǎn)(每個正方形的頂點(diǎn)稱格點(diǎn))為頂點(diǎn)的正方形一共有______個.

    圖1 圖2

    (第2屆睿達(dá)杯七年級數(shù)學(xué)智能競賽一試試題)

    分析題中水平放置的正方形的個數(shù)容易得到,但不小心會忽視邊與網(wǎng)線不平行的情況,且這種“斜放”的情況又不易計(jì)數(shù).事實(shí)上由圖2可知,這樣“斜放”的每個正方形對應(yīng)著一個水平放置的外接正方形.因此要對“斜放”的正方形進(jìn)行計(jì)數(shù),只要對水平放置的正方形進(jìn)行計(jì)數(shù)即可,當(dāng)然這里不是一對一的,一個邊長為n的水平放置的正方形內(nèi)接(n-1)個“斜放”的正方形,從而共有

    16+9×(1+1)+4×(1+2)+1×(1+3)=50(個).

    用這種方法可將問題推廣到一般情形,即在n×n的正方形網(wǎng)格中可得到符合要求的正方形的個數(shù)有:

    12×(1+n-1)+22×(1+n-2)+…+

    (n-1)2×(1+1)+n2×(1+0)=

    4 用“估計(jì)、構(gòu)造”解決離散最值問題

    對于離散最值問題,一般要從2個方面進(jìn)行解答:一方面要“估計(jì)”出這個最值,另一方面要能“構(gòu)造”出一個例子說明最值的存在.

    例4有7個人進(jìn)行某項(xiàng)目的循環(huán)比賽,每2個人恰好比賽一場,且沒有平局.如果其中有3個人X,Y,Z,比賽結(jié)果為X勝Y,Y勝Z,Z勝X,那么我們稱X,Y,Z構(gòu)成一個圈.求在這7個人的比賽中,圈的數(shù)目的最大值.

    (2008年全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽浙江賽區(qū)復(fù)賽試題)

    分析可通過圖形來表示題目的意思.如圖3,若3個人A,B,C的比賽結(jié)果構(gòu)成一個圈,則3個人勝負(fù)各一場,圖中表現(xiàn)為“箭頭一進(jìn)一出”.如圖4,若3個人A,B,C的比賽結(jié)果不能構(gòu)成一個圈,則3個人中必有1人勝2場,1人負(fù)2場,圖中表現(xiàn)為“箭頭二出”與“箭頭二進(jìn)”.

    圖3 圖4

    在表示3個人比賽結(jié)果的勝負(fù)圖中,把角兩邊“箭頭一進(jìn)一出”的角稱為“好角”,角兩邊“箭頭二出”或“箭頭二進(jìn)”的角稱為“壞角”,那么當(dāng)比賽結(jié)果構(gòu)成圈時圖中有3個“好角”(圖3),不構(gòu)成圈時有1個“好角”、2個“壞角”(圖4).

    設(shè)某個人勝k(k=0,1,2,3,4,5,6)場,則他負(fù)6-k場,可產(chǎn)生k(6-k)個“好角”.

    當(dāng)k=0,1,2,3,4,5,6時,

    k(6-k)=0,5,8,9,8,5,0,

    從而

    k(6-k)≤9,

    即每個人勝負(fù)構(gòu)成的“好角”不超過9個.

    再設(shè)7個人共構(gòu)成n個圈,則“好角”共有3n+(35-n)個,由

    3n+(35-n)≤9×7=63,

    n≤14.

    另一方面,14個圈是可能的.

    因此,圈的數(shù)目的最大值為14.

    5 用“極端原理”巧妙解題

    在所研究的對象中如果存在最大或最小的對象,可以通過對它們的考查來發(fā)現(xiàn)問題的關(guān)鍵所在.考查問題的極端情形,往往能起到意想不到的效果,因?yàn)闃O端情形能很好地暴露出問題的矛盾.

    例5如圖5,在8個點(diǎn)處各寫一個數(shù)字,已知每個點(diǎn)處所寫的數(shù)字等于和這個點(diǎn)有線段相連的3個點(diǎn)處的數(shù)字的平均數(shù),求代數(shù)式

    的值.

    (第13屆希望杯全國數(shù)學(xué)邀請賽初二第二試試題)

    圖5

    a=b=d=e,

    同理可得

    c=f=g=h=a,

    a=b=c=d=e=f=g=h,

    [1] 恩格爾.解決問題的策略[M].舒五昌,馮志剛,譯.上海:上海教育出版社,2001.

    [2] 周春荔.初中數(shù)學(xué)競賽中的思維方法[M].北京:中國物資出版社,2004.

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