現(xiàn)代模態(tài)邏輯的形式分析初步
——魔態(tài)羽翼的跨世界逃逸與“刑師”分析下的在劫難逃

萬小龍

(華中科技大學 哲學系， 湖北 武漢 430074)

【邏輯學】

現(xiàn)代模態(tài)邏輯的形式分析初步
——魔態(tài)羽翼的跨世界逃逸與“刑師”分析下的在劫難逃

萬小龍

(華中科技大學 哲學系， 湖北 武漢 430074)

現(xiàn)代模態(tài)邏輯其實是按一階邏輯公理和規(guī)則對經(jīng)典真值函數(shù)做分類研究。模態(tài)命題邏輯中任一個可能世界集W僅表示與某一公理模式相應的一組二真值函數(shù)，相應的可能世界間的關系R就是這組真值函數(shù)共有的一種集合性質(zhì)。任一公理模式在一框架內(nèi)有效，就是將屬于W的每個真值函數(shù)式按K-2分別依次代入該公理模式中的每一個“□”，使得形成一組經(jīng)典定理。

二分性；非真值函數(shù)；經(jīng)典二變元真值函數(shù)；模態(tài)公理模式；K-1；K-2

邏輯的本性(the nature of logic)是二分性，并通過不斷的形式化二分將繁雜的經(jīng)驗、超驗或先驗的東西(抽象的哲學和藝術、形象的文學及生活、高深的數(shù)學物理等科學理論、超越的上帝或大千世界等，乃至各種邏輯理論自身)明晰和簡化，并保持嚴密和可靠。任何集合P都可以二分為其子集p和非p?？梢远峙c不可以二分也仍是一種二分。

一、非真值函數(shù)的二分

無論y是否為x的函數(shù)，它至少總是與負y互為函數(shù)。這就是說任何被稱為非函數(shù)的東西至少是另一東西的函數(shù)。所謂“非真值函數(shù)”就是非真值的非函數(shù)、非真值的函數(shù)或真值的非函數(shù)。真值的非函數(shù)又可分為非二的真值的和二真值的非函數(shù)。本文僅討論二真值的非函數(shù)，即先把非真值函數(shù)二分為并非二真值的非函數(shù)的非真值函數(shù)和二真值的非函數(shù)，又把后者分為非一元的和一元的，再把后后者如下二分：

p的任一二真值一元非函數(shù)Hp，或者等值或者不等值于下表的16個真值函數(shù)中的一個。

表1 經(jīng)典二元函數(shù)真值表D=d(p，q)

二、一元算符二真值非函數(shù)

任何人當然總是或者屬于或者不屬于認可筆者的上述觀點的人。如果有人屬于“既屬于又不屬于”的人，那么他們不過是與不屬于“既屬于又不屬于”也即“或者屬于或者不屬于”的那些人構成新的層次的“或者屬于或者不屬于”。從邏輯形式的角度看，所謂的對象語言與元語言的關系就可解釋為新層次是包括以舊層次作為肢命題的同一層次的復合命題。

本文僅研究二真值的模態(tài)命題?，F(xiàn)代模態(tài)命題邏輯LP的語言好像是在經(jīng)典二真值的命題邏輯語言基礎上增加了并僅增加表示“必然”的“□”和對偶地表示“并非□并非”即“可能”的“◇”。但在筆者看來，“必然”、“實然”和“可能”這些“神馬”都是浮云。

一元算符二真值非函數(shù)Hp雖然不是p的真值函數(shù)，但它本身也是與q和p一樣僅是二真值的，因此總可以等值于某個二真值函數(shù)(所有的二真值函數(shù)窮盡了二真值的所有真值指派)，而任意二真值函數(shù)是或者包括或者不包括一個以p為一個變元的多變元的二真值函數(shù)。對于多于二元的聯(lián)接詞聯(lián)接的二真值函數(shù)，總是可以還原為某些二元聯(lián)接詞聯(lián)接的多變元的二真值函數(shù)。先看16個二變元的真值函數(shù)，顯然其中一變元p的四個真值函數(shù)已經(jīng)包括在內(nèi)：D1、D6、D11和D16。并且D7、D8、D9和D10也可以看做是以p為一變元的特殊多變元二真值函數(shù)。所以說，Hp在這個階段實際上總是等值于表1中16個真值函數(shù)之一。

有二元聯(lián)接詞相聯(lián)接的256個三變元函數(shù)可以看做是第三變元的真值指派對前面16個真值函數(shù)形成的新的組合排列，因此這時與每一個三變元函數(shù)等值的一元算符二真值非函數(shù)就可以看做是前面16個二真值非函數(shù)之間的256種兩兩疊置。依次類推，二元聯(lián)接詞相聯(lián)接的n變元函數(shù)(n是大于2的自然數(shù))就是16個二真值非函數(shù)之間的n-1重疊置。這樣，我們有初步結論：有且僅有16個一元算符二真值非函數(shù)Hp，它們分別等值于表1中16個真值函數(shù)。概括“二探”一文(參見文獻[5])中的一元算符真值表及其孿生，可得本文的表2。

表2 狹義一元算符真值表(二真值非函數(shù))

三、模態(tài)命題邏輯公理與系統(tǒng)的系統(tǒng)性分析

如果任一模態(tài)基本命題□p屬于16個Hp的集合，那么只要將16個真值函數(shù)分別代人模態(tài)公理即可求得。以最簡便又常用的T公理(□p→p)為例，很容易發(fā)現(xiàn)：

(1)T公理中的□p表示一組而非一個p的非真值函數(shù)；

(2)這一組p的非真值函數(shù)分別等值于真值函數(shù)D6、D12、D13和D16；

(3)進一步，由于公理具有的二真值特性(表示蘊涵為真或推理有效)，T公理中的□p(在不包括疊置一元算符時)表示的非真值函數(shù)只能等值于真值函數(shù)D6、D12、D13或D16。

(4)T公理實際上表示并僅表示一組經(jīng)典命題邏輯的定理：

“二探”一文(參見文獻[5])中已發(fā)現(xiàn)，多變元的一元算符和疊置算符的語義有一點需注意，現(xiàn)改述如下：對于任一對Hp和Hp’來說，當Hp=f(p，q)時，Hp’=f(p’，q’)而不是f(p’，q)。例如，當H4p是p∨q時，H4s是s∨t。特設性的f(p’，q)形式對應K-1，一般形式f(p’，q’)對應K-2。K-1與K-2中的“□”均僅考慮二變元真值函數(shù)式，已足夠反映模態(tài)邏輯的基本性質(zhì)。例如p∧q∧r也是T公理中的□p，其實是疊置算符所形成。為了簡單明晰，下文先考慮不包括疊置算符形成的非真值函數(shù)。

模態(tài)命題邏輯LPK-2：在經(jīng)典命題邏輯基礎上增加并僅增加的符號“□”有且僅有明確的經(jīng)典意義：“□”與任意變元p組合形成的□p表示以p為一個變元而形成的16個二變元真值函數(shù)集(如表1)的一個子集。最大子集就是這16個真值函數(shù)集，最小的子集對于這16個真值函數(shù)是空集。容易算出總共有有限數(shù)量個不同的子集。模態(tài)公理就是在經(jīng)典命題邏輯語言外僅增添了“□”或它的對偶“◇”或它們的各種疊置的公理。由于公理的特性(永真)和其中任何一個命題串的“二真值性”，任何公理中的□p只能是至少等價于16個真值函數(shù)中的一個而不可能為“空”，所以不等價的模態(tài)公理的總數(shù)就是正好比上述子集的總數(shù)少一個。模態(tài)命題邏輯好像是一系列邏輯系統(tǒng)的總稱并且有且僅有WM個不等價的系統(tǒng)。不過，仔細分析發(fā)現(xiàn)：當□p正好表示16個真值函數(shù)的集合時，這時的模態(tài)命題邏輯公理就是經(jīng)典命題邏輯的公理，相應的模態(tài)系統(tǒng)就是經(jīng)典命題邏輯系統(tǒng)。而當□p表示小于16個真值函數(shù)的集合時，這時的模態(tài)公理就是一組經(jīng)典命題邏輯的定理，所以相應的模態(tài)系統(tǒng)仍是經(jīng)典命題邏輯系統(tǒng)?？傊?，模態(tài)邏輯不過是經(jīng)典邏輯的成語。

本文暫不考慮一階謂詞邏輯LP’和相應的模態(tài)謂詞邏輯LP’，但筆者認為任何一階謂詞公式都可以用一個或一組經(jīng)典命題邏輯公式等價地表示。

四、對一些運算結果的分析

(一)K-1形式下的模態(tài)句法還原。

□p=f(p，r)，□q=f(q，r))，□□p=f(f(p，r)，r)；

K：︱—□(p→q)→(□p→□q)；4(傳遞)：︱—□p→□□p；q(對稱)：︱—p→□◇p，

O：︱—□(□p→p)，E(歐)：︱—◇p→□◇p,V：︱—□p；Tr：□p?p

T(自反)：︱—□p→p；M：︱—□◇p→◇□p，D(持續(xù))：︱—□p→◇p

第一步，考慮最基本的模態(tài)公理K，將16個經(jīng)典二元聯(lián)結詞依次代入K中的每個“□”，很容易發(fā)現(xiàn)這時的K公理是分別對16個經(jīng)典二元聯(lián)結詞都有效的。

第二步，K-1形式下，把16個經(jīng)典二元聯(lián)結詞依次、分別代人其他典型的9個模態(tài)公理中的每個“□”，不難得到下面的16張完整真值表(因為篇幅，略)和總表表3。

表3 10公理在K-1形式下公理模式有效性比較表(y表示有效)

表3中r公理就是經(jīng)典公理，K公理是對16個經(jīng)典二元聯(lián)結詞都有效的，但不難算出K-1情形下K系統(tǒng)中模態(tài)算子對于析取和合取都是等值分配的，這一點似乎不完全符合現(xiàn)代模態(tài)邏輯的經(jīng)典結果(參見文獻[1]第160-161頁)。K-1的模態(tài)邏輯雖然僅是“瘦身”的而非真的模態(tài)邏輯，但由于它簡單，能非常明晰地反映模態(tài)邏輯的最一般本性：模態(tài)算符“□”表示共有某種集合性質(zhì)的一組經(jīng)典真值函數(shù)式，模態(tài)公理表示一組經(jīng)典定理，所有的模態(tài)命題系統(tǒng)都等價于經(jīng)典命題邏輯系統(tǒng)。

(二)K-2形式下的模態(tài)句法還原。

K-2：□p=f(p，p1)，□q=f(q，p2))，□□p=f(f(p，p1)，p1’)。因為K-1是K-2的特設形式，而D、T、V和Tr是獨立于K-1和K-2的，所以只要考慮表3中余下的6個公理中有效的那些項。施反證法(因為篇幅，略)于6個模態(tài)公理，不是很難就能 算出表4的結果。

表4 10公理在K-2形式下公理模式有效性比較表(y表示有效)

對自然(或必然)化規(guī)則可以把N理解為把真值函數(shù)代入□p后的真值表的每一行都要符合“p為真時，□p為真”的條件。表4中的各個公理的結果加上N與現(xiàn)代模態(tài)邏輯經(jīng)典文本中的模態(tài)系統(tǒng)中僅按句法推出的結果相比較，沒有發(fā)現(xiàn)反例。不難發(fā)現(xiàn)，表4中各種公理的有效性之間的互推關系也符合現(xiàn)代模態(tài)邏輯的主要經(jīng)典結果(參見文獻[3]第126頁)：

(1)自返性?持續(xù)性。

(2)對稱性+傳遞性?歐性。

(3)(略)。

(4)自返性+歐性?對稱性。

(5)對稱性+歐性?傳遞性。

(6)對稱性+傳遞性?對稱性+歐性。

(7)對稱性+傳遞性+持續(xù)性?自返性+歐性。

(8)自返性+對稱性+傳遞性?自返性+歐性。

但顯然K公理不是對16個真值函數(shù)均有效的，至少對H4即p∨q(的0010這行)無效。

五、對現(xiàn)有模態(tài)邏輯體系的解釋

(一)雖然每個模態(tài)邏輯公理都不等價，但每個模態(tài)邏輯系統(tǒng)都是經(jīng)典命題邏輯系統(tǒng)加一組經(jīng)典命題邏輯中的定理，在基元意義上當然還是經(jīng)典命題邏輯系統(tǒng)，所以都是等價的。因此說一個模態(tài)邏輯系統(tǒng)是另一個模態(tài)邏輯系統(tǒng)的擴充在上述意義上總是正確的。

(二)由于在不同模態(tài)系統(tǒng)中有不同的模態(tài)公理，因此導致不同的模態(tài)公理中“□”表示的“必然”的邏輯意義不相同，雖然這些不同的公理還原為經(jīng)典定理的組合后，作為其組合成分的經(jīng)典定理都是等價的。這里不僅反映了“非經(jīng)典邏輯僅是經(jīng)典邏輯成語”的邏輯基元特性，而且揭示了整體論的形而上學起源：不同的整體由相同基元集合的不同子集形成。

(三)每個模態(tài)公理反映其中的□p作為一組由p為一變元形成的真值函數(shù)對p的同一種集合性質(zhì)。例如，LPK-2的T公理中□p表示且僅表示p、p∧q、p∧q和p∧p對p都具有自反的性質(zhì)。說明可能世界語義學中“T公理中的那一組可能世界之間具有自反性”是一種近似正確但不夠準確的表述(顯然，p對p∧q并不具有自反性)。

(四)每個模態(tài)邏輯公理中的□p都表示了一組由p為一變元形成的數(shù)變元真值函數(shù)，這才是□p作為邏輯符號所反映的思維的形式意義。半形式化地可以把這一組真值函數(shù)(式)代表一集可能世界，或一堆臭皮囊，或一隊具有魔法的羽翼，甚至孫悟空的一群變身。筆者根本就無需知道“□”作為“必然”的自然意義是如何抽象為邏輯形式意義的歷史。

(五)LPK-2的必然化規(guī)則N存在才使得K-2形式下各種模態(tài)系統(tǒng)中各種公理與定理在真值語義中的可判定變得容易。但筆者根本就無需知道它究竟是誰讓它反應何種集合性質(zhì)。

(六)在可能世界語義學中，大部分模態(tài)邏輯公理都與一個一階謂詞公式對應，反之亦然。在筆者對模態(tài)邏輯的理解中，每一個模態(tài)邏輯公理都與一組命題邏輯定理對應，反之亦然。一方面說明僅從對模態(tài)邏輯做半自然半形式理解的可能世界語義學出發(fā)，很難找到或無法找到它們的一一對應；尤其當涉及像全通性這樣的無特設性(即K-2形式的經(jīng)典二真值語義)一階公式時，就找不到對應的模態(tài)命題邏輯公式了。

(七)“K公理對所有模型均有效”的證明沒有注意到K-2所反映的“模態(tài)算符的非完全可代入性”。f(p)如果表示p的一個真值函數(shù)，那么f(q)就表示q的同一個真值函數(shù)。但現(xiàn)在□p表示以p為一個變元形成的一個二變元的真值函數(shù)，那么□q表示的是與前一個二變元的真值函數(shù)僅有相同函數(shù)式的以q為一個變元形成的另一個二變元的真值函數(shù)。

(八)對模態(tài)命題邏輯的純句法研究依照自然推理演繹的方法，其實它隱含著經(jīng)典二真值語義，所以自然地使用了K-2形式，因此幾乎沒有錯誤結果。但因為不知一元算符的本性，，所以進展緩慢。

六、結論

按照二分性，可以先把可能世界集二分成現(xiàn)實世界(用p或A還是w表示現(xiàn)實世界其實沒有區(qū)別)和并非現(xiàn)實世界：p和p，那么顯然p∨p和p∧p也是可能世界；再在p中找到一個子集q，把可能世界集p再二分成p的q和p的q，等等。

現(xiàn)代模態(tài)邏輯是對經(jīng)典真值函數(shù)做系統(tǒng)分類研究的經(jīng)典邏輯。句法上，模態(tài)命題邏輯中任一公理模式的任一“□p”都表示使得這一公理模式有效的那一組以p為一變元形成的經(jīng)典二真值函數(shù)，任一模態(tài)公理模式是且僅是一組經(jīng)典命題邏輯定理。語義上，使用經(jīng)典語義就已經(jīng)充分，但由于d(p，q)不是p的嚴格意義上的函數(shù)，所以模態(tài)“□”具有非完全可代入性，即遵照K-2而非K-1的形式?？赡苁澜缯Z義學大致曲折地反映了這種句法和語義的統(tǒng)一：一個可能世界w就是(映射)一個經(jīng)典二變元真值函數(shù)，一個世界集W就映射一組這樣的真值函數(shù)，相應的可能世界間的關系R就是這組真值函數(shù)共有的一種集合性質(zhì)，關系真值賦值論沒有使用必要。W、R和K-2式經(jīng)典賦值V構成一個框架。任一公理模式在一個框架內(nèi)有效，就是將屬于W的那一組真值函數(shù)式按K-2規(guī)則分別依次代入該公理模式中的每一個“□”，使得代入后形成一組經(jīng)典命題邏輯定理或一個一階謂詞邏輯定理。

對許多現(xiàn)代邏輯系統(tǒng)是否為經(jīng)典邏輯的認識過程，可借用唐代禪師青原惟信的話來說明：“老僧三十年前未參禪時，見山是山，見水是水。及至后來，親見知識，有個入處：見山不是山，見水不是水。而今得個休歇處，依前見山只是山，見水只是水?！?《五燈會元》卷17)

[1] 杜國平.經(jīng)典邏輯與非經(jīng)典邏輯基礎[M].北京：高等教育出版社，2006.

[2] 徐明.符號邏輯講義[M].武漢：武漢大學出版社，2008.

[3] 李小五.模態(tài)邏輯講義[M].廣州：中山大學出版社，2006.

[4] 萬小龍.經(jīng)典命題邏輯聯(lián)結詞的泛函分析初探——一元算符是否可能窮盡[J].安徽大學學報：人文社會科學版，2011(6).

[5] 萬小龍，李福勇，田雪.一元算符邏輯理論二探——義高一尺，道高一丈[J].安徽大學學報：人文社會科學版，2012(3).

責任編輯：王榮江

B815.1

A

1007-8444(2012)03-0322-05

2012-03-20

國家留學基金項目(200635015)；國家社科基金項目(2007ZXC49)。

萬小龍(1964-)，教授，博士生導師，國家馬克思主義工程“科學技術哲學”首席專家,主要從事科學哲學和邏輯學研究。