數(shù)列性質(zhì)的探究

◆付 偉

(遼寧本溪市衛(wèi)生學(xué)校)

數(shù)列性質(zhì)的探究

◆付 偉

(遼寧本溪市衛(wèi)生學(xué)校)

若數(shù)列{an}是是等差數(shù)列，有性質(zhì):

從等差數(shù)列的通項(xiàng)公式不難證明這兩個(gè)性質(zhì)，但這僅僅是讓學(xué)生在表面上理解這兩個(gè)性質(zhì)，這樣的“傳道授業(yè)”，只是生硬地把知識(shí)呈給學(xué)生，告訴學(xué)生結(jié)果是什么，卻不能自然地融入到學(xué)生已有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中。因此學(xué)生可能會(huì)在課堂上模仿運(yùn)用，課后卻不會(huì)獨(dú)運(yùn)用，更談不上靈活了。那么如何根據(jù)學(xué)生原有的知識(shí)與經(jīng)驗(yàn)，設(shè)計(jì)自然的過(guò)程，體現(xiàn)學(xué)生對(duì)等差數(shù)列性質(zhì)的認(rèn)識(shí)過(guò)程呢?在教學(xué)中我們就利用數(shù)軸探究數(shù)列的性質(zhì)進(jìn)行了研究。

一、緣起

在中學(xué)數(shù)學(xué)里，數(shù)軸是常用的工具，它沒(méi)有直角坐標(biāo)系那么豐富多彩，但它本身也是數(shù)形結(jié)合思想方法的體現(xiàn)。因?yàn)樗暮?jiǎn)捷方便，使它成為數(shù)學(xué)解題中最親近的朋友。因?yàn)?，在?shù)軸上等距離地依次取點(diǎn)，與點(diǎn)對(duì)應(yīng)的一列數(shù)便構(gòu)成了等差數(shù)列。

在數(shù)軸上任取一點(diǎn)A1，令對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)為a1，然后向右(或向左)每相隔等距離，依次取點(diǎn) A2，A3…An，并令對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)為 a2，a3，a4，…，an，則得到的一列數(shù)a1，a2，a3，a4，…，an，組成等差數(shù)列，并且為遞增數(shù)列或遞減數(shù)列。若設(shè)公差為d則有a2－a1=d

于是，我決定利用數(shù)軸這位熟悉的朋友，通過(guò)問(wèn)題引導(dǎo)學(xué)生的學(xué)習(xí)活動(dòng)，這學(xué)生鋪設(shè)合理的認(rèn)知臺(tái)階;讓學(xué)生自己去發(fā)現(xiàn)與分析數(shù)軸上這些等距離點(diǎn)的關(guān)系，從形的關(guān)系遷移得到數(shù)的關(guān)系，進(jìn)而認(rèn)識(shí)數(shù)列中項(xiàng)與項(xiàng)的關(guān)系，親身去感受、體驗(yàn)新知識(shí)的形成過(guò)程，從而概括得到等差數(shù)列的性質(zhì)。

二、問(wèn)題與探究

問(wèn)題一:起點(diǎn)與其它所有點(diǎn)構(gòu)成的線段有怎樣的關(guān)系?

起點(diǎn)與其它點(diǎn)構(gòu)成的線段分別是 A1A2、A1A3、A1A4…A1An、A1An+1等。

探究1:起點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)a1與其它點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)之間有怎樣的關(guān)系?

因?yàn)閿?shù)軸上兩點(diǎn)間的距離與坐標(biāo)有如下的關(guān)系︱A1An︱=︱an－a1︱;由學(xué)生分析探討，得到起點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)a1與其它點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)之間也有下列關(guān)系:

從而得到等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，既可以拓寬學(xué)生的視野，讓學(xué)生從形的角度理解通項(xiàng)公式，更可以激發(fā)學(xué)生發(fā)現(xiàn)與得到更多等差數(shù)列的性質(zhì)。

問(wèn)題二:任意兩點(diǎn)間的線段的長(zhǎng)度有什么特點(diǎn)嗎?

任意兩點(diǎn)構(gòu)成的線段可以是︱A2A4︱、︱A3A6︱、︱AmAn︱等，這些線段的長(zhǎng)度分別滿足:

(注:由公差的定義，d的符號(hào)由后面項(xiàng)與前面項(xiàng)的差的符號(hào)決定，因此d的符號(hào)與an－am的符號(hào)一致。)

由此，得到等差數(shù)列任意兩項(xiàng)間的關(guān)系:an－am=(n－m)d

即:等差數(shù)列的任意兩項(xiàng)的差就是這兩項(xiàng)的序號(hào)的d倍。

移項(xiàng)得an=am+(n－m)and(其中m、n∈N*)

這是等差數(shù)列的一個(gè)重要遞推式。由這個(gè)遞推式，對(duì)于一個(gè)等差數(shù)列{an}，只要給定任

意一項(xiàng)an與公差d，不必去求解首項(xiàng)，可直接寫(xiě)出該數(shù)列的通項(xiàng)。借助數(shù)軸，能使學(xué)生直觀理解這一性質(zhì)，加深記憶，真正掌握這個(gè)遞推式，也才能使學(xué)生在解題時(shí)信手拈來(lái)，靈活應(yīng)用。

在學(xué)生思維的最近發(fā)展區(qū)內(nèi)提問(wèn)是讓學(xué)生自主探究的關(guān)鍵。以上關(guān)于數(shù)軸上點(diǎn)的問(wèn)題的設(shè)計(jì)，目的在于讓學(xué)生通過(guò)觀察與思考去發(fā)現(xiàn)一些本來(lái)就存在的規(guī)律，進(jìn)一步觀察，可以發(fā)現(xiàn)更高層次的規(guī)律。

問(wèn)題三:從“等距離”思考，點(diǎn)與點(diǎn)之間有無(wú)其它特殊關(guān)系呢?

因?yàn)槲覀冊(cè)跀?shù)軸上所取的各相鄰點(diǎn)是等距離的，那么從“等距離”考慮，點(diǎn)與點(diǎn)之間有無(wú)其它特殊關(guān)系呢?任取點(diǎn)Ak，則點(diǎn)Ak前后兩點(diǎn)分別為Ak－1與 Ak+1，且點(diǎn) Ak為線段 Ak－1Ak+1的中點(diǎn)，即 Ak－1與 Ak+1關(guān)于 Ak對(duì)稱(chēng);進(jìn)一步可以發(fā)現(xiàn)關(guān)于點(diǎn)Ak對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)有許多對(duì)，它們分別在點(diǎn)Ak的兩側(cè)，且與點(diǎn) Ak等距離。例如:Ak－2與 Ak+2，Ak－3與 Ak+3，…，它們滿足:

在這個(gè)過(guò)程中，學(xué)生發(fā)現(xiàn)，幾乎所有的點(diǎn)都可以作為另外兩點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)中心(除了起點(diǎn)與最末的點(diǎn))幾乎所有的點(diǎn)都能找到關(guān)于該點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)。

這種發(fā)現(xiàn)激發(fā)了學(xué)生的興趣，原來(lái)不斷地探索，一些規(guī)律就在不經(jīng)意間找到了。

探究3:剛才的發(fā)現(xiàn)能否遷移到數(shù)列呢?

鑒 于 前 面 的 經(jīng) 驗(yàn)，由︱Ak－1Ak︱=︱AkAk+1︱得︱A1Ak︱－︱A1Ak－1︱ = ︱A1Ak+1︱ － ︱A1Ak︱，

即 2︱A1Ak︱ = ︱A1Ak－1︱ + ︱A1Ak+1︱，

把上面等式轉(zhuǎn)化成對(duì)應(yīng)的數(shù)的等式，可得

同理可得2ak=ak－2+ak+2;

觀察等式的特征，其中的下標(biāo)滿足關(guān)系

若取k=3，則應(yīng)有2 a3=a2+a4=a1+a5。

顯然，由通項(xiàng)公式容易證明等式成立。

繼續(xù)探討，k=5，是否有2 a5=a1+a9=a2+a8=a3+a7=a4+a6?

探究4:由以上結(jié)論，能否推廣到一般呢?

由探究3，學(xué)生能自如地寫(xiě)出下列結(jié)論:

此時(shí)，很多學(xué)生對(duì)等差數(shù)列中即將出現(xiàn)的又一個(gè)特殊性質(zhì)也是望眼欲穿，雖然有的學(xué)生還不會(huì)正確地表達(dá)出來(lái)，但差不多是呼之即出:

若 m、n、p、q 為整數(shù)，且滿足 m+n=p+q，則對(duì)應(yīng)的以 m、n、p、q 為下標(biāo)的項(xiàng)應(yīng)滿足關(guān)系式an+am=ap+aq。

三、后記

經(jīng)歷了從形到數(shù)，從特殊到一般的轉(zhuǎn)化，學(xué)生對(duì)這個(gè)性質(zhì)的理解是水到渠成，而且，對(duì)這個(gè)性質(zhì)與眾不同的對(duì)稱(chēng)特點(diǎn)印象深刻，于是可以很自然地稱(chēng)之為數(shù)列的對(duì)稱(chēng)性。數(shù)列的對(duì)稱(chēng)性揭示了數(shù)列內(nèi)在的規(guī)律，顯示了數(shù)學(xué)的簡(jiǎn)潔美。

［1］高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)教師讀本.華中師范大學(xué)出版社，2003，10.