論初等函數(shù)的定義

潘玉恒，楊珂玲

（1.武漢工業(yè)學院 工商學院，湖北 武漢 430065；2.湖北經(jīng)濟學院 統(tǒng)計與應用數(shù)學系，湖北 武漢 430205）

引言

初等函數(shù)是初等數(shù)學、高等數(shù)學共同研究的對象，它具有良好的連續(xù)（極限）、可導、可積等局部性質(zhì)，所以判斷一個函數(shù)是不是初等函數(shù)，是解決與這個函數(shù)有關問題的關鍵。在現(xiàn)行的數(shù)學分析或高等數(shù)學的教材中，對初等函數(shù)的定義如下：

定義1：“由基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次的四則運算與復合運算所得到的函數(shù)”。[1]

定義2：“由常數(shù)和基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次的四則運算和有限次的函數(shù)復合步驟所構成并可用一個式子表示的函數(shù)”。[2]

上述定義1、2都是不嚴密的，例如它們在學界所引起的主要歧義點就是分段函數(shù)是否是初等函數(shù)這一問題，無論怎樣，由定義引起這一問題的本身就證明了其定義是不嚴密的；不僅如此，定義1、2實際上還存在著理論上的缺陷，例如像這類直接改變（基本）初等函數(shù)的定義區(qū)間而得到的函數(shù)，是不是初等函數(shù)？初等函數(shù)的定義竟然沒有包含這種情形，也許就是這一缺陷，才導致人們在處理分段函數(shù)的方法上復雜化了。筆者限于手上的資料，發(fā)現(xiàn)前賢們集中討論了分段函數(shù)是否是初等函數(shù)的問題，而不是探討怎樣嚴密初等函數(shù)之定義，所以也就忽略了定義的理論缺陷，因此，筆者認為，在初等函數(shù)的定義上，還有一些問題值得商榷。

1.分段函數(shù)是否是初等函數(shù)的問題

分段函數(shù)是否是初等函數(shù)本來不應該成為一個問題，這是因為，即使是利用不嚴密的定義1和2，都可以直接判斷分段函數(shù)不是 “由基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次的四則運算與復合運算所得到的函數(shù)”，所以不是初等函數(shù)；但由于定義2強調(diào)了“可用一個式子表示”——如果善意地理解樊映川和同濟大學高等數(shù)學編寫組的前賢們的本意，應該就是為了排除分段函數(shù)是初等函數(shù)的可能的，否則，凡是“由基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次的四則運算與復合運算所得到的函數(shù)”都必然是“用一個式子表示”的，即，定義1和2實際上是等價的——實在有畫蛇添足之嫌，這不應是學界使用了近五十年、印刷75次的教材所應該有的紕漏，就是這“紕漏”，不曾想到卻開啟了人們研究分段函數(shù)能否“可用一個式子表示”的問題。

例如分段函數(shù)

可以等價地表示為：

甚至有些學者還研究出了什么樣的分段函數(shù)在什么條件下“可用一個式子表示”并給出了相應的定理。例如，筆者通過維普、萬方數(shù)據(jù)庫等搜索到較早討論這一問題的劉文、劉致祥在《分段（片）函數(shù)的初等性》[4]中就給出了如下定理：

定理 1.設 x1芻x2芻…xn+1

若 fk（x）是區(qū)間[xk，xk+1]（k=1，2…n-1）上的初等函數(shù)，且

則 f（x）是區(qū)間[x1，xn+1]上的初等函數(shù)。 并且（3）可以等價地表示為

在此需要強調(diào)的是，對這個定理的證明（略）也是采用把f（x）“用一個式子表示”的方式。

從以上舉例來看，首先，（1）、（3）式分別和（2）、（4）式相比較，（2）和（4）式不但是“由基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次的四則運算與復合運算所得到的函數(shù)”，而且它們還分別互相等價地表示。 即便如此，（2）和（4）式卻構造了形如式子，這樣的式子直接違背了數(shù)學形式或結(jié)果必須化簡的簡潔性之原則，因此，作為一個數(shù)學學者，即使是犧牲這類分段函數(shù)是初等函數(shù)的可能，也不應鼓勵這類把結(jié)果或形式復雜化的逆數(shù)學原則之構造。

其次，這類構造并不能解決像

這一類分段函數(shù)是不是初等函數(shù)的問題，特別地，在什么是初等函數(shù)的問題上，如果承認分段函數(shù)只要“可用一個式子表示”就是初等函數(shù)，那么，一個令人頭疼的問題是：現(xiàn)在人們還不能把符號函數(shù)“可用一個式子表示”，隨著數(shù)學的深入發(fā)展，將來是不是有可能“用一個（更為復雜的、人們現(xiàn)在還想不到的）式子表示”呢？例如高斯函數(shù)y=[x]，就有學者把它表示為：

如此，把一個簡單明了的取整函數(shù)表示為復雜到必須耐心計算才能看懂的函數(shù)形式——其目的僅僅是為了驗證它是不是初等函數(shù)，這是不是在打開潘朵拉魔盒呢？我想，這是任何數(shù)學達人也不愿意看到的徒勞無功的努力。

再者，若把“分段函數(shù)是否是非初等函數(shù)”的問題看作是分類問題，那么，關鍵是看分類的方法是否簡單可行。如果把形式簡潔的分段函數(shù)用能否構造一個必然是復雜的 “用一個式子表示”的函數(shù)形式來作為判斷的方法，這種把簡單問題復雜化的分類的方法不僅不利于教學，也無利于對分段函數(shù)的研究。

最后，我們判斷分段函數(shù)是否是初等函數(shù)的目的就是為了利用初等函數(shù)所具有的良好性質(zhì)（如連續(xù)、可導、可積等性質(zhì)）。從這一點上來說，數(shù)學教育工作者對分段函數(shù)是否初等函數(shù)的問題的思考，并提出構造性的解決方案，是值得尊重的。但需要商榷的問題是：“分段函數(shù)是否是初等函數(shù)”的問題明顯地是由初等函數(shù)的定義不嚴密、甚至是理論缺陷所造成的，為什么不是采取修訂定義的方式、而是繼續(xù)在不嚴密的定義的基礎上來探究其所遺留的的問題呢？例如，歷史上的函數(shù)極限的定義，還有數(shù)學（概念）公理化運動，都是由不嚴密逐漸走向嚴密定義來解決其中的問題的。因此，筆者不敢茍同這種亡羊不補牢、反而去追羊的非數(shù)學的解決問題的方式。

總之，筆者反對把（部分的）分段函數(shù)是否能夠“用一個式子表示”來證明它是初等函數(shù)的解決問題的方式，而是堅持主張“凡是分段函數(shù)都是非初等函數(shù)”這一簡明扼要的結(jié)論。可是，怎么嚴密初等函數(shù)的定義來杜絕這一問題呢？其實，針對這一問題只需要把定義2里的“可用一個式子表示”修正為“用一個最簡化的式子表示”，就杜絕了任何企圖把已經(jīng)是最簡化了的分段函數(shù)的不同分支的函數(shù)形式再簡化為 “用一個最簡化的式子表示”的可能。例如形如式子的最簡式子只能是或只能分段表示，這樣就杜絕了構造（2）、（4）的任何努力，當然也排除了（6）的合法性。我認為，這才是樊映川和同濟大學高等數(shù)學教材編寫組等前賢們?yōu)槭裁匆黾印坝靡粋€式子表示”的真實意圖的表達。

現(xiàn)在遺留的問題是，若肯定“凡是分段函數(shù)都是非初等函數(shù)”，那么，由于整個數(shù)學分析或高等數(shù)學都是以初等函數(shù)為基礎對象展開研究的，我們就無法利用初等函數(shù)的良好性質(zhì)、甚至是方法來研究分段函數(shù)了。為了解決這個問題，就要先解決初等函數(shù)的定義所存在的理論缺陷。

2.初等函數(shù)定義的理論缺陷

我們知道，在研究函數(shù)的過程中，會經(jīng)常碰到像y=sinx，x∈[-1，1]、y=，0燮x燮1等這類函數(shù)。它們既不是經(jīng)過有限次四則運算、也不是經(jīng)過有限次復合運算所得到的，若直接根據(jù)初等函數(shù)的定義來判斷，那么，這類函數(shù)就不能被稱做是初等函數(shù)；另外，即使把y=sinx，x∈[-1，1]和其被改變的母函數(shù)y=sinx，x∈（-∞，+∞）相比較，它們雖然具有同一個解析式，但由于定義域不同，所以，它們不是同一個函數(shù)，因此，我們不能因為y=sinx，x∈（-∞，+∞） 是 （基本） 初等函數(shù)就認為y=sinx，x∈[-1，1]也是初等函數(shù)，數(shù)學也不允許這種類比推理。

可是，這類函數(shù)是初等函數(shù)畢竟是公理性常識，例如，在定理 1 中就有“若 fk（x）是區(qū)間[xk，xk+1]（k=1，2…n-1）上的初等函數(shù)”；還有高等數(shù)學教材中，求分段函數(shù)的某一分支函數(shù)的極限、導數(shù)、積分時，我們也都是按照初等函數(shù)來處理的。因此，這類函數(shù)是否是初等函數(shù)若不能從初等函數(shù)的定義中直接或間接地推導出來，那么，必須、也只有直接定義它們是初等函數(shù)，即，給數(shù)學概念下定義的目的就是確立人們在數(shù)學上所認識的公理性常識；換句話說，初等函數(shù)并不僅是“由基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次的四則運算與復合運算”這一途徑得到，還可以通過改變（基本）初等函數(shù)的定義域而得到。因此，若在給初等函數(shù)下定義時漏掉了這一途徑所得到的函數(shù)，那么，只能說明初等函數(shù)的定義存在著理論上的缺陷。

綜上所述，初等函數(shù)的定義應當修訂如下：

定義3：“由基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次的四則運算和有限次的函數(shù)復合步驟構造并用一個最簡化的式子表示、或改變其定義域所得到的函數(shù)，叫做初等函數(shù)?！?/p>

關于定義3需要說明如下兩點：第一，定義2表述為“由常數(shù)和基本初等函數(shù)……”是不準確的，這是因為，在函數(shù)的解析式中所含常數(shù)，對于任意一個x，都與這個常數(shù)相對應，所以，常數(shù)在函數(shù)解析式中是以函數(shù)面目出現(xiàn)的，即為常數(shù)函數(shù)，因此，不能把常數(shù)（函數(shù)）排除在基本初等函數(shù)之外。相比較而言，定義1把常數(shù)（函數(shù)）作為基本初等函數(shù)的一種，是比較恰當?shù)模傊?，定義3中的基本初等函數(shù)是指常數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)、反三角函數(shù)等六種函數(shù)；第二，定義3確定了只改變初等函數(shù)的定義域所得到的函數(shù)仍為初等函數(shù)，這個定義對于大多數(shù)分段函數(shù)來說，即使整體上不是初等函數(shù)，但只要其分支是初等函數(shù)，像函數(shù)的連續(xù)、可導、可積等這些本來就是函數(shù)的局部性質(zhì)和運算在其分支上依然可以成立和進行。這實際上意味著，分段函數(shù)即使不是初等函數(shù)，若它的分支函數(shù)是初等函數(shù)，那么就不會影響對它的研究；另外，在深層次上，把分段函數(shù)的問題化整為零來處理，正是微積分思想和方法的精髓。從這一點上來說，把分段函數(shù)歸類于非初等函數(shù)，不僅便利于教學，也易于培養(yǎng)學生數(shù)學地分析問題、解決問題的思想和方法。

[1]華東師范大學數(shù)學系.數(shù)學分析（第三版）[M].北京：高等教育出版社，2001.

[2]同濟大學應用數(shù)學系.高等數(shù)學（第五版）[M].北京：高等教育出版社，2005.

[3]匡繼昌.什么是初等函數(shù)[J].數(shù)學通報，2007，（7）：27.

[4]劉文，劉致祥.分段（片）函數(shù)的初等性[J].河北工學院學報，1989，（1）：19.

[5]付有祥，伏文文.基本初等函數(shù)表示高斯函數(shù)的思維過程分析[J].佳木斯教育學院學報，2010，（6）：62.