論初等函數(shù)的定義

潘玉恒，楊珂玲

（1.武漢工業(yè)學(xué)院 工商學(xué)院，湖北 武漢 430065；2.湖北經(jīng)濟(jì)學(xué)院 統(tǒng)計(jì)與應(yīng)用數(shù)學(xué)系，湖北 武漢 430205）

引言

初等函數(shù)是初等數(shù)學(xué)、高等數(shù)學(xué)共同研究的對(duì)象，它具有良好的連續(xù)（極限）、可導(dǎo)、可積等局部性質(zhì)，所以判斷一個(gè)函數(shù)是不是初等函數(shù)，是解決與這個(gè)函數(shù)有關(guān)問(wèn)題的關(guān)鍵。在現(xiàn)行的數(shù)學(xué)分析或高等數(shù)學(xué)的教材中，對(duì)初等函數(shù)的定義如下：

定義1：“由基本初等函數(shù)經(jīng)過(guò)有限次的四則運(yùn)算與復(fù)合運(yùn)算所得到的函數(shù)”。[1]

定義2：“由常數(shù)和基本初等函數(shù)經(jīng)過(guò)有限次的四則運(yùn)算和有限次的函數(shù)復(fù)合步驟所構(gòu)成并可用一個(gè)式子表示的函數(shù)”。[2]

上述定義1、2都是不嚴(yán)密的，例如它們?cè)趯W(xué)界所引起的主要歧義點(diǎn)就是分段函數(shù)是否是初等函數(shù)這一問(wèn)題，無(wú)論怎樣，由定義引起這一問(wèn)題的本身就證明了其定義是不嚴(yán)密的；不僅如此，定義1、2實(shí)際上還存在著理論上的缺陷，例如像這類(lèi)直接改變（基本）初等函數(shù)的定義區(qū)間而得到的函數(shù)，是不是初等函數(shù)？初等函數(shù)的定義竟然沒(méi)有包含這種情形，也許就是這一缺陷，才導(dǎo)致人們?cè)谔幚矸侄魏瘮?shù)的方法上復(fù)雜化了。筆者限于手上的資料，發(fā)現(xiàn)前賢們集中討論了分段函數(shù)是否是初等函數(shù)的問(wèn)題，而不是探討怎樣嚴(yán)密初等函數(shù)之定義，所以也就忽略了定義的理論缺陷，因此，筆者認(rèn)為，在初等函數(shù)的定義上，還有一些問(wèn)題值得商榷。

1.分段函數(shù)是否是初等函數(shù)的問(wèn)題

分段函數(shù)是否是初等函數(shù)本來(lái)不應(yīng)該成為一個(gè)問(wèn)題，這是因?yàn)?，即使是利用不?yán)密的定義1和2，都可以直接判斷分段函數(shù)不是 “由基本初等函數(shù)經(jīng)過(guò)有限次的四則運(yùn)算與復(fù)合運(yùn)算所得到的函數(shù)”，所以不是初等函數(shù)；但由于定義2強(qiáng)調(diào)了“可用一個(gè)式子表示”——如果善意地理解樊映川和同濟(jì)大學(xué)高等數(shù)學(xué)編寫(xiě)組的前賢們的本意，應(yīng)該就是為了排除分段函數(shù)是初等函數(shù)的可能的，否則，凡是“由基本初等函數(shù)經(jīng)過(guò)有限次的四則運(yùn)算與復(fù)合運(yùn)算所得到的函數(shù)”都必然是“用一個(gè)式子表示”的，即，定義1和2實(shí)際上是等價(jià)的——實(shí)在有畫(huà)蛇添足之嫌，這不應(yīng)是學(xué)界使用了近五十年、印刷75次的教材所應(yīng)該有的紕漏，就是這“紕漏”，不曾想到卻開(kāi)啟了人們研究分段函數(shù)能否“可用一個(gè)式子表示”的問(wèn)題。

例如分段函數(shù)

可以等價(jià)地表示為：

甚至有些學(xué)者還研究出了什么樣的分段函數(shù)在什么條件下“可用一個(gè)式子表示”并給出了相應(yīng)的定理。例如，筆者通過(guò)維普、萬(wàn)方數(shù)據(jù)庫(kù)等搜索到較早討論這一問(wèn)題的劉文、劉致祥在《分段（片）函數(shù)的初等性》[4]中就給出了如下定理：

定理 1.設(shè) x1芻x2芻…xn+1

若 fk（x）是區(qū)間[xk，xk+1]（k=1，2…n-1）上的初等函數(shù)，且

則 f（x）是區(qū)間[x1，xn+1]上的初等函數(shù)。 并且（3）可以等價(jià)地表示為

在此需要強(qiáng)調(diào)的是，對(duì)這個(gè)定理的證明（略）也是采用把f（x）“用一個(gè)式子表示”的方式。

從以上舉例來(lái)看，首先，（1）、（3）式分別和（2）、（4）式相比較，（2）和（4）式不但是“由基本初等函數(shù)經(jīng)過(guò)有限次的四則運(yùn)算與復(fù)合運(yùn)算所得到的函數(shù)”，而且它們還分別互相等價(jià)地表示。 即便如此，（2）和（4）式卻構(gòu)造了形如式子，這樣的式子直接違背了數(shù)學(xué)形式或結(jié)果必須化簡(jiǎn)的簡(jiǎn)潔性之原則，因此，作為一個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)者，即使是犧牲這類(lèi)分段函數(shù)是初等函數(shù)的可能，也不應(yīng)鼓勵(lì)這類(lèi)把結(jié)果或形式復(fù)雜化的逆數(shù)學(xué)原則之構(gòu)造。

其次，這類(lèi)構(gòu)造并不能解決像

這一類(lèi)分段函數(shù)是不是初等函數(shù)的問(wèn)題，特別地，在什么是初等函數(shù)的問(wèn)題上，如果承認(rèn)分段函數(shù)只要“可用一個(gè)式子表示”就是初等函數(shù)，那么，一個(gè)令人頭疼的問(wèn)題是：現(xiàn)在人們還不能把符號(hào)函數(shù)“可用一個(gè)式子表示”，隨著數(shù)學(xué)的深入發(fā)展，將來(lái)是不是有可能“用一個(gè)（更為復(fù)雜的、人們現(xiàn)在還想不到的）式子表示”呢？例如高斯函數(shù)y=[x]，就有學(xué)者把它表示為：

如此，把一個(gè)簡(jiǎn)單明了的取整函數(shù)表示為復(fù)雜到必須耐心計(jì)算才能看懂的函數(shù)形式——其目的僅僅是為了驗(yàn)證它是不是初等函數(shù)，這是不是在打開(kāi)潘朵拉魔盒呢？我想，這是任何數(shù)學(xué)達(dá)人也不愿意看到的徒勞無(wú)功的努力。

再者，若把“分段函數(shù)是否是非初等函數(shù)”的問(wèn)題看作是分類(lèi)問(wèn)題，那么，關(guān)鍵是看分類(lèi)的方法是否簡(jiǎn)單可行。如果把形式簡(jiǎn)潔的分段函數(shù)用能否構(gòu)造一個(gè)必然是復(fù)雜的 “用一個(gè)式子表示”的函數(shù)形式來(lái)作為判斷的方法，這種把簡(jiǎn)單問(wèn)題復(fù)雜化的分類(lèi)的方法不僅不利于教學(xué)，也無(wú)利于對(duì)分段函數(shù)的研究。

最后，我們判斷分段函數(shù)是否是初等函數(shù)的目的就是為了利用初等函數(shù)所具有的良好性質(zhì)（如連續(xù)、可導(dǎo)、可積等性質(zhì)）。從這一點(diǎn)上來(lái)說(shuō)，數(shù)學(xué)教育工作者對(duì)分段函數(shù)是否初等函數(shù)的問(wèn)題的思考，并提出構(gòu)造性的解決方案，是值得尊重的。但需要商榷的問(wèn)題是：“分段函數(shù)是否是初等函數(shù)”的問(wèn)題明顯地是由初等函數(shù)的定義不嚴(yán)密、甚至是理論缺陷所造成的，為什么不是采取修訂定義的方式、而是繼續(xù)在不嚴(yán)密的定義的基礎(chǔ)上來(lái)探究其所遺留的的問(wèn)題呢？例如，歷史上的函數(shù)極限的定義，還有數(shù)學(xué)（概念）公理化運(yùn)動(dòng)，都是由不嚴(yán)密逐漸走向嚴(yán)密定義來(lái)解決其中的問(wèn)題的。因此，筆者不敢茍同這種亡羊不補(bǔ)牢、反而去追羊的非數(shù)學(xué)的解決問(wèn)題的方式。

總之，筆者反對(duì)把（部分的）分段函數(shù)是否能夠“用一個(gè)式子表示”來(lái)證明它是初等函數(shù)的解決問(wèn)題的方式，而是堅(jiān)持主張“凡是分段函數(shù)都是非初等函數(shù)”這一簡(jiǎn)明扼要的結(jié)論。可是，怎么嚴(yán)密初等函數(shù)的定義來(lái)杜絕這一問(wèn)題呢？其實(shí)，針對(duì)這一問(wèn)題只需要把定義2里的“可用一個(gè)式子表示”修正為“用一個(gè)最簡(jiǎn)化的式子表示”，就杜絕了任何企圖把已經(jīng)是最簡(jiǎn)化了的分段函數(shù)的不同分支的函數(shù)形式再簡(jiǎn)化為 “用一個(gè)最簡(jiǎn)化的式子表示”的可能。例如形如式子的最簡(jiǎn)式子只能是或只能分段表示，這樣就杜絕了構(gòu)造（2）、（4）的任何努力，當(dāng)然也排除了（6）的合法性。我認(rèn)為，這才是樊映川和同濟(jì)大學(xué)高等數(shù)學(xué)教材編寫(xiě)組等前賢們?yōu)槭裁匆黾印坝靡粋€(gè)式子表示”的真實(shí)意圖的表達(dá)。

現(xiàn)在遺留的問(wèn)題是，若肯定“凡是分段函數(shù)都是非初等函數(shù)”，那么，由于整個(gè)數(shù)學(xué)分析或高等數(shù)學(xué)都是以初等函數(shù)為基礎(chǔ)對(duì)象展開(kāi)研究的，我們就無(wú)法利用初等函數(shù)的良好性質(zhì)、甚至是方法來(lái)研究分段函數(shù)了。為了解決這個(gè)問(wèn)題，就要先解決初等函數(shù)的定義所存在的理論缺陷。

2.初等函數(shù)定義的理論缺陷

我們知道，在研究函數(shù)的過(guò)程中，會(huì)經(jīng)常碰到像y=sinx，x∈[-1，1]、y=，0燮x燮1等這類(lèi)函數(shù)。它們既不是經(jīng)過(guò)有限次四則運(yùn)算、也不是經(jīng)過(guò)有限次復(fù)合運(yùn)算所得到的，若直接根據(jù)初等函數(shù)的定義來(lái)判斷，那么，這類(lèi)函數(shù)就不能被稱(chēng)做是初等函數(shù)；另外，即使把y=sinx，x∈[-1，1]和其被改變的母函數(shù)y=sinx，x∈（-∞，+∞）相比較，它們雖然具有同一個(gè)解析式，但由于定義域不同，所以，它們不是同一個(gè)函數(shù)，因此，我們不能因?yàn)閥=sinx，x∈（-∞，+∞） 是 （基本） 初等函數(shù)就認(rèn)為y=sinx，x∈[-1，1]也是初等函數(shù)，數(shù)學(xué)也不允許這種類(lèi)比推理。

可是，這類(lèi)函數(shù)是初等函數(shù)畢竟是公理性常識(shí)，例如，在定理 1 中就有“若 fk（x）是區(qū)間[xk，xk+1]（k=1，2…n-1）上的初等函數(shù)”；還有高等數(shù)學(xué)教材中，求分段函數(shù)的某一分支函數(shù)的極限、導(dǎo)數(shù)、積分時(shí)，我們也都是按照初等函數(shù)來(lái)處理的。因此，這類(lèi)函數(shù)是否是初等函數(shù)若不能從初等函數(shù)的定義中直接或間接地推導(dǎo)出來(lái)，那么，必須、也只有直接定義它們是初等函數(shù)，即，給數(shù)學(xué)概念下定義的目的就是確立人們?cè)跀?shù)學(xué)上所認(rèn)識(shí)的公理性常識(shí)；換句話(huà)說(shuō)，初等函數(shù)并不僅是“由基本初等函數(shù)經(jīng)過(guò)有限次的四則運(yùn)算與復(fù)合運(yùn)算”這一途徑得到，還可以通過(guò)改變（基本）初等函數(shù)的定義域而得到。因此，若在給初等函數(shù)下定義時(shí)漏掉了這一途徑所得到的函數(shù)，那么，只能說(shuō)明初等函數(shù)的定義存在著理論上的缺陷。

綜上所述，初等函數(shù)的定義應(yīng)當(dāng)修訂如下：

定義3：“由基本初等函數(shù)經(jīng)過(guò)有限次的四則運(yùn)算和有限次的函數(shù)復(fù)合步驟構(gòu)造并用一個(gè)最簡(jiǎn)化的式子表示、或改變其定義域所得到的函數(shù)，叫做初等函數(shù)。”

關(guān)于定義3需要說(shuō)明如下兩點(diǎn)：第一，定義2表述為“由常數(shù)和基本初等函數(shù)……”是不準(zhǔn)確的，這是因?yàn)?，在函?shù)的解析式中所含常數(shù)，對(duì)于任意一個(gè)x，都與這個(gè)常數(shù)相對(duì)應(yīng)，所以，常數(shù)在函數(shù)解析式中是以函數(shù)面目出現(xiàn)的，即為常數(shù)函數(shù)，因此，不能把常數(shù)（函數(shù)）排除在基本初等函數(shù)之外。相比較而言，定義1把常數(shù)（函數(shù)）作為基本初等函數(shù)的一種，是比較恰當(dāng)?shù)?，總之，定義3中的基本初等函數(shù)是指常數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)、反三角函數(shù)等六種函數(shù)；第二，定義3確定了只改變初等函數(shù)的定義域所得到的函數(shù)仍為初等函數(shù)，這個(gè)定義對(duì)于大多數(shù)分段函數(shù)來(lái)說(shuō)，即使整體上不是初等函數(shù)，但只要其分支是初等函數(shù)，像函數(shù)的連續(xù)、可導(dǎo)、可積等這些本來(lái)就是函數(shù)的局部性質(zhì)和運(yùn)算在其分支上依然可以成立和進(jìn)行。這實(shí)際上意味著，分段函數(shù)即使不是初等函數(shù)，若它的分支函數(shù)是初等函數(shù)，那么就不會(huì)影響對(duì)它的研究；另外，在深層次上，把分段函數(shù)的問(wèn)題化整為零來(lái)處理，正是微積分思想和方法的精髓。從這一點(diǎn)上來(lái)說(shuō)，把分段函數(shù)歸類(lèi)于非初等函數(shù)，不僅便利于教學(xué)，也易于培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)地分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的思想和方法。

[1]華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析（第三版）[M].北京：高等教育出版社，2001.

[2]同濟(jì)大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)（第五版）[M].北京：高等教育出版社，2005.

[3]匡繼昌.什么是初等函數(shù)[J].數(shù)學(xué)通報(bào)，2007，（7）：27.

[4]劉文，劉致祥.分段（片）函數(shù)的初等性[J].河北工學(xué)院學(xué)報(bào)，1989，（1）：19.

[5]付有祥，伏文文.基本初等函數(shù)表示高斯函數(shù)的思維過(guò)程分析[J].佳木斯教育學(xué)院學(xué)報(bào)，2010，（6）：62.