MATLAB模擬動力系統(tǒng)吸引子

馮澤夫，段秀慶，楊 航，艾文會

（華中師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，湖北 武漢 430079）

1 引言

MATLAB是由美國mathworks公司發(fā)布的主要面對科學(xué)計算、可視化以及交互式程序設(shè)計的高科技計算環(huán)境.它將數(shù)值分析、矩陣計算、科學(xué)數(shù)據(jù)可視化以及非線性動態(tài)系統(tǒng)的建模和仿真等諸多強大功能集成在一個易于使用的視窗環(huán)境中，為科學(xué)研究、工程設(shè)計以及必須進行有效數(shù)值計算的眾多科學(xué)領(lǐng)域提供了一種全面的解決方案，并在很大程度上擺脫了傳統(tǒng)非交互式程序設(shè)計語言（如C、Fortran）的編輯模式，代表了當(dāng)今國際科學(xué)計算軟件的先進水平.利用MATLAB仿真模擬可以解決生產(chǎn)生活中很多問題，以前的蒙特卡洛方法結(jié)合計算機仿真模擬技術(shù)后不僅可以避免實驗帶來的損失可以得到非常理想的實驗結(jié)果，如燈泡的壽命的測定，戰(zhàn)爭的模擬……，如果真正去實驗會帶來不少的損失，而用MATLAB仿真模擬，只需要我們輸入約束條件和初始值，可以做多次試驗得到較為理想的結(jié)果.本文正是這方面應(yīng)用的體現(xiàn)，對吸引子設(shè)計數(shù)學(xué)模型，利用MATLAB求解洛倫茲方程數(shù)值解并繪制吸引子形成的動畫，可以讓讀者真正理解吸引子形成的過程，并且在求解過程中我們發(fā)現(xiàn)初值不同得到的結(jié)果可能有很大變化，從而發(fā)現(xiàn)動力系統(tǒng)吸引子的混沌現(xiàn)象.

2 動力系統(tǒng)吸引子的概念及數(shù)值模擬的重要意義

動力系統(tǒng)在高維相空間中所描述出來的相對低維的穩(wěn)定軌道被稱為吸引子.簡言之，吸引子是指這樣的一個集合，當(dāng)時間趨于無窮大時，在任何一個有界集上出發(fā)的非定常流的所有軌道都趨于它.相空間中滿足以下3個條件的點的集合(可能包含1個點、有限個點或無限個點)，被稱為動力學(xué)系統(tǒng)的吸引子.

2.1 終極性

處于非目的態(tài)的系統(tǒng)“不安于現(xiàn)狀”，力求離之遠去，處于目的態(tài)的系統(tǒng)則“安于現(xiàn)狀”，自身不再愿意或無力改變這種狀態(tài)（也可以叫做惰性）.

2.2 穩(wěn)定性

目的態(tài)是系統(tǒng)自身質(zhì)的規(guī)定性的體現(xiàn)，這種規(guī)定性只有在穩(wěn)定狀態(tài)中才能確立起來并得到保持，不穩(wěn)定狀態(tài)不可能成為目的態(tài)；

2.3 吸引性

吸引性是目的性的根本要素，沒有吸引力的狀態(tài)不能成為系統(tǒng)演化所追求的目標(biāo).

吸引子是刻畫系統(tǒng)整體特性的概念，具有不可分割性，即不能把它劃分為兩個都滿足定義要求的 較小集合.也不能把幾個吸引子組合為一個吸引子，如平衡態(tài)A與周期態(tài)B不能合成一個單一的吸引子.吸引子分為平庸吸引子和奇異吸引子，對于平庸吸引子來說，無論初值如何，終值只有一個，而奇異吸引子卻有無數(shù)個終值，即奇異吸引子是無數(shù)個點的集合，對初值極端敏感.通過對時間序列的相空間重構(gòu)，構(gòu)造的奇異吸引子可在一定程度上反映出系統(tǒng)的演化規(guī)律，而通過分析相空間重構(gòu)吸引子的結(jié)構(gòu)，就可以進一步評價動力學(xué)系統(tǒng)的混沌特性及其變化.

而奇異吸引子可以用matlab模擬仿真它的產(chǎn)生，現(xiàn)在該方法廣泛應(yīng)用于流體力學(xué)，氣象學(xué)災(zāi)害預(yù)報預(yù)報，地震預(yù)測及信號處理等領(lǐng)域.特別的，在計算機上用洛倫茲所建立的微分方程模擬氣候變化，可以發(fā)現(xiàn)初始條件的極細微差別可以引起模擬結(jié)果的巨大變化—軌線的行為無法預(yù)測，這表明天氣過程以及描述它們的非線性方程是如此的不穩(wěn)定，這正如眾所周知的天氣的“蝴蝶效應(yīng)”即：南美洲亞馬遜河流域熱帶雨林的一只蝴蝶偶然拍動一下翅膀，幾星期后可以在美國德克薩斯州引起一場龍卷風(fēng).從而氣象學(xué)家應(yīng)用此法進行天氣預(yù)報的研究.

3 模擬方案

3.1 模擬的基本思路

3.1.1 模型準(zhǔn)備：了解問題的實際背景，明確建模目的，搜集必要的信息如現(xiàn)象、數(shù)據(jù)等，盡量弄清對象的主要特征，形成一個比較清晰的“問題”，由此初步確定用哪一類模型.

3.1.2 模型假設(shè) 根據(jù)對象的特征和建模的目的，抓住問題的本質(zhì)，忽略次要因素作出必要的、合理的簡化假設(shè).

3.1.3 模型構(gòu)成 根據(jù)所作的假設(shè)，用數(shù)學(xué)的語言、符號描述對象的內(nèi)在規(guī)律，建立包含常量、變量等的數(shù)學(xué)模型，如優(yōu)化模型、微分方程模型、差分方程模型、圖的模型等.

3.1.4 模型求解 可以采用解方程、畫圖形、優(yōu)化方法、數(shù)值計算、統(tǒng)計分析、模型對數(shù)據(jù)的靈敏性分析、對假設(shè)的強健性分析.

3.2 模擬洛倫茲吸引子

lorenz方程描述了從水桶底部加熱時，桶內(nèi)液體運動的情況.加熱時，底部的液體溫度上升并產(chǎn)生對流現(xiàn)象，當(dāng)提供足夠的熱量并保持不變時對流就產(chǎn)生不規(guī)則的運動和湍流，形成混沌系統(tǒng).

3.2.1 建立模型：下面的洛倫茲微分方程組的求解過程演示了吸引子的形成過程.

其中x正比于液體對流運動翻動的速率，y正比于液體上流與下流的溫差的變化，z正比于豎直方向的溫度梯度，式中三個參數(shù)σ（Prandtl數(shù)）、β和ρ（Rayleigh數(shù)）可任取大于0的數(shù)值，其中ρ是該動力系統(tǒng)中重要的參數(shù).當(dāng)系數(shù)σ、ρ、β在一定范圍內(nèi)取值時，三個變量x,y,z在相空間構(gòu)造的吸引子呈現(xiàn)出相似的結(jié)構(gòu)特征.一般常用的組合是σ=10，β=，讓ρ取不同的數(shù)值，分析吸引子圖像.

3.2.2 方程的離散化:可以采用歐拉法或4階龍格-庫塔法迭代法對微分方程組求數(shù)值解.

3.2.3 洛倫茲方程求解

本文說明用Matlab工具箱求解洛倫茲方程的過程，并給出吸引子的三維動態(tài)圖象.洛倫茲方程如下：

這是一個自洽的方程組，用matlab2010求解結(jié)果如下：如圖1.

3.2.4 動態(tài)顯示吸引子并生成動畫程序略，驗證蝴蝶效應(yīng)得到結(jié)果如圖2.

4 討論及結(jié)論

4.1 在ρ取不同的值時我們發(fā)現(xiàn)如下規(guī)律：ρ較小時如0.9，該lorenz動力系統(tǒng)是穩(wěn)定的，吸引子最終演化到兩個奇點中的一個，而隨著ρ的值增大，系統(tǒng)變得越來越復(fù)雜，軌線的變化越來越難以預(yù)測，特別的當(dāng)ρ取28時出現(xiàn)了混沌現(xiàn)象.

圖1

圖2

4.2 洛倫茲動力系統(tǒng)本身有確定的動力學(xué)方程（式（1）、（2）和（3）），該動力學(xué)方程的初值、參數(shù)值的選取直接關(guān)系到該方程是否出現(xiàn)混沌狀態(tài).

4.3 吸引子之外的所有軌線最終將歸宿到吸引子范圍之內(nèi)，體現(xiàn)出耗散系統(tǒng)的終態(tài)最終都將收縮到吸引子上，平庸吸引子的終值只有一個，而奇異吸引子本身由既折疊又分離的軌線構(gòu)成，并且無法確定其未來的軌線的發(fā)展趨勢，這表明混沌系統(tǒng)是一種整體收斂而局部發(fā)散的動力學(xué)系統(tǒng).

4.4 利用MATLAB語言進行計算機數(shù)值仿真模擬，求解微分方程數(shù)值解，操作簡單，圖形逼真.通過仿真實驗，讀者對混沌系統(tǒng)的特性和細節(jié)會有直觀深刻的理解.計算機matlab對于混沌的研究正發(fā)揮著無可替代的作用.

〔1〕姜啟源，謝金星，等.數(shù)學(xué)模型（第四版）[M].北京：高等教育出版社，2010.

〔2〕陸安山.混沌系統(tǒng)的仿真實現(xiàn)[J].欽州師范高等?？茖W(xué)校學(xué)報，2006（6）.

〔3〕陳永勝.基于MATLAB求解Rossler方程和模擬仿真[J].牡丹江師范學(xué)院學(xué)報，2009（1）.