基于支持向量機的關(guān)鍵因素擬合指數(shù)化投資方法

倪麗云,沈傳河,王向榮

0 引言

積極指數(shù)化投資（Active Indexing Portfolio）作為全新的投資模式，其主要表現(xiàn)形式之一為“積極”的指數(shù)組合管理（陳春峰、陳偉忠，2004）[1]，包括如何復(fù)制指數(shù)這個最主要環(huán)節(jié)，并要求確定精選成分股和選擇有利于平衡組合、產(chǎn)生超額回報的賦權(quán)方式。這種投資方法的實質(zhì)是通過采取科學的選股和賦權(quán)方式，在控制跟蹤誤差的基礎(chǔ)上實現(xiàn)預(yù)期的超額收益。

本文將在積極指數(shù)化投資模式框架下，建立基于支持向量機的雙目標指數(shù)跟蹤模型，實現(xiàn)在控制跟蹤誤差的基礎(chǔ)上，尋求預(yù)期的超額收益，實現(xiàn)投資收益最大化。具體思路是：首先借鑒Francesco Corielli與Massimiliano Marcellino（2002）提出的基于因素的指數(shù)跟蹤方法以及張鵬、瞿寶忠（2004）使用的關(guān)鍵因素擬合方法，對擬構(gòu)建投資組合進行前期的成分股票選擇[2-3]。然后，在滿足投資約束條件下，利用支持向量機完成成分股票的權(quán)重優(yōu)化，求出投資組合的資金分配系數(shù)。最后，根據(jù)選定的度量指標，在測試數(shù)據(jù)環(huán)境下分析投資組合的效果。

1 目標指數(shù)的關(guān)鍵因素擬合方法

指數(shù)跟蹤要求構(gòu)建一個證券投資組合，使得它的變化行為盡可能地接近給定的目標指數(shù)。一般情況下，這個投資組合中的證券數(shù)目應(yīng)該比目標指數(shù)少，并且在跟蹤誤差中也不應(yīng)該含有較低頻率（即較差持續(xù)性）的成分，這意味著正常誤差應(yīng)該源自于投資組合中主要的或是關(guān)鍵性的影響因素，進而才能保證這個復(fù)制的投資組合很好地適應(yīng)或捕捉目標指數(shù)未來的變化，包括收益率和波動性。

正因如此，F(xiàn)rancesco Corielli和Massimiliano Marcellino（2002）和張鵬、瞿寶忠（2004）先后提出基于因素或關(guān)鍵因素擬合的指數(shù)化投資策略，以力圖解決這個問題[2－3]。這種方法需要兩步來完成，即構(gòu)建與目標指數(shù)具有同樣可持續(xù)性（也即高頻率）因素組成的復(fù)制組合，然后再盡可能地使跟蹤誤差減少到最小。

首先，找出影響目標指數(shù)走勢的關(guān)鍵性因素。

設(shè)設(shè)It、Pit分別為目標指數(shù)和第i只股票在時刻t的價格，Rt、rit分別為它們在第 t個周期內(nèi)的相對收益率，則有:

相應(yīng)地，投資組合在第t個周期內(nèi)的相對收益率R't則為：，其中n為投資組合待定成分股票的數(shù)量，wit為第i只股票在時刻t的權(quán)重。

根據(jù)目標指數(shù)成份股個股的日收益率為基礎(chǔ)進行因子分析，提取出反映目標指數(shù)走勢的m個共同因子，這m個共同因子即代表了影響目標指數(shù)走勢的m個關(guān)鍵因素。在此基礎(chǔ)上，構(gòu)造以下的多因素模型:

式中Fmt為第m個共同因子Fm在時刻t的值，Am為這個共同因子對目標指數(shù)的貢獻率，ξ為殘差。

在找出這m個關(guān)鍵因素之后，需進一步找出這m種關(guān)鍵性的共同因子所代表的樣本股。它們對應(yīng)的關(guān)系如下:

其中stock為共同因子所代表的樣本股；a、b、…、m為樣本股對共同因子的貢獻率，即因子負荷。

觀察共同因子的因子負荷強弱，據(jù)此可以分析判斷出各個共同因子所反映的關(guān)鍵因素，并對它們進行相應(yīng)的解釋。

其次，需驗證挖掘出的這m個關(guān)鍵因素是否真的能夠反映目標指數(shù)的走勢。現(xiàn)在，可用它們中最具代表性的一組樣本股構(gòu)造出一個投資組合，與目標指數(shù)進行比較，驗證是否投資組合與目標指數(shù)等價。

為此，找出這m個關(guān)鍵因素最有代表性的n個樣本股，按照其方差對總方差解釋的貢獻率所占比重作為權(quán)重構(gòu)造投資組合如下：

計算出投資組合的日收益率和目標指數(shù)的日收益率，在通過相關(guān)性檢驗之后，將它們進行線性回歸分析。構(gòu)造以下回歸模型：

式中b為常數(shù)項，a為回歸系數(shù)，ξ為殘差。

如果該模型經(jīng)檢驗成立，并且b趨近于0，同時a趨近于1，那么R't≈Rt，即投資組合與目標指數(shù)等價，說明找出的這m個關(guān)鍵性因素能夠真實地反映目標指數(shù)的走勢，投資組合可以代替目標指數(shù)進行指數(shù)化投資。

以上方法可以通過主成分分析法(Principal Components Analysis)來實現(xiàn)。但這種方法會不可避免地損失一些有價值的信息，而且各因素對應(yīng)的樣本股選擇及其權(quán)重確定在一定程度上存在主觀性，勢必增大投資組合的跟蹤誤差，影響指數(shù)化投資的效果。為克服這種情況，下面將采用支持向量機對（3）式擬選定的成分股進行權(quán)重優(yōu)化，而不僅僅根據(jù)它們的因子負荷（即方差貢獻）來確定。

2 基于支持向量機的關(guān)鍵因素擬合方法的實現(xiàn)途徑

2.1 支持向量機算法

支持向量機SVM(Support Vector Machines)是Vapnik等人建立的一種新的機器學習方法[4]。它是在以解決有限樣本機器學習問題為目標的統(tǒng)計學習理論(Statistic Learning Theory，SLT)基礎(chǔ)上發(fā)展起來的。SVM建立在SLT的VC維理論和結(jié)構(gòu)風險最小化（SRM）原理的基礎(chǔ)上，根據(jù)有限的樣本信息在模型的復(fù)雜性(即對特定訓(xùn)練樣本的學習精度)和學習能力(即無錯誤地識別任意樣本的能力)之間尋找最佳折衷，以期獲得最好的推廣能力。它通過使用結(jié)構(gòu)風險最小化（SRM）代替?zhèn)鹘y(tǒng)的經(jīng)驗風險最小化（ERM），使用滿足Mercer條件的核函數(shù)，把輸入空間的數(shù)據(jù)變換到一高維的Hilbert空間，訓(xùn)練的復(fù)雜度與輸入空間的維數(shù)無關(guān)，只與訓(xùn)練的樣本數(shù)目有關(guān)。因此，SVM能夠有效地避免經(jīng)典學習方法中出現(xiàn)的過學習、欠學習、“維數(shù)災(zāi)難”以及陷入局部極小點等諸多問題，因而在解決小樣本、非線性及高維模式識別問題中表現(xiàn)出很多獨特的優(yōu)勢。在這里，將分析普通的、采用ε-不敏感函數(shù)的支持向量回歸機ε-SVR。

給定訓(xùn)練集{ }xi,yi，i=1,2,…,l，其中輸入數(shù)據(jù)x是一個歐式空間Rn，y∈R，是實數(shù)R的封閉子集。借助特定的非線性映射φ(x)，輸入x被映射到高維空間(或稱特征空間)。函數(shù)逼近問題，就是在像空間上通過機器學習能夠選擇一個特定的函數(shù)：

根據(jù)推廣理論，要解出決策函數(shù) f(x)，可考慮經(jīng)過適當定義的核函數(shù) K(?,?)：

引入ε-不敏感損失函數(shù)，即：

式中：

其對偶問題為：

解上式，得到：

因此：

任何滿足Mercer條件的對稱函數(shù)都可以成為核函數(shù)，并可建立不同的學習模型[5]。目前最常使用的核函數(shù)為多項式核函數(shù)：

徑向基核函數(shù)(RBF)

Sigmoid核函數(shù)：

其中u＞0,v＜0，并且，任何核函數(shù)的非負線性組合仍然是一個Mercer核。一旦核函數(shù)確定后，參數(shù)γ和σ2（sig2）就可以進一步優(yōu)化出來。

現(xiàn)在，利用測試集來檢驗這個模型。模型的預(yù)測精度用標準均方差（the normalized mean squared error，NMSE)和平均絕對差（the mean absolute error，MAE)等統(tǒng)計標準來測度，其定義如下：

其中，σ2是數(shù)據(jù)的標準方差。

2.2 支持向量機框架下的關(guān)鍵因素擬合模型

利用支持向量機構(gòu)建投資組合的主要任務(wù)是對（3）式中的權(quán)重Wit進行優(yōu)化。考慮到Wit與時間有關(guān)，直接求解將非常困難，可采取固定比例策略，即Wit變?yōu)閃i。這意味著在任何周期內(nèi)，投資組合成分股票各自權(quán)重將保持不變，并存在一定優(yōu)勢(張鵬、瞿寶忠，2004）[2-3]。

在ωi給定為固定比例的前提下，參考（3）式，則第t個周期內(nèi)的投資組合與目標指數(shù)收益之間的跟蹤誤差et滿足:

所以，確定投資組合的權(quán)重wi可以看成是在訓(xùn)練集{ }xi,yi上對（8）式進行多元線性回歸。在這里，xt=Rˉt=(r1t,r2t,…,rnt)'，yt=Rt。

這時，需考慮（5）式中約束條件的變化。在投資組合構(gòu)建中，應(yīng)考慮資本預(yù)算約束、成分股票投資比例限制、整數(shù)約束、交易成本及管理費用約束等。設(shè)投資組合成分股票i最小比例為ηi、最大比例為δi。相應(yīng)地，（4）式應(yīng)變?yōu)?

解（9）式，即可得到形如（6）式的回歸函數(shù)，其中的系數(shù)即為欲求的權(quán)重。

3 實證分析

以“上證50”指數(shù)（000016）為例，數(shù)據(jù)取自清華金融研究數(shù)據(jù)庫（THFD）。時間為2008、2009兩年內(nèi)的市場交易數(shù)據(jù)，具體為2008年7月1日至2009年12月31日，扣除休盤時間，計得370個指數(shù)的日收盤價格。同時，得到該指數(shù)50個成分股票在上述時間期限內(nèi)的各自370個日收盤價格。然后根據(jù)（1）式可計算得到指數(shù)及其成分股票各自對應(yīng)的369個日收益率。

將上述370個日收益率數(shù)據(jù)分成兩部分，即2008年7月1日至2009年9月30日和2009年10月9日至2009年12月31日，分別對應(yīng)309個和60個數(shù)據(jù)用于訓(xùn)練和測試。

3.1 利用關(guān)鍵因數(shù)擬合技術(shù)構(gòu)建投資組合

利用Eviews 5.0軟件進行主成分分析。首先，對各樣本股日收益率數(shù)據(jù)采用KMO統(tǒng)計量和Bartlett’s球形檢驗，以判斷樣本數(shù)據(jù)是否符合因子分析的前提條件。其次，采用正交旋轉(zhuǎn)，具體旋轉(zhuǎn)方法為方差最大化正交旋轉(zhuǎn)(Varimax)。根據(jù)提取的主成分共同因子的累積貢獻率達到約85%以上為標準，一共提取19個共同因子、20個共同因子代表樣本股，其結(jié)果顯示在表1中。

3.2 利用支持向量機進行訓(xùn)練和測試

在（9）式中，考慮到我國基金管理辦法規(guī)定，取δi≤10%；盡管融資融券業(yè)務(wù)正在展開，但由于涉及到的股票品種少，“上證50”指數(shù)成分股票并沒有全部惠及，所以在這里還是規(guī)定wi＞0，強調(diào)不允許賣空交易；進而存在ηi＞0，即不允許剔除出投資組合，主要因為作為投資組合的成分股票，已經(jīng)過關(guān)鍵因素擬合方法選擇，它們本身已代表了目標指數(shù)收益和波動中的不同影響因數(shù)。

通過MATALAB 7.0軟件運行，先根據(jù)（9）式對常規(guī)支持向量回歸機ε-SVR的程序進行調(diào)整，以充分反映投資組合的約束條件。然后，采用徑向基核函數(shù)(RBF)，參數(shù)ε、c和σ2(sig2)分別置為。求得的權(quán)重系數(shù)詳見表1：

表1 投資組合成分股列表

3.3 效果分析

利用Sharp指數(shù)和信息比率（Information Ratio，IR）兩個指標來衡量投資組合的效果，考察其積極化程度。同時，又與完全復(fù)制方法相比較，進一步分析基于支持向量機的關(guān)鍵因數(shù)擬合指數(shù)化投資方法的特性。

在Grinold和Kahn(2005)關(guān)于積極組合管理的討論中，信息比率被視為積極組合管理的關(guān)鍵，它用跟蹤誤差來衡量投資組合的風險水平，考察了投資組合在特定的跟蹤誤差下實現(xiàn)超額收益的能力。通常，信息比率大于0.5被認為是較好的水平；而純粹指數(shù)投資的信息比率為0[6]。而Sharp指數(shù)則同時考慮了包括系統(tǒng)風險和非系統(tǒng)風險在內(nèi)的總風險，側(cè)重于投資組合在分散和降低非系統(tǒng)風險的能力，反映了投資組合的內(nèi)在質(zhì)量。具體結(jié)果見表2，其中的跟蹤誤差依據(jù)（8）式計算得出。

表2 模型的效果測試

可以看出，本文建立的基于支持向量機的投資組合權(quán)重確定方法達到了較好的效果，對目標指數(shù)的跟蹤誤差無論是NMSE值還是MAE值，都比較小，并優(yōu)于完全復(fù)制方法。而且，Sharp指數(shù)和信息比率IR也都高于完全復(fù)制方法，也因此取得了0.38%的平均超額收益。

4 實證分析

本文利用基于結(jié)構(gòu)風險最小化原則的支持向量機進行指數(shù)化投資組合的構(gòu)建，提高了投資組合的樣本外跟蹤效果，有效解決了現(xiàn)有指數(shù)化投資組合方法由于使用經(jīng)驗最小化原則而帶來的不足，克服了過度依賴樣本進行跟蹤誤差分析的局限。而且基于關(guān)鍵因素擬合方法的投資組合成分股票的前期選擇，能夠有效捕捉目標指數(shù)波動中的高頻因數(shù)，增強了投資組合把握目標指數(shù)動態(tài)特性的能力。因此，上述兩種方法的集成無疑克服了各自的缺點，而由此形成的優(yōu)化復(fù)制目標指數(shù)的途徑將不啻是一種有效的嘗試。正如實證分析所示，這種方法在模型魯棒性和指數(shù)跟蹤誤差方面都具有良好的表現(xiàn)。進一步的研究方向應(yīng)集中在雙目標函數(shù)上，即在控制跟蹤誤差基礎(chǔ)上，實現(xiàn)超額收益最大化。并且，改進投資組合成分股票的前期選擇方法，相應(yīng)調(diào)整常規(guī)支持向量機程序，優(yōu)化算法設(shè)計，提高數(shù)據(jù)挖掘性能。

[1]陳春峰,陳偉忠.積極指數(shù)化:一種全新的投資模式[J].證券市場導(dǎo)報，2004，（11）.

[2]Francesco Corielli,Massimiliano Marcellino.Factor Based Index Tracking[J].Centrefor Economic Policy Research,2002，（3）.

[3]張鵬,瞿寶忠.關(guān)鍵因素擬合指數(shù)化投資方法的實證研究[J].證券市場導(dǎo)報，2004，（11）.

[4]Vapnik V N.The Nature of Statistical Learning Theory[M].New York:Springer-Verlag,1995.

[5]Wahba G.Support Vector Machines,Reproducing Kernel Hilbert Spaces,and Randomized GACV.Advances in Kernel Methods-Sup?port Vector Learning[M].Cambridge:The MITPress,1999.

[6]Richard C.Grinold,Ronald N.Kahn.Active Portfolio Management:A Quantitative Approach for Providing Superior Returns and Controlling Risk[M].New York：McGraw-Hill,2000.