閾值協(xié)整參數(shù)的修正估計(jì)法小樣本性質(zhì)的比較

劉漢中,李陳華

0 引言

協(xié)整方法已經(jīng)成為宏觀經(jīng)濟(jì)和金融經(jīng)濟(jì)分析的主流，而協(xié)整參數(shù)向量的估計(jì)與檢驗(yàn)就成為了協(xié)整方法論發(fā)展中的重中之重。雖然Engle和Granger(1987)[1]的經(jīng)典論文已經(jīng)證明：當(dāng)樣本容量趨于無窮大時(shí)，協(xié)整向量的OLS估計(jì)量具有超一致性，即OLS估計(jì)量以T-1階收斂于真實(shí)的未知參數(shù)。同時(shí)，眾所周知，在平穩(wěn)序列的回歸中，如果解釋變量與隨機(jī)干擾項(xiàng)不相關(guān)，即解釋變量滿足嚴(yán)格外生性(Strict Exogeneity)時(shí)，OLS估計(jì)量是一致估計(jì)量；如果解釋變量不滿足嚴(yán)格外生性，則OLS估計(jì)不是一致估計(jì)量；而在非平穩(wěn)序列的協(xié)整回歸中，即使解釋變量與隨機(jī)干擾項(xiàng)相關(guān)，則協(xié)整參數(shù)的OLS估計(jì)仍然滿足一致性(Stock,1987[2]；Phillips和Hansen,1990[3])。這說明只要樣本容量足夠大，不論解釋變量與隨機(jī)干擾項(xiàng)是否相關(guān)，OLS估計(jì)量是協(xié)整參數(shù)的一致估計(jì)量，這為利用OLS估計(jì)協(xié)整參數(shù)提供了堅(jiān)實(shí)的理論基礎(chǔ)。但是由于在實(shí)際經(jīng)濟(jì)分析中，樣本容量的限制，OLS估計(jì)方法存在小樣本偏差性已經(jīng)得到了理論計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)家的高度重視。

我們通過對(duì)各種閾值協(xié)整設(shè)定下的三種估計(jì)法(FM-OLS、CCR和DOLS)小樣本性質(zhì)的模擬并與OLS估計(jì)進(jìn)行比較，揭示各種方法在閾值協(xié)整參數(shù)估計(jì)中的優(yōu)缺點(diǎn)。這樣一方面可以避免利用傳統(tǒng)的t、F或Wald檢驗(yàn)對(duì)參數(shù)約束性檢驗(yàn)的誤導(dǎo)；另一方面又可以揭示各種修正估計(jì)方法在閾值協(xié)整參數(shù)估計(jì)中的性質(zhì)。目的在于通過在小樣本下各種估計(jì)方法的偏差和標(biāo)準(zhǔn)差的比較研究，找出最合適的閾值協(xié)整參數(shù)估計(jì)方法。

1 閾值協(xié)整(Threshold Cointegration)概述

Engle和Granger(1987)認(rèn)為協(xié)整是指如果經(jīng)濟(jì)變量Xt=(X1t,X2t,…,XKt)'和Yt之間存在長期協(xié)整關(guān)系，且正則化協(xié)整向量是(1，-β')，則Xt、Yt之間的長期均衡關(guān)系可以表示為：

其中 Xt、Yt都是I(1)過程，μt是I(0)過程，且可以表示為一個(gè)平穩(wěn)的自回歸過程。而當(dāng)Balke和Fomby(1997)把閾值協(xié)整引入宏觀經(jīng)濟(jì)分析時(shí)，他們認(rèn)為如果(1)式中的協(xié)整誤差項(xiàng)μt的數(shù)據(jù)生成過程(DGP)是以下閾值自回歸模型(Threshold Autoregression,TAR)：

或者

其中，參數(shù)β是變量之間的協(xié)整系數(shù)向量，γ是閾值變量，μt-1是轉(zhuǎn)換變量。這時(shí)的協(xié)整被稱之為閾值協(xié)整。如果協(xié)整誤差項(xiàng)是形如式(2)的數(shù)據(jù)生成機(jī)制，則稱為兩機(jī)制(Two-Regime)的閾值協(xié)整；如果是形如式(3)的誤差生成機(jī)制，則稱為三機(jī)制(Three-Regime)的閾值協(xié)整。根據(jù)Granger表述定理，閾值協(xié)整轉(zhuǎn)化為誤差修正模型，閾值ECM模型具有非線性調(diào)整機(jī)制，非線性調(diào)節(jié)對(duì)于檢驗(yàn)經(jīng)濟(jì)學(xué)和金融學(xué)理論具有重要的意義(劉漢中，2007)[4]。

如果上面的式(1)表示閾值協(xié)整時(shí)，隨機(jī)干擾項(xiàng)必須服從形如式(2)和(3)所示的TAR模型，且同時(shí)也要滿足平穩(wěn)性。對(duì)于TAR模型的平穩(wěn)性，Chan和Petruccelli等(1985)[5]提出了式(2)滿足平穩(wěn)遍歷的充分條件，即ρ×q＜1,ρ,q＜1；Bec、Salem和Carrasco(2004)[6]提出了式(3)的平穩(wěn)遍歷性條件，即θ×λ＜1,θ,λ＜1，且不論中間機(jī)制數(shù)據(jù)過程是否為單位根過程。

2 閾值協(xié)整參數(shù)的各種估計(jì)方法

2.1 完全修正的最小二乘估計(jì)(FM-OLS)

FM-OLS估計(jì)是基于協(xié)整系統(tǒng)的三角形表述而建立，這種協(xié)整表述的優(yōu)點(diǎn)在于：揭示非平穩(wěn)變量之間的協(xié)整關(guān)系。假設(shè)n維向量Y，都是服從一階單位根過程，即I(1)，且Yt=(Y1t,Y'2t)'，其中Y1t是一維標(biāo)量(Scalar)，Y2t是(n-1)×1階向量，同時(shí)也假設(shè)這些變量之間存在一個(gè)閾值協(xié)整關(guān)系，規(guī)范化的協(xié)整系數(shù)設(shè)定為(1,-γ')'，因此閾值協(xié)整系統(tǒng)表述如下：

其中，隨機(jī)干擾項(xiàng)μ1t是形如式(2)或(3)所示的TAR模型，說明式(4)所表示的協(xié)整系統(tǒng)是閾值協(xié)整，系統(tǒng)的隨機(jī)干擾項(xiàng)向量的長期方差-協(xié)方差矩陣可以表示為：

在（5）式中如果矩陣Σ21不為0，說明協(xié)整方程的隨機(jī)干擾項(xiàng)與解釋變量是相關(guān)的，即Y2t不滿足嚴(yán)格外生性，則閾值協(xié)整系數(shù)的OLS估計(jì)不再具有正態(tài)的漸近分布，這也是FM-OLS估計(jì)法提出的主要原因之一。

由于樣本容量長度的限制，長期方差-協(xié)方差矩陣的滯后不可能太長，因此要估計(jì)式(5)所示的矩陣且要得到一致估計(jì)量，必須借助其他方法來進(jìn)行。目前較常用的估計(jì)方法是采用根據(jù)Newey-West(1987)[7]所提出的一致估計(jì)方法，其中滯后參數(shù)q的選擇是根據(jù)Newey-West(1994)[8]提出的自動(dòng)選擇原則，即q=4(的整數(shù)部分，該法的優(yōu)點(diǎn)在于對(duì)不同的協(xié)方差矩陣采用不同的權(quán)數(shù)，越近的協(xié)方差占的權(quán)數(shù)也越大，目的在于提高長期方差-協(xié)方差估計(jì)的收斂速度，同時(shí)該估計(jì)量是長期方差-協(xié)方差矩陣的一致估計(jì)量。式(5)的一致估計(jì)量為：

其中：

所以，式(7)的FM-OLS估計(jì)量的最終表達(dá)式可表示為：

綜上所述，對(duì)閾值協(xié)整的FM-OLS估計(jì)不僅修正了由隨機(jī)干擾項(xiàng)的自相關(guān)而導(dǎo)致的偏差，而且也可以解決協(xié)整回歸解釋變量的內(nèi)生性問題。在閾值協(xié)整中，F(xiàn)M-OLS估計(jì)法尤為重要，因?yàn)楦鶕?jù)閾值協(xié)整的定義，協(xié)整方程中的隨機(jī)干擾項(xiàng)服從TAR模型，隨機(jī)干擾項(xiàng)本身存在自相關(guān)是不容置疑的；另外在單方程閾值協(xié)整建模中，經(jīng)常性的問題是靜態(tài)回歸解釋變量的內(nèi)生性問題，利用FM-OLS估計(jì)可以修正內(nèi)生性所帶來的影響，此時(shí)傳統(tǒng)的Wald統(tǒng)計(jì)量仍然具有標(biāo)準(zhǔn)的χ2分布(劉漢中，2010[10])。

2.2 正則協(xié)整回歸(CCR)估計(jì)法

根據(jù)(4)所示的三角形表述，式(6)所表示的長期方差-協(xié)方差矩陣可以寫成：

其中，μ?t=(μ?1t,μ?'2t)'是協(xié)整方程的OLS殘差與差分變量構(gòu)成的列向量，是式(4)閾值協(xié)整參數(shù)γ的OLS估計(jì)量，在上述變換的基礎(chǔ)上進(jìn)行以下回歸：

對(duì)(13)進(jìn)行OLS估計(jì)就是閾值協(xié)整參數(shù)的CCR估計(jì)量。Park(1992)已經(jīng)證明式(13)中參數(shù)的OLS估計(jì)量是漸近有效估計(jì)量(Asymptotically Efficient Estimators)，且基于該估計(jì)量構(gòu)造的Wald統(tǒng)計(jì)量具有漸近的χ2分布，構(gòu)造的t統(tǒng)計(jì)量具有漸近的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，因此CCR估計(jì)量與FM-OLS估計(jì)量一樣，同樣能修正OLS估計(jì)量的小樣本偏差，也同樣具有漸近有效性，并且CCR估計(jì)量比FM-OLS估計(jì)量計(jì)算簡單，更便于操作。

2.3 動(dòng)態(tài)OLS估計(jì)(DOLS)

與非參數(shù)的FM-OLS和CCR方法不同，DOLS是基于協(xié)整回歸式，加入解釋變量的一階差分項(xiàng)的超前(Leads)與滯后(Lags)作為回歸方程的解釋變量，然后再針對(duì)新的回歸模型進(jìn)行OLS估計(jì)，以此求得閾值協(xié)整參數(shù)的估計(jì)量。用公式表示如下：

通過對(duì)上式進(jìn)行OLS回歸，求得參數(shù)α、γ的OLS估計(jì)量就是閾值協(xié)整參數(shù)的DOLS估計(jì)量，并且由DOLS估計(jì)量構(gòu)造的t統(tǒng)計(jì)量和Wald統(tǒng)計(jì)量具有漸近的標(biāo)準(zhǔn)分布，即分別趨于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布與標(biāo)準(zhǔn)的χ2分布，這樣可以利用標(biāo)準(zhǔn)分布對(duì)閾值協(xié)整回歸參數(shù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)推斷。對(duì)于階數(shù)K的確定：運(yùn)用赤池信息準(zhǔn)則(AIC)、許瓦茲信息準(zhǔn)則(SC)或利用一般到特殊的建模步驟來確定最佳階數(shù)(Ng和Perron，1995)[11]，并且Saikkonen(1991)認(rèn)為階數(shù)K只要隨著樣本容量T的增加而增加的速度慢于T13，則(14)的DOLS估計(jì)量仍然是超一致估計(jì)量，且由此構(gòu)造的t和Wald統(tǒng)計(jì)量仍具有標(biāo)準(zhǔn)的漸近分布。

DOLS估計(jì)的基本思想是當(dāng)(6)中的隨機(jī)誤差項(xiàng)μ1t不僅具有自相關(guān)而且也與解釋變量Y2t相關(guān)時(shí)，雖然OLS估計(jì)量仍然是超一致估計(jì)量，但是在小樣本中OLS估計(jì)量具有偏差且基于OLS估計(jì)量構(gòu)造的t和Wald統(tǒng)計(jì)量不再具有漸近的標(biāo)準(zhǔn)分布(漸近分布依賴于μt=(μ1t,μ'2t)'的方差-協(xié)方差矩陣)，此時(shí)在協(xié)整回歸式中加入解釋變量一階差分的超前和滯后項(xiàng)，可以保證(14)中隨機(jī)誤差項(xiàng)與解釋變量(Y2t和ΔY2t)不相關(guān)，即(14)中的解釋變量滿足嚴(yán)格外生性(Strict Exogeneity)，由此得到的DOLS估計(jì)量不僅是漸近有效估計(jì)量，而且相應(yīng)的t和Wald統(tǒng)計(jì)量具有漸近的標(biāo)準(zhǔn)分布(Saikkonen,1991)。

上述三種估計(jì)方法具有同樣的極限分布(Kurozumi和 Hayakawa，2009)，并且Saikkonen(1991)已經(jīng)證明三種估計(jì)量都是漸近有效估計(jì)量，但在有限樣本中，三種估計(jì)法呈現(xiàn)出不同的小樣本性質(zhì)。目前的研究表明，在不同的數(shù)據(jù)生成機(jī)制下三種方法都有不同的優(yōu)缺點(diǎn)(Montalvo,1995[23]、Cappuccio 和 Lubian,2001[13]、Christou 和 Pittis,2002[14]等)，所以不能籠統(tǒng)地認(rèn)為哪個(gè)方法比其他方法有更加優(yōu)良的小樣本性質(zhì)。而在閾值協(xié)整中，迄今為止還沒有對(duì)三種估計(jì)的小樣本性質(zhì)進(jìn)行過系統(tǒng)研究。鑒于此，本文將運(yùn)用模擬技術(shù)，揭示三種估計(jì)法在各種閾值協(xié)整中的小樣本性質(zhì)。

3 Monte-Carlo模擬設(shè)計(jì)與研究

3.1 MC模擬設(shè)計(jì)及部分結(jié)果

為了研究各種估計(jì)法的小樣本性質(zhì)，利用三角形表述設(shè)定以下的閾值協(xié)整系統(tǒng)，不失一般性，Y1和Y2是I(1)單位根過程，且都是一維的：

其中，μ1t服從TAR(1)模型，說明Y1和Y2之間存在閾值協(xié)整。如果是兩機(jī)制的閾值協(xié)整，則μ1t可以設(shè)定為式(2)；如果是三機(jī)制的閾值協(xié)整，則為式(3)。隨機(jī)干擾項(xiàng)εt設(shè)定為：

模擬中 σ21分別取0、0.4和0.8，當(dāng) σ21=0 時(shí)說明(15)中的解釋變量是嚴(yán)格外生的。樣本容量分別為150和50，真實(shí)的協(xié)整參數(shù)設(shè)定為α=1,β=2，Newey-West(1987)一致估計(jì)量的滯后階確定是根據(jù)Newey-West(1994)的自動(dòng)選擇原則，各估計(jì)量都模擬10000次，分別計(jì)算估計(jì)量的偏差和標(biāo)準(zhǔn)差。在DOLS的模擬中，利用AIC準(zhǔn)則來確定階數(shù)K，K的最大值是不超過12(T/100)14的最大正整數(shù)(Kurozumi和Hayakawa，2009)。

在兩機(jī)制的閾值協(xié)整中，ρ1=0.4和ρ2=0.55,0.75,0.85,0.95,0.99，閾值γ=0.2，這樣設(shè)定參數(shù)的目的在于：即使樣本容量較小，所生成的數(shù)據(jù)過程仍包含有閾值效應(yīng)。見表1。

表1 兩機(jī)制閾值協(xié)整參數(shù)估計(jì)的小樣本性質(zhì)

在三機(jī)制的閾值協(xié)整模擬中，自回歸參數(shù)設(shè)定與兩機(jī)制同，只是閾值設(shè)定為0.3，這樣便于各種估計(jì)方法在兩種閾值協(xié)整中的小樣本性質(zhì)比較研究，因?yàn)樽曰貧w系數(shù)相同的三機(jī)制模型比兩機(jī)制模型具有更多的持久性，即數(shù)據(jù)過程均值回復(fù)的速度要慢。見表2。

表2 三機(jī)制閾值協(xié)整參數(shù)估計(jì)的小樣本性質(zhì)

從模擬結(jié)果可以得出結(jié)論：①所有估計(jì)量的偏差和標(biāo)準(zhǔn)差會(huì)隨著ρ2和σ21的增加而增加，同時(shí)在三機(jī)制的閾值協(xié)整中，所有估計(jì)量的偏差與標(biāo)準(zhǔn)差要比兩機(jī)制的閾值協(xié)整大，這充分說明數(shù)據(jù)過程的持久性(即數(shù)據(jù)過程回復(fù)均值的速度)是影響各個(gè)估計(jì)方法的小樣本性質(zhì)的主要原因；另外隨機(jī)誤差項(xiàng)與解釋變量之間的相關(guān)程度和樣本容量T也是影響小樣本性質(zhì)的主要原因，即相關(guān)程度越強(qiáng)則偏差與標(biāo)準(zhǔn)差也越大，樣本容量越大則偏差與標(biāo)準(zhǔn)差越??；②在所有情形中，F(xiàn)M-OLS和CCR估計(jì)都能或多或少地消除OLS的偏差，但只有在持久性和誤差項(xiàng)與解釋變量的相關(guān)性都較強(qiáng)時(shí)，F(xiàn)M-OLS和CCR估計(jì)比OLS估計(jì)更加有效，而DOLS法并沒有修正OLS估計(jì)的偏差與標(biāo)準(zhǔn)差；③FM-OLS和CCR估計(jì)量的偏差與標(biāo)準(zhǔn)差，需進(jìn)一步研究才能揭示它們之間的優(yōu)劣。

3.2 小樣本性質(zhì)的進(jìn)一步研究

以估計(jì)量的平均值與真實(shí)值之差來表示偏差還不能全面揭示估計(jì)量的偏差性，必須通過更深層次的研究方能全面、準(zhǔn)確反映估計(jì)量的偏差，同時(shí)光通過估計(jì)量的標(biāo)準(zhǔn)差也不能全面揭示估計(jì)量的小樣本性質(zhì)。鑒于此，我們將采用一種新的方法，即設(shè)計(jì)多個(gè)以真實(shí)值為中心的區(qū)間，計(jì)算各種估計(jì)量落在區(qū)間內(nèi)的概率，通過該概率就可以更加全面地反映其小樣本性質(zhì)。具體的設(shè)計(jì)為：首先設(shè)定一個(gè)以真實(shí)值為上界的區(qū)間，如(c-a,c)，其中c是真實(shí)值，a表示固定間隔的一列參數(shù)，這樣就能揭示估計(jì)量抽樣分布是否是左偏的；同樣可以設(shè)計(jì)以真實(shí)值為下界的相同長度的區(qū)間，能揭示估計(jì)量抽樣分布是否是右偏；然后再合并區(qū)間和相應(yīng)的概率，就可以揭示抽樣分布的離散程度(即有效性)。

從前面的模擬結(jié)果可非常明顯地得出，在其他條件不變的情況下，各估計(jì)量的偏差和標(biāo)準(zhǔn)差會(huì)分別隨著ρ2和σ21值的增加而增加，且不論是兩機(jī)制還是三機(jī)制的閾值協(xié)整。因此，這部分的模擬設(shè)計(jì)中，閾值協(xié)整被設(shè)定為兩機(jī)制閾值協(xié)整，設(shè)定參數(shù)ρ2=0.99和σ21=0.8，樣本容量設(shè)定為100，這是宏觀經(jīng)濟(jì)分析中通常所遇到的樣本長度。其他參數(shù)設(shè)定同上，模擬次數(shù)為20000次，參數(shù)a的設(shè)定為±0.1,±0.2,±0.3,±0.4,±0.5,±0.6,±0.7,±0.8,±0.9,±1，落在區(qū)間中概率通過落在區(qū)間內(nèi)的樣本點(diǎn)占全體樣本的比例來估計(jì)得到。見表3。

表3 落在給定區(qū)間內(nèi)的概率模擬研究

從結(jié)果來看：①四種估計(jì)法都呈現(xiàn)出較嚴(yán)重的右偏，說明四種估計(jì)法都會(huì)高估協(xié)整參數(shù)，尤其OLS和CCR估計(jì)更容易高估參數(shù)；②FM-OLS估計(jì)落在給定區(qū)間內(nèi)的概率是四種方法中最高的，說明FM-OLS估計(jì)量比其他估計(jì)量更加有效，CCR估計(jì)量的有效性次之；③DOLS與OLS法的有效性比較，10種情形中各占5中，即在前5種中DOLS占優(yōu)勢(shì)，而在后5種中OLS估計(jì)占優(yōu)勢(shì)。為了進(jìn)一步能看出各方法的小樣本性質(zhì)，用核密度估計(jì)圖和累積分布圖進(jìn)行研究，從圖可以得到結(jié)論：①四種估計(jì)量都能高估未知參數(shù)，尤其OLS和CCR估計(jì)量高估未知參數(shù)的可能性最大；②三種方法的有效性由強(qiáng)到弱的順序是FM-OLS、CCR和OLS，并且四種估計(jì)方法都會(huì)高估未知的閾值協(xié)整參數(shù)；③當(dāng)累積概率小于約0.7時(shí)，DOLS比OLS估計(jì)有優(yōu)勢(shì)；而當(dāng)累積概率大于0.7時(shí)，OLS估計(jì)比DOLS估計(jì)更有優(yōu)勢(shì)；因此不能得出DOLS比OLS估計(jì)量更加有效的結(jié)論。為了比較各種估計(jì)法高估未知參數(shù)的概率，針對(duì)不同的a值得到以下概率趨勢(shì)圖：

從上圖知，OLS和CCR方法高估未知參數(shù)的可能性要大于FM-OLS和DOLS法，且隨著a值的增大OLS高估概率增長要快于CCR法，而FM-OLS和DOLS的概率增加速度很接近，二者增長速度沒有明顯的區(qū)別，說明二者高估未知參數(shù)的可能性很接近。

4 結(jié)論

閾值協(xié)整在宏觀經(jīng)濟(jì)分析中具有越來越廣泛的應(yīng)用，就目前的文獻(xiàn)來看，一般是通過OLS法來估計(jì)閾值協(xié)整參數(shù)，因?yàn)镺LS估計(jì)量具有超一致性。但是在實(shí)際的經(jīng)濟(jì)學(xué)分析中，由于樣本容量的限制，使得OLS估計(jì)量具有偏差，且也不是有效估計(jì)量，因此對(duì)閾值協(xié)整參數(shù)估計(jì)方法的修正具有十分重要的理論和現(xiàn)實(shí)意義。本文針對(duì)三種修正的協(xié)整參數(shù)估計(jì)方法（FM-OLS、CCR和DOLS），運(yùn)用模擬技術(shù)，揭示了三種方法在參數(shù)估計(jì)中的小樣本性質(zhì)，研究結(jié)果表明：①數(shù)據(jù)過程的持久性、解釋變量與隨機(jī)誤差項(xiàng)的相關(guān)性和樣本容量是影響估計(jì)量小樣本性質(zhì)的主要因素，即隨著持久性和解釋變量與隨機(jī)誤差項(xiàng)的相關(guān)性的增強(qiáng)，則四估計(jì)量的偏差和標(biāo)準(zhǔn)差就越大，而隨著樣本容量的增加則偏差和標(biāo)準(zhǔn)差就減少；②四種估計(jì)方法都會(huì)高估未知參數(shù)，尤其OLS和CCR估計(jì)量高估的可能性最大，而FM-OLS和DOLS高估未知參數(shù)的概率很接近；③在同一數(shù)據(jù)過程下，有效性由強(qiáng)到弱的順序是FM-OLS→CCR→OLS，小樣本偏差由小到大的順序也是FM-OLS→CCR→OLS，而在模擬中，不能得出DOLS比OLS估計(jì)量更加有效的結(jié)論。對(duì)于CCR方法，從右偏概率來看要明顯比FM-OLS和DOLS要大，但比DOLS法更加有效。而對(duì)于DOLS估計(jì)量，雖然計(jì)算很簡單，但是由于沒有更加合適的確定滯后與超前階的方法，使得DOLS估計(jì)量的偏差與標(biāo)準(zhǔn)差沒有明顯優(yōu)勢(shì)，因此在現(xiàn)實(shí)的經(jīng)濟(jì)分析中，文章的模擬結(jié)果顯示DOLS估計(jì)法并不是一個(gè)好的估計(jì)法。綜上所述，在閾值協(xié)整的經(jīng)濟(jì)學(xué)分析中，對(duì)于協(xié)整參數(shù)的估計(jì)，綜合考慮右偏性和有效性。我們認(rèn)為FM-OLS具有最小的右偏概率且是最有效的估計(jì)量。

[1]Engle R.F,Granger C.W.J.Cointegration and Error Correction:Repre?sentation,Estimation and Testing[J].Econometrica,1987,(2).

[2]Stock,J.Asymptotic Properties of Least-Squares Estimators of Cointe?grating Vectors[J].Econometrica,1987,(5).

[3]Phillips,Hansen.Statistical Inference in Instrumental Variables Re?gression with I(1)Processes[J].Reviewsof Economic Studies,1990,(1).

[4]劉漢中.Ender-Granger方法在協(xié)整檢驗(yàn)中的應(yīng)用研究[J].數(shù)量經(jīng)濟(jì)技術(shù)經(jīng)濟(jì)研究,2007,(8).

[5]Chan,K.S，Petruccelli，J.D.,H.Tong.A Multiple Threshold Model AR(1)Model[J].Journal of Applied Probability,1985,(2).

[6]Frederique Bec,Melika Ben Salem,Marine Carrasco.Tests for Unit-root Versus Threshold Specification with an Application to the Purchasing Power Parity Relationship[J].Journal of Business&Eco?nomic Statistics,2004,22(4).

[7]Whitney K.Newey,Kenneth D.West.A Simple,Positive Semi-defi?nite,Heteroskedasticity and Autocorrelation Consistent Covariance Matrix[J].Econometrica,1987,(3).

[8]Newey Whitney,Kenneth West.Automatic Lag Selection in Covari?ance Matrix Estimation[J].Review of Economic Studies,1994,(4).

[9]Phillips,P.C.B,Durlauf.Multiple Time Series with Integrated Variable[J].Review of Economic Studies,1986,(3).

[10]劉漢中.閾值協(xié)整參數(shù)的完全修正的最小二乘估計(jì)的小樣本性質(zhì)研究[J].預(yù)測(cè),2010,(6).

[11]Ng,Perron.Unit Root Tests in ARMA Models with Data-dependent Methods for the Selection of the Truncation Lag[J].Journal of the American Statistical Society,1995,(90).

[12]Montalvo,J.G.Comparing Cointegrating Regression Estimators:Some Additional Monte-Carlo Results[J].Economics Letters,1995,(3).

[13]Cappuccio,N,D.Lubian.Estimation and Inference on Long-Run Equilibria:A Simulation Study[J].Econometric Reviews,2001,(1).

[14]Christou,C.,N.Pittis.Kernel and Bandwidth Selection,Prewhitening,and the Performance of the Fully Modified Least Squares Estimation Method[J].Econometric Theory,2002,(4).