提高零控脫靶量預測精度的一種方法

姬曉琴，崔鑫水

（宇航智能控制技術國家級重點實驗室，北京 100854）

提高零控脫靶量預測精度的一種方法

姬曉琴，崔鑫水

（宇航智能控制技術國家級重點實驗室，北京 100854）

對于大氣層外攔截問題中以零控脫靶量（ZEM—zero effortm iss）作為指標的預測制導方法，其ZEM的預測精度直接影響到最終的攔截任務.在線性化平方反比引力模型下，給出了基于目標軌道坐標系的ZEM預測算法，導出ZEM發(fā)生條件，并提出一種提高ZEM預測精度的方法，即通過初值軌道角速率的選取可明顯改善算法的預測精度.同時將該算法與地心赤道慣性坐標系下的ZEM預測算法進行了比較研究，數(shù)學仿真結果表明該預測算法精度較高，具有一定的工程應用價值.

大氣層外攔截；零控脫靶量；ZEM預測算法；相對運動；目標軌道坐標系

反戰(zhàn)術彈道導彈系統(tǒng)一般采用分層防御體系，其中以動能武器技術為代表的高層攔截反導系統(tǒng)尤為重要，已經成為各國競相發(fā)展戰(zhàn)區(qū)彈道導彈防御系統(tǒng)的主要技術之一.自20世紀70年代以來，美國已經先后研制并試驗了多種類型的動能攔截彈，包括反衛(wèi)星用的空基和地基動能攔截彈、防御彈道導彈的天基、地基和?；鶆幽軘r截彈，可在大氣層內或大氣層外對目標實施攔截.大氣層外攔截中制導律設計方法的有效性是關系到攔截器所釋放出的動能殺傷器碰撞殺傷來襲目標需要付出代價的評估標準［1-2］.對于以零控脫靶量（ZEM，zero effortmiss）作為指標的預測制導方法，其ZEM的預測精度直接影響到最終的攔截任務.高精度的ZEM數(shù)值積分算法受到彈載計算機速度的限制，而現(xiàn)有的ZEM解析或快速預測算法因精度不夠高較難應用到大氣層外具有上千千米的攔截情況.本文在線性化平方反比引力模型下，給出了基于目標軌道坐標系的ZEM預測算法，在此基礎上提出了一種提高預測精度的方法，該方法通過初值軌道角速率的選取可明顯改善算法的預測精度，并且預測精度比較穩(wěn)定，具有一定的工程應用價值.

1 坐標系定義

1.1 問題提出

首先引入兩個坐標系：地心赤道慣性坐標系OeXYZ和目標軌道坐標系OTxyz，其定義如下.

地心赤道慣性坐標系OeXYZ（簡稱慣性系）：坐標原點在地心；OeX在赤道平面內，指向春分點；OeZ垂直于赤道平面，與地球自轉軸重合；OeY與OeX、OeZ組成右手坐標系.

目標軌道坐標系OTxyz（簡稱軌道系）：坐標原點在目標質心；OTx位于軌道面內，指向飛行方向為正；OTz沿地心矢徑方向，指向地心為正；OTy與OTx、OTz組成右手坐標系.

2 慣性系下的ZEM預測算法

本節(jié)給出地心赤道慣性坐標系下基于線性化平方反比引力模型［1，3-4］的ZEM預測算法.

對于終端時間非固定的大氣層外攔截問題，預測制導控制就是通過實時預測脫靶時刻和ZEM來產生制導指令.其中對于非機動目標攔截問題，零控脫靶量可以表述為攔截器與目標在僅受引力場作用下被動飛行至脫靶時，兩飛行器間的最小相對位置矢量［5-7］，如圖1所示，圖中同時也標出了上述兩個坐標系的示意圖.

圖1 零控脫靶量示意圖Fig.1 Sketch of zero miss distance

在大氣層外攔截器與目標的運動方程可表示為：

式中：RI、RT分別表示攔截器、目標位置矢量；rI、rT分別表示攔截器、目標位置矢量的大??；

μ表示地球引力常數(shù).

則目標相對于攔截器的相對運動方程可表示為：

式中R=RI-RT，記R的大小為r.

上式是線性時變二階微分方程，若目標在整個飛行階段位置變化不大，則可以利用一個常矢量RTc來代替變化的RT，以得到上式的解析解.令RTc=RT0+crR，其中cr為常數(shù)，RT0為初始時刻目標矢量.

式中：

由式（6）可得線性定常齊次狀態(tài)方程的解為：

ZEM發(fā)生時刻tf（即脫靶時刻）應有：

通過二分法、牛頓法等數(shù)值方法求解ZEM發(fā)生時刻tf，可取tf的迭代初值為：

將tf代入式（7），可得ZEM的預測值為：

將式（4）代入式（3），得：

3 軌道系下的ZEM預測算法

下面給出軌道系下基于線性化平方反比引力模型的ZEM預測算法.取目標軌道坐標系作為相對運動坐標系，則式（3）可寫為：

若令Rrel=［x y z］T，將式（11）寫成標量形式，得到一組線性時變微分方程組：

因OTxz平面為軌道平面，OTy為軌道負法向，為方便起見，可重記 Rrel=［x z y］，ω=［RrelVrel］T，給定初始條件，通過變量變換可得到式（12）的解析解［8］：

其中：

其中，ρ=1+e cos f，J=k2（t-t0），e為軌道偏心率.

根據(jù)慣性系ZEM發(fā)生條件式（8），可導出目標軌道坐標系的ZEM發(fā)生條件：

通過數(shù)值方法求解上式ZEM發(fā)生時刻tf，將tf代入式（14），可得ZEM的預測值為：

tf的迭代初值tf0取法同上.

綜上所述，因式（13）是解析解的形式，故軌道系ZEM預測算法的精度應優(yōu)于慣性系ZEM預測算法.但經數(shù)學仿真計算結果表明：在常數(shù)cr=0時，前者精度確實優(yōu)于后者，但在 cr≠0時，若不對式（13）進行改進，其精度并不理想.經研究發(fā)現(xiàn)類似上節(jié)將RT取為常矢量的方法，將初值軌道角速率預測精度，具體思路如下：

又因

故可將Φ22f的初值改寫為：

其中ρc=1+e cos fc，fc=f0+cf（ft0-f0），cf為常數(shù)，ft0為由脫靶時刻的迭代初值tf0計算得到的真近點角.這樣通過選擇c改變f的值，也即的值可得到較好的預測精度，這將在下節(jié)通過數(shù)學仿真進行詳細說明.

4 預測算法精度分析

本文對軌道系和慣性系下的兩種ZEM預測算法進行了數(shù)學仿真研究及精度比較分析，同時對算法中常數(shù)cf（cr）對預測精度的影響也進行了簡單仿真研究.

4.1 仿真條件

設攔截器和目標的初始相對距離約為1500km，目標初始狀態(tài)如表1所示.根據(jù)初始相對速度的大小設置了6種攔截器初始狀態(tài)，為簡單起見，攔截器初始位置參數(shù)：RT0=［702.9 -8323.1 -2703.3］Tkm不變，僅速度參數(shù)變化，如表2所示.

表1 目標初始狀態(tài)（地心赤道慣性坐標系）Tab.1 Initial target state（ECI）

表2 攔截器初始狀態(tài)（地心赤道慣性坐標系）Tab.2 Initial interceptor state（ECI）

4.2 算法精度比較分析

令Δtf、Δrf、Δvf分別表示預測脫靶時刻誤差、位置誤差及速度誤差.兩種預測算法精度比較見表3所示.表中的預測結果皆取cf=0.4，cr=0.5，此時RTc=RT0+0.5R0=（RT0+RI0）/2，其頂點為RT0與RI0所組成的平行四邊形的中心.

表3 預測算法精度比較Tab.3 Accuracy comparsion of predictive method

從表3可看出，隨著相對速度 v0的增大，脫靶時刻tf的縮短，兩種預測算法的精度都在逐漸提高.在cf=0.4，cr=0.5情況下，前者的精度顯然優(yōu)于后者，且在相對速度較低時尤為明顯：Δtf精度約提高70%以上，狀態(tài)6達到兩個數(shù)量級，由131.2ms提高到1.2ms；Δrf精度約提高40%以上，狀態(tài)1達到58%，由69.979km提高到28.908km；Δvf精度約提高30%以上，狀態(tài)1達到70%，由213.88m/s提高到60.535m/s.

另外，本文對攔截器和目標的初始相對距離為2000km、2500km的情況也進行了兩組仿真計算，結果表明在相對速度相同時，兩個預測算法的預測精度都隨距離的縮短而提高.

4.3 常數(shù)cf（cr）對算法精度的影響

以攔截器的第4、第6種初始狀態(tài)為例，cf（cr）取不同值時得到的脫靶時刻誤差分別如表4、表5所示.

從表4、表5可看出，對軌道系ZEM預測算法來說cf=0.4時，預測精度較好，且Δrf、Δvf與Δtf的變化趨勢基本一致；而對慣性系ZEM預測算法來說，cr=0.5精度較好，但Δrf、Δvf與Δtf的變化趨勢并不一致.將所有攔截狀態(tài)由軌道系算法仿真得到的Δtf、Δrf隨 cf的變化曲線繪于圖2、圖3，原算法的Δtf、Δrf隨cr的變化曲線繪于圖4、圖5.從圖2、圖3中可看出：（1）相對速度大時Δtf、Δrf曲線相對變化較平緩，相對速度小時曲線相對變化較大；（2）Δtf單調增加且相對每個算例均有正負變化，Δrf在極值點附近變化較劇烈（相對圖5）；（3）cf取0.4～0.6時預測精度較好，精度比較穩(wěn)定.從圖4、圖5中可看出，cr取值較大時Δtf預測精度較好，而Δrf預測精度較好時cr取0.4～0.6，兩者取值范圍不一致.

表4 常數(shù)cf（cr）對預測精度的影響（狀態(tài)4）Tab.4 Influence of constant cf（cr）on prediction accuracy（state 4）

表5 常數(shù)cf（cr）對算法精度的影響（狀態(tài)6）Tab.5 Influence of constant cf（cr）on prediction accuracy（state 6）

圖2 Δtf隨cf的變化曲線Fig.2 Δtfvarying with cf

圖3 Δrf隨Δrf的變化曲線Fig.3 Δrfvarying withΔrf

圖4 Δtf隨cr的變化曲線Fig.4 Δtfvarying with cr

圖5 Δrf隨cr的變化曲線Fig.5 Δrfvarying with cr

4 結 論

本文在線性化平方反比引力模型下，給出了基于目標軌道坐標系的ZEM預測算法，導出ZEM發(fā)生條件，并提出了一種提高預測精度的方法，即通過選取初值軌道角速率的方法可明顯提高算法的預測精度，并且穩(wěn)定性比較好.數(shù)學仿真結果表明：

1）由于軌道系下的ZEM預測算法是解析算法，在cf、cr同時為零的情況下，其精度高于慣性系下的預測算法；

2）軌道系下的ZEM預測算法預測精度隨相對速度的增大、相對距離的縮短而提高；

3）慣性系下的ZEM預測算法預測精度雖可通過cr的選取得到提高，但cr的穩(wěn)定性不強，預測精度隨初始條件的變化較大；

4）本文提出的軌道系下改變 cf也即改變初值軌道角速率的方法，可明顯改善算法的預測精度，且cf在0.4～0.5之間取值時預測精度比較穩(wěn)定.

需要說明的是，本文只是研究出一種提高算法預測精度的方法，但對該方法的穩(wěn)定性從理論上還未予證明，這是后續(xù)需要進一步研究的內容.另外，現(xiàn)已進行的進一步仿真表明cr的穩(wěn)定性與攔截器和目標的相對位置有關，所以實際應用該算法時應具體問題具體分析.

［1］ 鄭立偉.預測制導理論在飛行器再入與大氣層外攔截中的應用［D］.哈爾濱工業(yè)大學，2007 Zheng LW.Theory of predicative guidance with app lication to reentry and exoatmaspheric interception［D］. Harbin Institute of Technology，2007

［2］ 劉真.動能殺傷攔截器KKV［J］.地面防空武器，2004（3）：10-12 Liu Z.Kinetic kill vehicle KKV［J］.Land-Based Air Defence Weapons，2004（3）：10-12

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［4］ 郗曉寧，王威，高玉東.近地航天器軌道基礎［M］.長沙：國防科技大學出版社，2003 Xi X N，Wang W，Gao Y D.Fundamentals of near-earth spacecraft orbit［M］.Changsha：National University of Defense Technology Press，2003

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A M ethod for Im p roving Prediction Accuracy of Zero Effort M iss

JIXiaoqin，CUIXinshui
（National Key Laboratory of Science and Technology on Aerospace Intelligent Control，Beijing 100854，China）

For the predictive guidance with zero effortmiss（ZEM）taken as a performance objective for exo-atmospheric interception problem，the prediction accuracy of ZEM directly influences the completion of terminal interceptmission.In this paper，a ZEM forecastingmethod based on the target-centered orbit frame is introduced by using the linearized inverse square gravitymodel.The condition of ZEM occurrence is derived and one method for improving prediction accuracy of ZEM is also put forward，which can distinctly improve the prediction accuracy by choosing the initial orbit angular velocity.Moreover thismethod is compared with the one based on ECI frame by simulation.The results indicate that the improved one has higher accuracy and certain value to practical application.

exo-atmospheric interception；zero effort miss；ZEM forecasting；relative motion；targetcentered orbit frame

V448.23

A

1674-1579（2012）02-0024-06

姬曉琴（1971—），女，高級工程師，研究方向為飛行器導航、制導與控制；崔鑫水（1937—），男，研究員，研究方向為飛行器導航、制導與控制.

2011-07-12

DO I：10.3969/j.issn.1674-1579.2012.02.005