姿態(tài)機(jī)動中SGCMG的一種改進(jìn)奇異魯棒操縱律設(shè)計*

牟 夏，宗 紅，雷擁軍

（1.北京控制工程研究所，北京100190；2.空間智能控制技術(shù)重點實驗室，北京100190）

姿態(tài)機(jī)動中SGCMG的一種改進(jìn)奇異魯棒操縱律設(shè)計*

牟 夏1，2，宗 紅1，2，雷擁軍1，2

（1.北京控制工程研究所，北京100190；2.空間智能控制技術(shù)重點實驗室，北京100190）

單框架控制力矩陀螺（SGCMG）在衛(wèi)星姿態(tài)控制中以其具有大力矩輸出能力而受到重視并已成功應(yīng)用于在軌衛(wèi)星，其應(yīng)用難點是構(gòu)形奇異問題，特別是在快速連續(xù)機(jī)動的過程中，CMG框架角必須迅速脫離奇異狀態(tài).使用描述CMG輸出力矩和期望控制力矩夾角的奇異度量方法，以便在仿真中觀察判別CMG構(gòu)形的奇異程度.著重改進(jìn)CMG的奇異魯棒操縱律，應(yīng)用高斯函數(shù)的方法確定魯棒系數(shù).仿真實例表明，與傳統(tǒng)的梯度型零運動相比，該方法可以在衛(wèi)星的連續(xù)快速機(jī)動中使CMG系統(tǒng)更為迅速地擺脫奇異，更為快速地完成機(jī)動并減小姿態(tài)抖動.

單框架控制力矩陀螺；姿態(tài)機(jī)動；CMG操縱律；奇異魯棒

隨著航天技術(shù)的發(fā)展和任務(wù)要求的增多，衛(wèi)星的敏捷性能受到各方面的極大關(guān)注.國外許多先進(jìn)衛(wèi)星都具備了快速機(jī)動與快速穩(wěn)定的敏捷性能，能夠?qū)崿F(xiàn)快速側(cè)擺成像、同軌多條帶成像、同軌立體成像的功能，從而提高衛(wèi)星對地觀測的時間分辨率、擴(kuò)大觀測區(qū)域以及兼具偵查與測繪的能力［1］.

單框架控制力矩陀螺（SGCMG）因其具有大力矩輸出能力和快速響應(yīng)等特點，適合作為航天器快速機(jī)動的理想執(zhí)行機(jī)構(gòu).

SGCMG應(yīng)用于衛(wèi)星姿態(tài)控制的難點是奇異問題.目前，國內(nèi)外在SGCMG操縱律及奇異規(guī)避方面已做了大量研究.文獻(xiàn)［2］綜述了用于SGCMG奇異規(guī)避的主要方法并將其分類，對不同操縱律的性能進(jìn)行了評價，指出現(xiàn)存SGCMG操縱律或在奇異規(guī)避方面性能較差，或由于計算量較大而使得實時性較差.文獻(xiàn)［3］從奇異性分析的角度對SGCMG的奇異狀態(tài)進(jìn)行了研究，提出了奇異可規(guī)避性的判別方法.文獻(xiàn)［4］基于小衛(wèi)星的敏捷性需求，針對金字塔構(gòu)形的SGCMG提出了一種簡化的帶零運動的魯棒操縱律，并結(jié)合衛(wèi)星系統(tǒng)操縱律進(jìn)行了仿真驗證.文獻(xiàn)［5］針對SGCMG系統(tǒng)做了大量的原理分析，并參考機(jī)械臂奇異問題的結(jié)論，給出了判定各種奇異的方法和定理，并對一些操縱律進(jìn)行了仿真驗證.文獻(xiàn)［6］詳細(xì)推導(dǎo)了使用SGCMG的航天器姿態(tài)動力學(xué)模型，并設(shè)計了基于Lyapunov的反饋控制律，給出了仿真結(jié)論.文獻(xiàn)［7］針對航天器大角度機(jī)動、快速多目標(biāo)指向的問題提出了一種基于飽和約束的控制方法，并對單軸連續(xù)機(jī)動、三軸姿態(tài)機(jī)動以及使用CMG作為執(zhí)行機(jī)構(gòu)的情況進(jìn)行了仿真.

以上文獻(xiàn)對研究SGCMG在航天器姿態(tài)控制中的應(yīng)用有重要的參考價值.但是文獻(xiàn)［4］中沒有明確衛(wèi)星系統(tǒng)控制方法；文獻(xiàn)［5］中的數(shù)學(xué)理論和仿真比較部分都很完整，但只是針對SGCMG系統(tǒng)假設(shè)期望力矩為常數(shù)向量，不考慮衛(wèi)星系統(tǒng)控制律和姿態(tài)機(jī)動中變化的力矩指令.所以在對SGCMG操縱律的比較分析方面還可以做更多工作，例如將以上文獻(xiàn)中的SGCMG操縱律放在同一衛(wèi)星姿態(tài)控制模型中，在姿態(tài)機(jī)動的過程中比較其性能等.

本文研究分析SGCMG操縱律和奇異規(guī)避方法在航天器姿態(tài)控制系統(tǒng)中的表現(xiàn)，研究幾種不同操縱律對航天器姿態(tài)的影響，針對奇異魯棒方法進(jìn)行改進(jìn)，提出了一種描述SGCMG輸出力矩與期望力矩夾角的奇異度量方法，以便更為直觀地觀察SGCMG構(gòu)形的奇異程度，并應(yīng)用于仿真中的閾值判別.本文還提出了一種適應(yīng)奇異度量變化的魯棒系數(shù)的選擇方法.在仿真過程中，針對姿態(tài)單步機(jī)動和連續(xù)機(jī)動的情況進(jìn)行仿真，比較幾種方法的性能.

1 基于SGCMG的衛(wèi)星姿態(tài)機(jī)動控制問題描述

使用CMG作為姿態(tài)執(zhí)行機(jī)構(gòu)的剛體姿態(tài)動力學(xué)方程如下：

式中，J為星體的轉(zhuǎn)動慣量陣，ω為星體坐標(biāo)系下的角速度，ω×為ω的反對稱陣，h為CMG群的角動量，τd為空間外力矩.金字塔構(gòu)形的CMG如圖1所示.

圖1 金字塔構(gòu)形示意圖Fig.1 Four pyram id-configured SGCMGs

金字塔構(gòu)形CMG群的角動量

其中：cβ=cosβ，sβ=sinβ，δi為第i個CMG的框架角，h0為單個CMG的角動量大小.圖1中的為第i個CMG的框架軸方向，為第i個CMG的角動量方向x、y、z方向.

h的Jacobian矩陣如下：

假設(shè)期望CMG輸出的力矩為u，則有

其中C+為Jacobian矩陣C的偽逆.對于金字塔構(gòu)形的CMG系統(tǒng)，C+的存在性由rank（C）決定.當(dāng)C不滿秩時，就無法直接得到有效的框架角操縱律，產(chǎn)生奇異，即：在某一框架角組合下，沿某一方向或者某個平面上無法輸出力矩［8］.為此有多種框架角操縱律用于奇異規(guī)避.

通常定義奇異度量D=det（CCT），D越接近零，則CMG越接近奇異狀態(tài).下面給出幾種典型的框架角操縱律：

1）MP逆法

該方法沒有奇異回避能力，但其他方法大多基于此種方法改進(jìn)而成［2］.

2）零運動法

其中En為單位陣，αNM為零運動系數(shù)量的梯度.該方法通過執(zhí)行空轉(zhuǎn)指令以改變框架角，使CMG系統(tǒng)脫離奇異狀態(tài)［4］.

3）奇異魯棒法

其中En為單位陣，α為魯棒系數(shù).該方法通過產(chǎn)生偏差來換取奇異規(guī)避的能力.

除了以上操縱律，還有初始框架角選擇法、查表法等CMG操縱律，但實際應(yīng)用的操縱主要是零運動法和奇異魯棒法的結(jié)合或者改進(jìn).

2 控制器設(shè)計

2.1 控制器最優(yōu)控制律設(shè)計

采用四元數(shù)描述航天器姿態(tài)運動.動力學(xué)方程見式（1）.

運動學(xué)方程為

假設(shè)衛(wèi)星受到的空間外力矩為零，則動力學(xué)方程可寫為

式中τ為衛(wèi)星系統(tǒng)的控制輸入.由基于時間最優(yōu)的反饋方法［7］有

Li=為限幅函數(shù)，e為四元數(shù)誤差向量，若 qf為期望的終止四元數(shù)，則k，c為控制增益，T為積分常數(shù)軸允許的最大力矩，Jii為繞主軸的轉(zhuǎn)動慣量，i=1，2，3.

2.2 改進(jìn)奇異魯棒操縱律設(shè)計

式（8）為SGCMG的奇異魯棒操縱律的原理公式，其重點在于“何時”引入“何種”程度的偏差以回避奇異，而判斷“何時”引入由奇異度量決定，引至“何種”程度由魯棒系數(shù)決定.

通常定義奇異度量D=det（CCT）.這種形式雖然可以準(zhǔn)確反映矩陣C的奇異狀態(tài)，但不能準(zhǔn)確反映CMG構(gòu)形是否奇異.只有當(dāng)n個CMG產(chǎn)生的力矩都位于同一平面內(nèi)而期望力矩垂直于這一平面時，才認(rèn)為CMG發(fā)生了奇異.如果CMG奇異，矩陣C必定奇異；反之矩陣C奇異，CMG不一定奇異［9］.因此，從奇異定義出發(fā)，定義奇異參數(shù)：

式中，uCMG為CMG輸出力矩，u為期望力矩，θ為CMG輸出力矩與期望輸出力矩間的夾角，η為CMG輸出力矩與期望力矩間模的比例關(guān)系.由此可知，當(dāng)CMG構(gòu)形接近奇異時，θ接近90°，η接近0.

文獻(xiàn)［4］中使用閾值判斷是否引入零運動或奇異魯棒，例如在奇異度量D＞m時使用MP逆法，而在D≤m時引入零運動或者奇異魯棒，即

其中cd為一常數(shù).在奇異魯棒中，顯然 α取值越接近0，則由奇異魯棒操縱律造成的誤差越小.在遠(yuǎn)離奇異狀態(tài)時，α可以取0，接近奇異時，可以適當(dāng)增加α，擺脫奇異后再減小α.文獻(xiàn)［4］和［9］沒有明確α的設(shè)置方法，只做閾值或標(biāo)稱參數(shù).現(xiàn)使用高斯函數(shù)選取 α：

式中，αmax為α的最大值，D為奇異度量，Ds為奇異狀態(tài)的奇異度量值，若按上文中的奇異度量定義有σ2為方差.當(dāng)D越接近Ds，α取值越大，服從正態(tài)分布.在仿真中，本文給出了以上3種方式的奇異度量曲線用于觀測，并使用式（14）的奇異度量方法判定CMG是否引入奇異魯棒方法計算框架角速度.

3 數(shù)值實例

為了比較以上操縱律在姿態(tài)機(jī)動中的有效性，在此以金字塔構(gòu)形的4-CMG系統(tǒng)為例，針對幾種典型CMG操縱律進(jìn)行仿真.

選擇仿真參數(shù)如下：

星體轉(zhuǎn)動慣量

CMG角動量h0=10 N·m·s，金字塔傾角為β= 53.1°，CMG最大輸出力矩為τmax=8N·m，U= 8N·m，四元數(shù)初值為q=［1 0 0 0］T，角速度初值為ω=［0 0 0］T，增益c=6，k=10.將初始框架角設(shè)為δ=［0 90° -90° 0］T.

分別使用梯度型零運動［4］、普通的奇異魯棒［10］、使用基于式（13）和（14）的奇異魯棒方法以及使用基于式（15）的改進(jìn)的奇異魯棒方法作用于同一衛(wèi)星控制系統(tǒng)的模型當(dāng)中，研究姿態(tài)機(jī)動過程中系統(tǒng)的奇異程度、姿態(tài)四元數(shù)的收斂趨勢和產(chǎn)生的框架角速度指令.具體如下：

（1）梯度型零運動

目標(biāo)四元數(shù)為qf=［0 0 0 1］T，零運動系數(shù)為100，仿真時間為150s.仿真得到如下結(jié)果，如圖2～4所示.

圖2 梯度型零運動四元數(shù)Fig.2 Quaternions for gradient nullmotion

圖3 梯度型零運動奇異度量Fig.3 Singularity measurement for gradient nullmotion

從圖2～4可以看出，雖然使用零運動可以完成機(jī)動，但是產(chǎn)生了飽和的框架角速度，這種跳變型的指令在具體應(yīng)用時很難實現(xiàn)，因為現(xiàn)有電機(jī)不能產(chǎn)生這種期望的框架角速度.且從圖3可以看出，本文提出的奇異度量方法可以更直觀的反應(yīng)CMG構(gòu)形的奇異程度，可以明顯看出直到90s以后，系統(tǒng)完全脫離奇異.

（2）單次機(jī)動時，采用新型奇異度量方法的奇異魯棒與傳統(tǒng)奇異魯棒的對比

目標(biāo)四元數(shù)：qf=［0 0 0 1］T，魯棒系數(shù)α=0.3，仿真總時長為150s，可得如下結(jié)果（為對比與傳統(tǒng)型奇異魯棒的區(qū)別，圖中實線為采用新型奇異度量方法的奇異魯棒，虛線為傳統(tǒng)的奇異魯棒），如圖5～7所示.

在以上仿真的過程中，使用的是閾值判別方法，對于采用新型奇異度量的奇異魯棒方法，即當(dāng)夾角D1≥10°或D2≤0.9時，引入奇異魯棒；在其他時刻，即D1＜10°且D2＞0.9時，使用MP逆法.而對于使用傳統(tǒng)奇異度量的奇異魯棒方法，D≤0.6時，采用奇異魯棒方法；在其他時刻，即D＞0.6時，使用MP逆法.

對比圖5和圖2可以看出，使用奇異魯棒方法可以比零運動方法更為快速地完成機(jī)動.

圖6 單次機(jī)動四元數(shù)局部放大圖Fig.6 Quaternions for SR in single maneuver（localmagnification）

圖7 單次機(jī)動框架角速度Fig.7 Gimbal rates for SR in single maneuver

而從圖5中實線與虛線的對比來看，采用新型的奇異度量方法可以比采用傳統(tǒng)型奇異度量更為快速地完成機(jī)動過程，從圖6的放大圖中可以看出大約提前2s.通過對比q1和q2可以看出使用新型奇異度量的奇異魯棒方法可以減小四元數(shù)的波動.

對比圖7與圖4可以看出，與零運動方法相比，奇異魯棒方法可以產(chǎn)生更易跟蹤的框架角速度.

（3）連續(xù)兩次機(jī)動時，采用新型奇異度量方法的奇異魯棒法與傳統(tǒng)奇異魯棒法對比

該仿真中包括兩次姿態(tài)機(jī)動.第一次機(jī)動的期望四元數(shù)為qf1=［0 0 0 1］T，當(dāng) q0達(dá)到0（實際取1×10-4）時，認(rèn)為衛(wèi)星姿態(tài)達(dá)到預(yù)定位置，可回轉(zhuǎn)，之后期望四元數(shù)為：qf2=［1 0 0 0］T.魯棒系數(shù)α=0.3.為著重比較與傳統(tǒng)型奇異魯棒方法的區(qū)別，采用和b部分一樣的閾值判斷法，仿真總時長改為100s，得到如下結(jié)果（圖中實線為采用新型奇異度量方法的奇異魯棒，虛線為傳統(tǒng)的奇異魯棒），如圖8～10所示.

圖8 連續(xù)機(jī)動奇異魯棒法四元數(shù)Fig.8 Quaternions for SR in continuousmaneuver

圖9 連續(xù)機(jī)動奇異魯棒法奇異度量Fig.9 Singularity measurement for SR in continuous maneuver

從圖8可以看出，經(jīng)過兩次機(jī)動的疊加，實線超前虛線約4s時間，并且q1、q2的波動明顯減小.

（4）連續(xù)兩次機(jī)動時，采用新型奇異度量方法以及自適應(yīng)函數(shù)的奇異魯棒法與傳統(tǒng)奇異魯棒法對比

魯棒系數(shù)的最大值αmax=0.3，取奇異度量為模之比D2，根據(jù)式（14）魯棒方法與（3）部分相同，得到如下結(jié)果（圖中實線為采用新型奇異度量方法并同時采用高斯函數(shù)的奇異魯棒，虛線為傳統(tǒng)的奇異魯棒），如圖11所示.

圖10 連續(xù)機(jī)動奇異魯棒法框架角速度Fig.10 Gimbal rates for SR in continuous maneuver

圖11 帶有高斯函數(shù)奇異魯棒法四元數(shù)Fig.11 Quaternions for SR using Gaussian function

以上的幾次仿真中，均使用了同一衛(wèi)星姿態(tài)模型及完全相同的姿態(tài)控制律，僅僅對奇異度量和魯棒系數(shù)做了些許改動，對比不同方法的效果.

仿真結(jié)果中對比了使用本文提出的利用CMG輸出力矩與期望力矩的夾角和模之比來描述系統(tǒng)的奇異程度，如圖3和圖9.由這些圖形可以更有效地得知CMG的構(gòu)形奇異程度.與傳統(tǒng)的奇異度量相比，可以更明顯地將奇異狀態(tài)與非奇異狀態(tài)區(qū)別開來.在圖9中，可以看到在姿態(tài)機(jī)動完成之后，夾角D1≠0且模之比D2≠1，其原因是姿態(tài)機(jī)動完成之后，計算出的輸出力矩和期望力矩的模值非常小，接近于0.從圖9中傳統(tǒng)的奇異度量曲線來看，采用新的奇異度量方法可以明顯抬高奇異度量曲線.

此外，觀察圖4、圖7和圖10可以發(fā)現(xiàn)，使用了奇異魯棒方法的系統(tǒng)產(chǎn)生了相對零運動方法更易于跟蹤的框架角速度曲線.由于圖4中的跳變曲線在實際應(yīng)用中很難實現(xiàn)，產(chǎn)生可跟蹤的框架角速度指令在工程應(yīng)用中是十分重要的.

4 結(jié) 論

本文針對衛(wèi)星快速姿態(tài)機(jī)動中CMG框架角操縱律的幾種典型方法進(jìn)行研究分析，提出并在仿真中使用通過描述CMG輸出力矩與期望力矩的夾角和模之比觀測奇異狀態(tài)，直觀顯示CMG奇異程度.此外本文對其中的奇異魯棒法進(jìn)行了改進(jìn)，提出了一種選取魯棒系數(shù)的方法，使得魯棒系數(shù)具有自適應(yīng)調(diào)節(jié)能力.仿真表明，在相同的衛(wèi)星姿態(tài)控制模型中，本文所設(shè)計的方法可以在衛(wèi)星的大角度連續(xù)擺動過程中使系統(tǒng)更為迅速地脫離奇異，完成姿態(tài)機(jī)動，并計算出更易跟蹤的框架角曲線.對本文所提出的方法進(jìn)行多次仿真試驗，針對初始框架角、初始及目標(biāo)四元數(shù)和魯棒系數(shù)的修改，能夠說明本文提出的方法在大角度快速連續(xù)姿態(tài)機(jī)動時更為有效.在不同的初始條件下，仿真參數(shù)需要多次修改調(diào)試，才能起到較好的效果.由于衛(wèi)星控制律本身也具有實時調(diào)節(jié)特性，目前作者尚未找到參數(shù)與結(jié)果間的線性關(guān)系，具體方法有待深入研究.

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An Im proved Singularity Robust Steering Law for Single-Gim bal Control M om ent Gyros for Attitude M aneuver

MU Xia1，2，ZONG Hong1，2，LEIYongjun1，2
（1.Beijing Institute of Control Engineering，Beijing 100190，China；2.Science and Technology on Space Intelligent Control Laboratory，Beijing 100190，China）

The single gimbal control moment gyro，used in spacecraft attitude control system，deserves special attention in recent years due to its large control torque.However，the singularity problem is the major constraint on rapid attitudemaneuver，especially in a continuousmaneuver process，the spacecraft should escape from singularity rapidly.In this paper，based on the angle between desired control torque and output torque from CMG，a new singularity measurement is introduced.An improved singularity robust steering law are proposed，and a Gaussian function is adopted to determine the singularity robust coefficient.Simulation results demonstrate that compared with the traditional gradient nullmotion method，the proposed algorithm can finish attitude maneuver more quickly.It assures the singularity-escape more rapidly and reduces attitude chattering magnitude.

single gimbal controlmoment gyros；attitude maneuver；CMG steering law；singularity robust

V448.2

A

1674-1579（2012）02-0017-07

牟 夏（1987—），女，碩士研究生，研究方向為航天器姿態(tài)控制；宗 紅（1971—），女，研究員，研究方向為航天器制導(dǎo)、導(dǎo)航與控制；雷擁軍（1971—），男，高級工程師，研究方向為復(fù)雜航天器姿態(tài)控制.

*國家自然科學(xué)基金資助項目（60804016）.

2011-09-14

DO I：10.3969/j.issn.1674-1579.2012.02.004