全系數(shù)自適應(yīng)控制器若干穩(wěn)定性質(zhì)分析*

王 勇

（1.北京控制工程研究所，北京 100190；2.空間智能控制技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京 100190）

全系數(shù)自適應(yīng)控制器若干穩(wěn)定性質(zhì)分析*

王 勇1，2

（1.北京控制工程研究所，北京 100190；2.空間智能控制技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京 100190）

在更加一般的條件下對(duì)黃金分割反饋控制器在單輸入單輸出和多輸入多輸出特征模型中的穩(wěn)定性和魯棒性進(jìn)行了系統(tǒng)分析，并在混合辨識(shí)背景下研究了投影梯度法在特征模型框架中應(yīng)用時(shí)的輸入狀態(tài)穩(wěn)定（ISS）性和參數(shù)估計(jì)誤差的L2界.最終的結(jié)果進(jìn)一步擴(kuò)展了已有的結(jié)論，對(duì)整個(gè)系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析具有重要作用.

全系數(shù)自適應(yīng)控制；特征模型；黃金分割；梯度法

基于特征模型的全系數(shù)自適應(yīng)控制器包括：維持跟蹤控制器、黃金分割控制器、邏輯積分和邏輯微分控制器等，其中黃金分割控制器在自適應(yīng)過(guò)程的初始階段起著重要作用，而投影梯度法由于其操作簡(jiǎn)單、收斂過(guò)程較為平穩(wěn)成為自適應(yīng)律的首選方法，兩者在全系數(shù)自適應(yīng)控制中起著重要作用.黃金分割控制方法是吳宏鑫院士在1986年煉油廠加熱爐溫度控制工程實(shí)際中發(fā)現(xiàn)的，經(jīng)過(guò)大量實(shí)際控制工程應(yīng)用考驗(yàn)，于1990年發(fā)表于“全系數(shù)自適應(yīng)控制理論及其應(yīng)用”專著之中，1992年解永春博士從理論上首次證明了在參數(shù)估計(jì)收斂后這種黃金分割控制器組成的閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性［1］，1994年證明了黃金分割自適應(yīng)控制器的穩(wěn)定性和魯棒性［2］，2000年齊春子博士又進(jìn)一步證明了二階多變量黃金分割自適應(yīng)控制的穩(wěn)定性［3］，2005年孫多青博士后更進(jìn)一步證明了三階/四階情況下的穩(wěn)定性［4］.從工程實(shí)際和一系列的穩(wěn)定性分析中可以發(fā)現(xiàn)，黃金分割控制器和投影梯度法自適應(yīng)律在基于特征模型的全系數(shù)自適應(yīng)控制器的穩(wěn)定性分析中起著關(guān)鍵的作用，有必要在更加一般的框架內(nèi)分析兩者的穩(wěn)定性質(zhì).

根據(jù)文獻(xiàn)［5］，當(dāng)要實(shí)現(xiàn)位置保持或位置跟蹤控制時(shí)，特征模型一般可用如下兩種二階時(shí)變差分方程形式描述：

或

其中，f1，k，f2，k，g1，k，g2，k∈ R為特征參量.在具體的特征建模中，采用精確離散化的方法往往破壞了系統(tǒng)原有的嚴(yán)格反饋結(jié)構(gòu)［6］，得到形為（1）的差分方程形式，而采用歐拉近似離散化則可以較好得保持系統(tǒng)的嚴(yán)格反饋結(jié)構(gòu)，得到形為（2）的差分方程.由于特征模型在原系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析中僅起著過(guò)渡性的作用，基于式（1）或（2）進(jìn)行特征模型閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定性分析在原系統(tǒng)整個(gè)穩(wěn)定性分析中的作用是等價(jià)的，因此，本文以式（2）為代表在更一般的框架下對(duì)單輸入單輸出系統(tǒng)和多輸入多輸出系統(tǒng)的黃金分割控制器的穩(wěn)定性、魯棒性進(jìn)行系統(tǒng)分析，由于投影梯度法在特征建模方法中本質(zhì)上是混合辨識(shí)，因此有必要在此背景下對(duì)其穩(wěn)定性質(zhì)進(jìn)行研究.最后的結(jié)果進(jìn)一步擴(kuò)展了已有的結(jié)論，對(duì)于最終整個(gè)系統(tǒng)穩(wěn)定性分析起著重要作用.

1 特征模型

由于本文并不研究特征建模問(wèn)題，因此僅作如下假定：

設(shè)單輸入單輸出系統(tǒng)完全可控可觀

其中，x∈Rn，π1（x），J1（x），h1（x）均為光滑函數(shù).假設(shè)在滿足一定條件下采用歐拉近似離散化方法可化為如下特征模型：

特征參量屬于如下閉凸集：

其中，采樣周期0＜h＜1，εi為連續(xù)函數(shù)且分別為h、h2的同階無(wú)窮小.

設(shè)多輸入多輸出系統(tǒng)完全可控可觀

其中，x∈Rn，y，u∈Rm，π2（x），J2（x），h2（x）均為光滑函數(shù).假設(shè)在滿足一定條件下，采用歐拉近似離散化方法可化為如下特征模型：

特征參量屬于如下閉凸集：

其中，0＜h＜1，εi為連續(xù)函數(shù)且分別為h、h2的同階無(wú)窮小.

2 黃金分割反饋控制器

本節(jié)主要研究在特征模型（4）和（7）的基礎(chǔ)上，黃金分割反饋控制器的魯棒性.

2.1 單輸入單輸出系統(tǒng)

對(duì)于特征模型（4）的黃金分割反饋控制器一般可設(shè)計(jì)為：

其中，l1=0.382，l2=0.618，λ為設(shè)置參數(shù)，

下面將研究反饋控制律（9）在f1，k，f2，k，gk∈Ds1時(shí)的魯棒性問(wèn)題.因而，假設(shè)特征參數(shù)已知，把反饋控制器（9）代入特征模型（4），得到如下類型閉環(huán)系統(tǒng)：

yk+2=（1-l1kg）f1yk+1+（1-l2kg）f2yk（10）其中，f1=2+δ1（y，h），f2=-1-δ1（y，h），g∈Ds1，h2的同階無(wú)窮小連續(xù)函數(shù).

從Ds1形式可知，對(duì)于（10）平衡點(diǎn)附近的一個(gè)開(kāi)子集Y1?R和h*＞0，當(dāng)y∈Y1和h∈（0，h*）時(shí)系統(tǒng)（10）可以看作參數(shù)屬于一個(gè)有界閉凸集Ds1的系統(tǒng)族，控制器的魯棒性問(wèn)題可以轉(zhuǎn)換為保證該系統(tǒng)族中每個(gè)系統(tǒng)的穩(wěn)定性問(wèn)題.由于根軌跡具有明確直觀的特點(diǎn)，因此，下面采用根軌跡的方法，首先分析標(biāo)稱系統(tǒng)的穩(wěn)定性，并利用根軌跡的連續(xù)性分析受擾系統(tǒng)的穩(wěn)定性.

對(duì)于由（10）表示的系統(tǒng)族內(nèi)任意系統(tǒng)，其閉環(huán)特征方程可寫(xiě)為：

進(jìn)一步變換成參數(shù)根軌跡形式可有

定理1.對(duì)于平衡點(diǎn)附近的開(kāi)子集 Y1? R，存在h*＞0，當(dāng)y∈Y1和h∈（0，h*）時(shí)，存在λ使得閉環(huán)系統(tǒng)（10）為D（0，r）—穩(wěn)定的.

證明.首先分析標(biāo)稱系統(tǒng)，然后利用連續(xù)性分析含有誤差的系統(tǒng)的穩(wěn)定性.

（1）當(dāng)f1=2，f2=-1

由于特征參量f1在2附近變化，f2在-1附近變化，所以首先研究此種情況下的根軌跡，其他情況下的根軌跡均可看作此種情況下的攝動(dòng).當(dāng)取l1= 0.382，l2=0.618時(shí)，該根軌跡如圖1所示.其中A，B，C，D 4點(diǎn)對(duì)應(yīng)的增益分別為kA=2.88，kB=1，kC=∞，kD=0，兩個(gè)特征根分別分布在直線A-B和B-C或弧線B-D-B上.因此，B點(diǎn)對(duì)應(yīng)閉環(huán)系統(tǒng)最小譜半徑為0.618，且當(dāng)kg∈［0，2.88］時(shí)標(biāo)稱系統(tǒng)特征根在單位圓內(nèi)，當(dāng)kg=1時(shí)譜半徑最小，此時(shí)λ=0.

圖1 標(biāo)稱閉環(huán)系統(tǒng)根軌跡Fig.1 Root locus of nom inal system

（2）當(dāng)f1=2+δ1（y，h），f2=-1-δ1（y，h），

對(duì)于y∈Y1和h＞0，此時(shí)的根軌跡可以看作圖1的根軌跡受到f1，f2偏離2，-1的擾動(dòng)而生成的.因此，假設(shè)當(dāng)f1=2，f2=-1，存在k*g使得特征窮小連續(xù)函數(shù)δ1（y，h）∈R，當(dāng)f1=2+δ1（y，h）和f2=-1-δ1（y，h）時(shí)，可以構(gòu)建如下輔助方程：根據(jù)根軌跡的連續(xù)性及連續(xù)函數(shù)δ1（y，h）對(duì)于h的同階無(wú)窮小特性，對(duì)于每個(gè)固定的 k*

g，存在 h*使得新系統(tǒng)的特征根滿足例如當(dāng)k*g=0.7時(shí)，在圖 2中分別畫(huà)出對(duì)應(yīng)于δ1（y，h）＞0和 δ1（y，h） ＜0的根軌跡，從圖中可見(jiàn)，點(diǎn) O1和 O2對(duì)應(yīng)沒(méi)有擾動(dòng)的特征根，即對(duì)應(yīng)δ1（y，h）=0.A點(diǎn)對(duì)應(yīng)δ1（y，h）=-2.32時(shí)的一個(gè)特征根，B點(diǎn)對(duì)應(yīng)δ1（y，h）=0.62時(shí)的一個(gè)特征根.因此，當(dāng)δ1（y，h）在0附近變化時(shí)，相應(yīng)的特征根也在O1和O2附近沿著圖2所示的根軌跡變化，即對(duì)于任意y∈Y1，當(dāng)選擇一個(gè)kg≠0（對(duì)應(yīng)λ=使得當(dāng)f1=2，f2=-1時(shí)的標(biāo)稱系統(tǒng)的特征根h*，使得h∈（0，h*）時(shí)保證δ1（y，h）足夠小，導(dǎo)致受擾系統(tǒng)（即f1=2+δ1（y，h），f2=-1-δ1（y，h））也是穩(wěn)定的.例如，當(dāng)取k*g=0.7時(shí)，我們可以說(shuō)系統(tǒng)的根軌跡具有的穩(wěn)定裕度為［-2.32，0.62］，即對(duì)于任意y∈Y1，存在h*使得當(dāng)h∈（0，h*）時(shí)，δ1（y，h）∈ ［-2.32，0.62］，因此受擾系統(tǒng)在此控制器下仍然是穩(wěn)定的.

圖2 受擾系統(tǒng)根軌跡Fig.2 Root locus of disturbed system

同理可有，此類情況下的根軌跡可看作圖1根軌跡由誤差δ2（y，h2）導(dǎo)致的攝動(dòng).具有與上述情況類似的結(jié)論.

總結(jié)（1）～（3）可有：對(duì)于任意y∈ Y1，假設(shè)當(dāng)?shù)瞄]環(huán)系統(tǒng)的特征根滿足據(jù)根軌跡的連續(xù)性和連續(xù)函數(shù) δ1（y，h），δ2（y，h2）對(duì)于h和h2的同階無(wú)窮小特性，存在一個(gè) h*使得對(duì)于每個(gè) h∈（0，h*），當(dāng) f1=2+δ1（y，h），f2=0使得系統(tǒng)（10）特征根滿足ε＜1））.證畢.

注1.從以上分析可以看出，黃金分割反饋控制器具有一定的魯棒性，而且我們可以通過(guò)減小采樣周期從而減小特征參量的攝動(dòng)空間δ使得該控制器可以穩(wěn)定更大的擾動(dòng).并從圖1根軌跡看出，使得系統(tǒng)穩(wěn)定的kg是有界的且在1附近取值.

2.2 多輸入多輸出系統(tǒng)

對(duì)于特征模型（7）的黃金分割反饋控制器一般可設(shè)計(jì)為：

其中，

λij為設(shè)置參數(shù)保證Kg非奇異數(shù)，yr為參考輸入.

進(jìn)一步推廣上面的結(jié)論，利用特征值對(duì)于矩陣元素的連續(xù)性研究MIMO反饋控制器（11）的魯棒性.把反饋控制器（11）代入特征模型（7）得到如下類型閉環(huán)系統(tǒng)：

定理2.對(duì)于平衡點(diǎn)附近的開(kāi)子集 Y2? Rm，存在h*＞0，當(dāng)y∈Y2和h∈（0，h*）時(shí)，存在λij，i，j= 1，…，m使得閉環(huán)系統(tǒng)（12）為D（0，r）—穩(wěn)定的.

證明.首先分析標(biāo)稱系統(tǒng)，然后分析含有誤差的系統(tǒng)的魯棒性.D（0，r）穩(wěn)定的.為了簡(jiǎn)化分析，僅證明Kg存在性.首先假設(shè)Kg=diag{k1，g，…，km，g}，則系統(tǒng)變?yōu)閙個(gè)完全獨(dú)立的子系統(tǒng)：

其中，i=1，…，m，fi1，k=2，fi2，k=-1.把ki，g看作未知增益，根據(jù)定理1利用根軌跡可以證明系統(tǒng)為D（0，r）穩(wěn)定的，且當(dāng) ki，g=1時(shí)最小譜半徑為0.618.對(duì)（12）當(dāng) Kg=I時(shí)，狀態(tài)矩陣可定義為A*k，此時(shí)ρ（A*k）=0.618.當(dāng)Kg不為對(duì)角陣時(shí)，由特征值對(duì)矩陣元素的連續(xù)性可知，耦合系統(tǒng)的特征值在A*k特征值附近攝動(dòng)，攝動(dòng)范圍由Kg相對(duì)于I的距離決定，當(dāng) Kg與 I的差異很小時(shí) ρ（Ak）≤0.618+Δ，（0≤Δ≤1）.

（2）當(dāng)F1=2I+δ2（y，h），F(xiàn)2=-I-δ2（y，h），

對(duì)于y∈Y2和h＞0，同樣根據(jù)文獻(xiàn)［7］中的區(qū)域穩(wěn)定定理3.1.2，當(dāng)以下條件成立時(shí)系統(tǒng)也是D（0，r）穩(wěn)定的，

（1）當(dāng)F1=2I，F(xiàn)2=-I，

根據(jù)文獻(xiàn)［7］中的區(qū)域穩(wěn)定定理 3.1.2，當(dāng)

其中，ΔA0=

由于減小采樣周期導(dǎo)致δ1（y，h2），δ2（y，h）同時(shí)變小，所以，必存在h*＞0，當(dāng)h∈（0，h*）時(shí)以上條件成立.最后，由Kg形式可知當(dāng)Kg一定，并由有界性可知存在對(duì)應(yīng)的λij，i，j=1，…，m，則根據(jù)（1）～（2）可知，定理得證.

例1.對(duì)于n=2的系統(tǒng)，當(dāng)取固定的δ1=［0.0045 0.0001；0.0001 0.0050］，δ2=［0.03 0.03；0.03 0.03］時(shí)，可取Kg=［0.9 0.01；0.02 1］使得閉環(huán)系統(tǒng)特征值為 λ=0.6626±0.1133i，0.5932，0.6605.

注2.根據(jù)Kg的具體形式可以看出，由于Gk有界，可以選擇λij減小系統(tǒng)間的耦合程度，保證系統(tǒng)穩(wěn)定.而當(dāng)減小采樣周期時(shí)可以保證標(biāo)稱系統(tǒng)可以穩(wěn)定更大的擾動(dòng).以上定理僅證明其存在性和保證系統(tǒng)穩(wěn)定性時(shí)Kg的大致范圍，而并沒(méi)有給出具體的取值，如果給定具體的A0A1，要計(jì)算λij一種方法是可以通過(guò)線性矩陣不等式（LMI）或直接根據(jù)文獻(xiàn)［7］中的區(qū)域穩(wěn)定定理3.1.2尋求一個(gè)最優(yōu)解得到.

3 投影梯度法自適應(yīng)律

3.1 自適應(yīng)律

基于特征模型的自適應(yīng)控制一般采用相應(yīng)的特征模型結(jié)構(gòu)作為辨識(shí)模型，對(duì)于單輸入單輸出系統(tǒng)和多輸入多輸出系統(tǒng)的每個(gè)輸出子系統(tǒng)均有

其中，Φ（k）分別對(duì)應(yīng)（4）或（7）子系統(tǒng)特征模型的特征變量，θ（k）、k）為其對(duì)應(yīng)的特征參量的真實(shí)值和估計(jì)值.

由于通過(guò)特征建模把原來(lái)復(fù)雜的動(dòng)力學(xué)模型構(gòu)建為與其等價(jià)的線性形式，因此特征模型的參數(shù)一般是未知且隨狀態(tài)變化并且在一個(gè)已知的閉凸集內(nèi)，一般采用投影梯度法辨識(shí)得到，對(duì)每個(gè)輸出子系統(tǒng)，自適應(yīng)律一般可取為

為了保證辨識(shí)參數(shù)指數(shù)化收斂，引入如下充分激勵(lì)假設(shè)：

假設(shè)1.Φ滿足PE條件.

3.2 自適應(yīng)律性質(zhì)

由于在特征建模框架下，被控系統(tǒng)一般為連續(xù)系統(tǒng)，而辨識(shí)模型為離散系統(tǒng)，因此辨識(shí)問(wèn)題屬于混合辨識(shí)的范疇.而在采樣系統(tǒng)中，根據(jù)文獻(xiàn)［8-9］提出的基于歐拉近似離散模型的采樣系統(tǒng)穩(wěn)定性分析方法，對(duì)于向量場(chǎng)滿足局部Lipstchiz的非線性對(duì)象=f（x，u）和采樣控制器uk=uh（xk），考慮系統(tǒng)的精確離散時(shí)間模型

和歐拉近似模型

對(duì)于任意緊集X1?Rn，都存在常數(shù)0，當(dāng)h∈（0，h*1）時(shí)，對(duì)于任意x∈X1存在如下關(guān)系：

因此，對(duì)于下面混合辨識(shí)的分析，可以以此為基礎(chǔ)展開(kāi).首先分析離散辨識(shí)問(wèn)題，然后以（16）作為過(guò)渡分析混合辨識(shí)問(wèn)題.由于特征建模把原來(lái)的非線性系統(tǒng)化為一種偽線性變參數(shù)形式，導(dǎo)致特征模型本質(zhì)上是線性變參數(shù)的，并可以構(gòu)建一個(gè)依賴于狀態(tài)變量和采樣周期的閉凸集（如式（5）（8）中的Ds1和Ds2，此處統(tǒng)稱為Ds），特征參量及其變化率的上界可以通過(guò)減小采樣周期而減小，從而導(dǎo)致特征模型為慢變系統(tǒng).因此，辨識(shí)問(wèn)題可以歸入有界慢變自適應(yīng)理論框架中進(jìn)行分析.所以假設(shè)特征模型為實(shí)際系統(tǒng)時(shí)，辨識(shí)環(huán)節(jié)具有以下特性.

引理1.在PE假設(shè)下，自適應(yīng)律（15）在未知參數(shù)慢變并屬于閉凸集Ds和待辨識(shí)系統(tǒng)受到外部擾動(dòng)pk的情況下具有如下性質(zhì)：

其中c1，c2，?為正常數(shù)，ε為連續(xù)函數(shù)且為 h的同

階無(wú)窮小.

證明.對(duì)性質(zhì)1），自適應(yīng)律（15）兩邊減去θk可得

整理可得

由于在沒(méi)有外部擾動(dòng)時(shí)，自適應(yīng)律（15）在 PE條件下為指數(shù)穩(wěn)定的，即對(duì)于并利用可得

存在常數(shù)c，滿足r-2c2＞0，使得

所以有

因此，根據(jù)離散系統(tǒng) ISS性質(zhì)（見(jiàn)文獻(xiàn)［10］），存在χ∈K∞和γ∈K使得所以自適應(yīng)律關(guān)于 pk，Δθk是 ISS的.對(duì)于 ?θ可寫(xiě)為

對(duì)性質(zhì)2），對(duì)式（18）從k=0到N求和并移項(xiàng)可得

注3.性質(zhì)1）表明，如果自適應(yīng)律的外部擾動(dòng)為0，則辨識(shí)過(guò)程是穩(wěn)定的，而由于特征參量為系統(tǒng)狀態(tài)變量的函數(shù)，因此當(dāng)系統(tǒng)狀態(tài)穩(wěn)定且不存在外部擾動(dòng)時(shí)，特征參量及其估計(jì)值也收斂到一個(gè)恒定值；性質(zhì)2）給出了特征參量辨識(shí)誤差的一個(gè) L2界，該界有助于最終時(shí)變系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析.

以上引理只是分析了自適應(yīng)律對(duì)于實(shí)際系統(tǒng)為特征模型時(shí)參數(shù)辨識(shí)具有的性質(zhì)，由于實(shí)際系統(tǒng)為連續(xù)系統(tǒng)而辨識(shí)模型為離散形式，并且特征模型及特征參量所屬閉凸集均基于歐拉近似離散化得到，因此連續(xù)系統(tǒng)的實(shí)際輸出并不等同于辨識(shí)模型的輸出，之間的差異可視為對(duì)自適應(yīng)律的時(shí)變擾動(dòng)，因此總結(jié)起來(lái)這種混合辨識(shí)系統(tǒng)在受到外部擾動(dòng) p（t）時(shí)自適應(yīng)律（15）存在如下時(shí)變擾動(dòng)：

1）參數(shù)時(shí)變擾動(dòng)：由于特征參量依賴于狀態(tài)變量，因此特征參數(shù)是時(shí)變的即存在的擾動(dòng)

2）近似離散化誤差擾動(dòng)：根據(jù)采樣系統(tǒng)基于歐拉近似離散化穩(wěn)定性分析框架，由于在歐拉近似后，根據(jù)式（16）系統(tǒng)存在一個(gè)近似離散導(dǎo)致的時(shí)變誤

3）外部擾動(dòng)p（t）.

因此在引理1的基礎(chǔ)上有如下定理.

定理3.對(duì)于單輸入單輸出系統(tǒng)（3）或多輸入多輸出系統(tǒng)（6）的每個(gè)輸出子系統(tǒng)，采用 （4）或（7）為辨識(shí)模型，辨識(shí)參數(shù)屬于閉凸集（5）或（8），自適應(yīng)律（15）在PE假設(shè)和系統(tǒng)受到外部擾動(dòng)p（t）的情況下具有如下性質(zhì)：

其中c1，c2，c3，?為正常數(shù)連續(xù)函數(shù)且為h的同階無(wú)窮小.

證明.由于多輸入多輸出系統(tǒng)（6）當(dāng)輸入輸出通道數(shù)為1時(shí)退化為單輸入單輸出系統(tǒng)（3），因此以（6）的每個(gè)輸出子系統(tǒng)為單位進(jìn)行分析具有代表性.假設(shè)（6）的精確離散化解為的輸出為歐拉離散化后的解為對(duì)應(yīng)的輸出為 yeu=根據(jù)式（16），對(duì)于任意緊集X1? Rn其精確解與離散化后的歐拉近似解存在如下關(guān)為輸出有

根據(jù)局部Lipstchiz性質(zhì)，存在lx＞0，使得

又根據(jù)文獻(xiàn)［11］定理 A.1，由于系統(tǒng)可控可觀，則在X1內(nèi)存在光滑函數(shù)Θ，使得x=Θ（y，u），并由其局部Lipstchiz性可得其中l(wèi)y，u＞0，所以最終有

根據(jù)引理1可知性質(zhì)1）成立，并有：

證畢.

注4.相對(duì)于引理1的性質(zhì)2），混合系統(tǒng)辨識(shí)過(guò)程多出一項(xiàng)c3h4（N+1），可以看作是由于近似離散化誤差導(dǎo)致的擾動(dòng)，由于此項(xiàng)為采樣周期的高階項(xiàng)，因此當(dāng)減小采樣周期時(shí)此項(xiàng)為一個(gè)極小量.

綜合引理1與定理3可知，在特征模型框架下的混合自適應(yīng)律相比一般的定常系統(tǒng)受到一些時(shí)變擾動(dòng)，而由于投影到一個(gè)閉凸集中保證了參數(shù)估計(jì)誤差的L2有界性，該性質(zhì)對(duì)于最終系統(tǒng)穩(wěn)定性分析有重要作用.

4 結(jié) 論

本文在更加一般的條件下討論了黃金分割控制器的魯棒性和投影梯度法在特征模型框架下具有的一些性質(zhì)，這些性質(zhì)對(duì)于系統(tǒng)穩(wěn)定性分析起著重要作用，然而不足之處在于對(duì)于黃金分割控制器只是證明了存在配置參數(shù)λ保證系統(tǒng) D（0，r）穩(wěn)定的，但是對(duì)于在時(shí)變條件下，特別是對(duì)于多輸入多輸出系統(tǒng)如何求取 λ使得系統(tǒng)的特征值在要求的范圍內(nèi)將是下一步的工作.

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Analysis for Several Stability Properties of A ll-Coefficient Adaptive Controller

WANG Yong1，2
（1.Beijing Institute of Control Engineering，Beijing 100190，China；2.Science and Technology on Space Intelligent Laboratory，Beijing 100190，China）

Undermore general conditions，the stability and the robustness of golden-section feedback control law are analyzed in this paper，and in the framework of hybrid identification，the input-state stable（ISS）property of the gradient projectmethod used in SISO and MIMO characteristic models is studied，and the L2bound of estimated errors of characteristic parameters is obtained.The final results further generalize the former results and play very important roles in the stability analysis of entire hybrid system.

all-coefficient adaptive controller；characteristic model；golden section；gradient project method

TP13

A

1674-1579（2012）02-0010-07

王 勇（1978—），男，博士研究生，研究方向?yàn)楹教炱髦悄茏赃m應(yīng)控制.

*國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（60736023，60704014）.

2011-07-04

DO I：10.3969/j.issn.1674-1579.2012.02.003