在“數(shù)學(xué)分析”中滲透數(shù)學(xué)思想的教學(xué)意義
——化歸與轉(zhuǎn)化思想

蘇 芳，覃學(xué)文

(1.2.梧州學(xué)院 數(shù)理系，廣西 梧州 543002)

在“數(shù)學(xué)分析”中滲透數(shù)學(xué)思想的教學(xué)意義
——化歸與轉(zhuǎn)化思想

蘇 芳1，覃學(xué)文2

(1.2.梧州學(xué)院 數(shù)理系，廣西 梧州 543002)

基于數(shù)學(xué)思想的教學(xué)對(duì)素質(zhì)教育的重要意義，結(jié)合在數(shù)學(xué)分析教學(xué)中的經(jīng)驗(yàn)，提出在數(shù)學(xué)分析的教學(xué)中滲透化歸思想的意義和具體的操作方法。

數(shù)學(xué)思想；化歸思想；轉(zhuǎn)化思想

從數(shù)學(xué)發(fā)展史來講，微積分的產(chǎn)生標(biāo)志著從初等數(shù)學(xué)到高等數(shù)學(xué)的飛躍，經(jīng)過歷代數(shù)學(xué)家們的努力，微積分發(fā)展成為今天具有廣泛應(yīng)用意義的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)學(xué)科——數(shù)學(xué)分析。數(shù)學(xué)分析理論的每一次發(fā)展，都是由數(shù)學(xué)思想的突破而引起的?？梢哉f數(shù)學(xué)思想在數(shù)學(xué)分析的發(fā)展與完善中起著重要的作用。

一、關(guān)于數(shù)學(xué)思想

數(shù)學(xué)思想是指現(xiàn)實(shí)世界的空間形式和數(shù)量關(guān)系反映到人們的意識(shí)之中，經(jīng)過思維活動(dòng)而產(chǎn)生的結(jié)果。人類在對(duì)豐富的、具體的數(shù)學(xué)對(duì)象進(jìn)行研究的過程中，形成了許多思維方式和數(shù)學(xué)方法，這些思維方式和數(shù)學(xué)方法經(jīng)過長(zhǎng)期的積累而產(chǎn)生了質(zhì)的飛躍，上升為數(shù)學(xué)思想。因此數(shù)學(xué)思想比數(shù)學(xué)知識(shí)更深刻、更本質(zhì)，具有更高的概括水平?；镜臄?shù)學(xué)思想包括：符號(hào)化思想、公理化與結(jié)構(gòu)思想、函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、化歸思想、轉(zhuǎn)化思想、整體思想、分類思想、類比思想、歸納思想等等。數(shù)學(xué)思想在某些具體數(shù)學(xué)問題中的體現(xiàn)就是數(shù)學(xué)方法，如換元法、待定系數(shù)法，以及方程中的消元法降階法等等，但任何一種數(shù)學(xué)方法都反映了一定的數(shù)學(xué)思想，如換元法實(shí)際上就是轉(zhuǎn)化思想的具體表現(xiàn)。

二、化歸與轉(zhuǎn)化思想

化歸與轉(zhuǎn)化思想，就是把未知的數(shù)學(xué)問題轉(zhuǎn)化為在已學(xué)知識(shí)內(nèi)可能解決的問題的一種思想，其特點(diǎn)就是實(shí)現(xiàn)化復(fù)雜為簡(jiǎn)單的轉(zhuǎn)化、從不熟悉向熟悉的轉(zhuǎn)化。

在經(jīng)過多年的“數(shù)學(xué)分析”教學(xué)實(shí)踐中，筆者總結(jié)的經(jīng)驗(yàn)是：化歸與轉(zhuǎn)化思想是形成良好的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的前提。

三、化歸思想在數(shù)學(xué)分析教材中的作用

化歸思想在數(shù)學(xué)分析中應(yīng)用十分廣泛，它通過數(shù)學(xué)分析的各種內(nèi)容以及不同的知識(shí)點(diǎn)表現(xiàn)出來?；瘹w思想在數(shù)學(xué)分析中起著如下兩種作用：

（一）化歸與轉(zhuǎn)化思想對(duì)數(shù)學(xué)分析理論起著杠桿放大作用[1]

未學(xué)的、復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題，通過轉(zhuǎn)化，歸結(jié)為已學(xué)的或易解決的問題，這是化歸思想的功能。從另一角度來看，可以說化歸思想使舊的知識(shí)向新的知識(shí)邁進(jìn)，使低一級(jí)知識(shí)向高一級(jí)知識(shí)縱深發(fā)展。例如連續(xù)函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、定積分、級(jí)數(shù)的收斂等定義都可以歸結(jié)為極限的概念，從某種意義上來看，極限的意義在化歸思想的杠桿放大作用下，向?qū)?shù)、連續(xù)、定積分、級(jí)數(shù)等領(lǐng)域發(fā)展，得到了更多新的理論。同樣的曲線積分、曲面積分、二重積分等計(jì)算方法都可轉(zhuǎn)化為定積分來計(jì)算。

（二）化歸與轉(zhuǎn)化思想在不同的知識(shí)點(diǎn)之間起著橋梁的溝通作用

對(duì)數(shù)學(xué)分析中的不同知識(shí)點(diǎn)，化歸思想可使知識(shí)交融，從一個(gè)領(lǐng)域向另一個(gè)領(lǐng)域轉(zhuǎn)化。例如，對(duì)一些常用的函數(shù)，如指數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)以及物理學(xué)中常用的某些超越函數(shù)，當(dāng)求它們的近似值時(shí)，要把它們近似地表達(dá)成多項(xiàng)式的結(jié)構(gòu)，通過計(jì)算多項(xiàng)式的值，就可以得到這些超越函數(shù)的近似值。而用多項(xiàng)式近似地表達(dá)一個(gè)給定函數(shù)的問題，就可以化歸為泰勒級(jí)數(shù)。此外，最大最小值問題，可化歸為函數(shù)的駐點(diǎn)問題；而函數(shù)的作圖，也要求學(xué)生具有一定的化歸思想。因?yàn)橐芯亢瘮?shù)圖像或者要描函數(shù)圖像，一定要掌握?qǐng)D像的主要特征，而微分學(xué)可以幫助學(xué)生分析函數(shù)圖像的主要特征，其中最主要的特征有：①圖像的極值點(diǎn)，這可轉(zhuǎn)化為求f′(x)=0的點(diǎn)或?qū)?shù)不存在的點(diǎn)；②圖像的單調(diào)性，可轉(zhuǎn)化為一階導(dǎo)數(shù)大于0或小于0的點(diǎn)；③曲線的凹凸性與拐點(diǎn)，可化為f″(x)＞0，f″(x)＜0或f″(x)＝0的問題。從上面的例子可看到化歸思想廣泛地蘊(yùn)涵在數(shù)學(xué)分析教材之中。

四、化歸思想對(duì)指導(dǎo)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)分析的意義

（一）化歸思想有效地幫助對(duì)數(shù)學(xué)分析理論的理解與知識(shí)遷移

認(rèn)知心理學(xué)表明，學(xué)習(xí)是學(xué)習(xí)者自己建構(gòu)的。在認(rèn)知過程中，學(xué)生將概念、公式、定理等知識(shí)經(jīng)“同化”或“順應(yīng)”作用，納入自己已有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中。這個(gè)過程，離不開化歸與轉(zhuǎn)化思想的參與。數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)是一個(gè)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的形成過程，即新的學(xué)習(xí)內(nèi)容與學(xué)生原有的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)相互作用，形成新的認(rèn)知結(jié)構(gòu)的過程。新舊知識(shí)互相作用的基本形式是同化與順應(yīng)。所謂同化，就是利用原有的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)對(duì)新知識(shí)進(jìn)行加工處理，經(jīng)加工改造的新知識(shí)被納入原認(rèn)知結(jié)構(gòu)中；所謂順應(yīng)，是在原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)不能使知識(shí)進(jìn)行同化時(shí)，調(diào)整原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)使之適應(yīng)新的認(rèn)知結(jié)構(gòu)的學(xué)習(xí)過程叫順應(yīng)。

在數(shù)學(xué)分析的學(xué)習(xí)中，化歸思想是同化或順應(yīng)過程的催化劑。以微分中值定理的學(xué)習(xí)為例。羅爾定理為：“如果函數(shù)f(x)滿足下列條件①在閉區(qū)間[a,b]連續(xù)；②在開區(qū)間（a,b）內(nèi)可導(dǎo)；③f(a)=f(b)，則在區(qū)間（a,b）內(nèi)至少存在一點(diǎn) ξ，使得 f(ξ)＝0”[2]108，其幾何意義是：滿足定理三個(gè)條件的曲線f(x)在區(qū)間（a,b）內(nèi)至少存在一點(diǎn) (ξ，f（ξ）)，使曲線過點(diǎn)ξ的切線平等于x軸。學(xué)生在學(xué)習(xí)了羅爾定理以后，再學(xué)習(xí)拉格朗日中值定理“如果函數(shù)滿足下列條件①在閉區(qū)間[a,b]連續(xù)；②在開區(qū)間（a，b）內(nèi)可導(dǎo)，則在區(qū)間（a，b）內(nèi)至少存在一點(diǎn)ξ，使得[3]109。其幾何意義是：滿足定理?xiàng)l件的曲線f(x)在區(qū)間（a,b）內(nèi)至少存在一點(diǎn)ξ，使曲線過點(diǎn)（ξ，f(ξ)）的切線平行于兩端點(diǎn)的弦AB。顯然，拉格朗日中值定理不能納入羅爾定理，即不能同化，經(jīng)分析：兩個(gè)定理從形式和結(jié)構(gòu)來看有相同之處，其差異是：羅爾定理比拉格朗日中值定理多一個(gè)條件f(a)=f(b)，同時(shí)從幾何條件來看，羅爾定理是過點(diǎn)（ξ，f(ξ)）的切線平等于x軸，而拉格朗日中值定理是過點(diǎn)（ξ，f(ξ)）的切線平行于兩端點(diǎn)的弦AB。在轉(zhuǎn)化思想指導(dǎo)下，以消除差異為目標(biāo)，在原認(rèn)識(shí)結(jié)構(gòu)上對(duì)羅爾定理的條件及結(jié)論的表征進(jìn)行改造而從幾何意義來看，過點(diǎn)（ξ，f(ξ)）的切線平等于x軸就是平行于兩端點(diǎn)的弦，從而認(rèn)識(shí)到羅爾定理是拉格朗日中值定理的特殊情況，這基本上表現(xiàn)為順應(yīng)過程。當(dāng)再學(xué)習(xí)柯西中值定理時(shí)，研究分析發(fā)現(xiàn)柯西中值定理與拉格朗日中值定理形式相似，但已知條件的表征上有差異。為了消除差異，在轉(zhuǎn)化思想的指導(dǎo)下，把拉格朗日中值定理中，曲線AB的方程轉(zhuǎn)化為參數(shù)方程y=f(x)表示，則直線AB的斜率為，曲線過點(diǎn)C的切線為，在t=ξ的值，這種新的表征與柯西定理中的表述一致，所以它是柯西定理的特殊情況。

在學(xué)習(xí)過程中，無論是對(duì)學(xué)習(xí)者頭腦中原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)進(jìn)行調(diào)整，還是對(duì)新知識(shí)進(jìn)行加工改造，都是在轉(zhuǎn)化思想指導(dǎo)下進(jìn)行的，可見轉(zhuǎn)化思想有利于學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)的組織化水平的提高。

（二）化歸思想為學(xué)生提供思維策略

作為一種數(shù)學(xué)思想方法，化歸思想在解題中可為學(xué)生提供化難為易、化繁為簡(jiǎn)的思維策略，使學(xué)生學(xué)得更深刻更靈活。一般步驟是根據(jù)題目提供的信息，分析轉(zhuǎn)化目標(biāo)，然后利用相應(yīng)的數(shù)學(xué)知識(shí)和技能去探索轉(zhuǎn)化方向，從而到達(dá)化歸目標(biāo)。

例如，牛頓—萊布尼茲公式、格林公式、奧斯特洛格拉德斯基公式，是同一類關(guān)系在不同維的空間的表現(xiàn)形式。牛頓—萊布尼茲公式把一個(gè)區(qū)間上的定積分同這個(gè)區(qū)間端點(diǎn)的原函數(shù)值聯(lián)系起來，格林公式把一個(gè)平面區(qū)域上的二重積分和沿該區(qū)域邊界的第二型曲線積分聯(lián)系起來，奧氏公式把一個(gè)空間區(qū)域上的三重積分和沿該區(qū)域邊界的第二型曲面積分聯(lián)系起來，因此上述公式是解決某些定積分計(jì)算問題時(shí)實(shí)施轉(zhuǎn)化的有效途徑。例：計(jì)算，S是四面體O－ABC所成的曲面（如圖4），且設(shè)積分是沿曲面的外側(cè)而取的。

但利用奧氏公式，改變積分路線，使這難求的第二型曲面積分轉(zhuǎn)化為一個(gè)空間區(qū)域上的三重積分，從而化難為易，使計(jì)算簡(jiǎn)捷得多。

五、小結(jié)

經(jīng)驗(yàn)證明，學(xué)生一旦掌握了數(shù)學(xué)思想，便是一個(gè)具有“數(shù)學(xué)頭腦”的人，即使在以后的學(xué)習(xí)和生活中忘記了概念、定理、公式等具體的數(shù)學(xué)知識(shí)，但他們運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法思考問題的能力永遠(yuǎn)存在，他們?cè)诜治鰡栴}、解決問題的各個(gè)環(huán)節(jié)中都打上鮮明的“數(shù)學(xué)烙印”，達(dá)到素質(zhì)人才的最高境界。

[1]張偉平.從基本不等式中談中學(xué)生對(duì)等價(jià)思想的理解[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2009(2).

[2]劉書田.微積分[M].北京：高等教育出版社,2004.

G642.4

A

1673-8535（2012）02-0101-04

蘇芳（1977-），女，廣西藤縣人，梧州學(xué)院數(shù)理系講師，研究生，研究方向：函數(shù)論和微分方程。

覃學(xué)文（1975-），女，廣西橫縣人，梧州學(xué)院數(shù)理系講師，研究生，研究方向：函數(shù)論和微分方程。

（責(zé)任編輯：高 堅(jiān)）

2012-02-24

新世紀(jì)教改工程2010年項(xiàng)目（2010JGA078）