關(guān)于中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)題選編的探究

☉廣東省珠海市斗門(mén)區(qū)六鄉(xiāng)中學(xué) 郭高祥

中考復(fù)習(xí)，時(shí)間緊，容量大，任務(wù)重，如何做到既能全面系統(tǒng)的復(fù)習(xí)，又能提高學(xué)生的綜合能力，要在短期內(nèi)達(dá)到這一目的，采用什么樣的復(fù)習(xí)措施將直接影響到復(fù)習(xí)的效果和學(xué)生最終的中考成績(jī).教師在選編復(fù)習(xí)題時(shí)要抓住課本的一些典型的例題或者是有針對(duì)性的復(fù)習(xí)資料（如往年中考題），進(jìn)行加工，使學(xué)生對(duì)系統(tǒng)的數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行復(fù)習(xí)，形成有效的思維方法，提高靈活運(yùn)用知識(shí)和綜合解決問(wèn)題的能力.

一、選編知識(shí)覆蓋面大的復(fù)習(xí)題鞏固基礎(chǔ)知識(shí)

中考復(fù)習(xí)不應(yīng)是教材知識(shí)的簡(jiǎn)單再現(xiàn)，復(fù)習(xí)題的選編既要考慮知識(shí)的覆蓋面要廣、突出重點(diǎn)，又要有利于強(qiáng)化基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能和基本的數(shù)學(xué)思想方法的綜合應(yīng)用.教師要善于選取各省市中考試題進(jìn)行整合，事實(shí)證明大部分的中考題都是各省市有經(jīng)驗(yàn)的教師精心編制的題目，對(duì)知識(shí)的考查都是全方位的，在復(fù)習(xí)階段對(duì)學(xué)生進(jìn)行有針對(duì)性的訓(xùn)練有利于提高學(xué)生對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的掌握.例如選取某份中考卷的試題的前面三大題重新整合一份課前訓(xùn)練試題，但不宜全盤(pán)照搬，最好是難度不宜太大，照顧學(xué)生的自信心.

例1基礎(chǔ)知識(shí)訓(xùn)練.（以2011年廣東中考題為例）：

3.按下面程序計(jì)算：輸入x=3，則輸出的答案是_______________.

4.如圖1，AB與⊙O相切于點(diǎn)B，AO的延長(zhǎng)線交⊙O于點(diǎn)C.若∠A=40°，則∠C=_____.

圖1

二、選編具有開(kāi)放性的復(fù)習(xí)題培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新能力

開(kāi)放性題型的教學(xué)，在近幾年來(lái)，隨著實(shí)踐的開(kāi)展，它的效用已經(jīng)被廣泛地得到證明，有利于學(xué)生的創(chuàng)新精神的培養(yǎng)和實(shí)踐能力的形成.

例2 如圖2，已知AB∥CD，AC與BD相交于O，試問(wèn)：當(dāng)加上什么條件時(shí)，可以證明該四邊形是一個(gè)平行四邊形？

圖2

分析：聯(lián)系判定一個(gè)四邊形是平行四邊形的條件有：

（1）定義；兩組對(duì)邊分別平行的四邊形.

（2）判定：兩組對(duì)角相等；兩組對(duì)邊相等；

兩條對(duì)角線互相平分；一組對(duì)邊平行且相等.

因此，根據(jù)題目的已知條件可有選擇地添加條件，這樣既復(fù)習(xí)了平行四邊形的有關(guān)知識(shí)又發(fā)散了學(xué)生的思維.本題有許多答案如：①BC∥AD；②AB=CD；③∠A+∠B=180°；④∠C+∠D=180°；⑤OA=OC，OB=OD；⑥∠A=∠C，∠B=∠D；⑦∠BCA=∠DAC等.

三、選編的復(fù)習(xí)題要注重學(xué)生發(fā)散思維和探索問(wèn)題能力的培養(yǎng)

著名數(shù)學(xué)家波利亞說(shuō)過(guò)：“一個(gè)專心認(rèn)真?zhèn)湔n的老師能夠拿出一個(gè)有意義但又不太復(fù)雜的題目，去幫助學(xué)生挖掘問(wèn)題的各個(gè)方面，使得通過(guò)這道題，就好像通過(guò)一道門(mén)戶，把學(xué)生引入一個(gè)完整的理論領(lǐng)域.”教師在教學(xué)中要引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)一題多解，一題多變培養(yǎng)思考問(wèn)題的靈活性、開(kāi)拓性、多向性和創(chuàng)造性.

（1）通過(guò)一題多解培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維能力：思維是能力的核心，觀察是思維的外殼，應(yīng)變是技巧的法寶.一道題目，通過(guò)仔細(xì)觀察分析，理清關(guān)系，從多角度去思考探究，不僅拓展了學(xué)生的思維空間，而且培養(yǎng)了學(xué)生的發(fā)散思維能力.

例3 如圖3，已知多邊形ABDEC是由邊長(zhǎng)為2的等邊三角形ABC和正方形BDEC組成，一圓過(guò)A、D、E三點(diǎn)，求該圓半徑的長(zhǎng).

分析一：根據(jù)多邊形由等邊三角形和正方形組成，可利用它們的性質(zhì)，想到垂徑定理來(lái)求解.

圖3

圖4

解法一：如圖4，作AF⊥BC，垂足為F，并延長(zhǎng)交DE于H點(diǎn).

因?yàn)椤鰽BC為等邊三角形，

所以AF垂直平分BC.

因?yàn)樗倪呅蜝DEC為正方形，

所以AH垂直平分正方形的邊DE.又DE是圓的弦，所以AH必過(guò)圓心.記圓心為O點(diǎn)，并設(shè)⊙O的半徑為r.

所以該圓的半徑長(zhǎng)為2.

分析二：根據(jù)多邊形由等邊三角形和正方形組成，而它們的邊長(zhǎng)相等，可利用平移的性質(zhì)和想象A、D、E三點(diǎn)確定一圓.

解法二：如圖5，將等邊△ABC向下平移得等邊△ODE，其底邊與DE重合.

圖5

因?yàn)锳、B、C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是O、D、E，

所以O(shè)D=AB，OE=AC，AO=BD.

因?yàn)榈冗叀鰽BC和正方形BDEC的邊長(zhǎng)都是2，所以AB=BD=AC=2.

所以O(shè)D=OA=OE=2.

因?yàn)锳、D、E三點(diǎn)不在同一直線上，

所以A、D、E三點(diǎn)確定一圓.

因?yàn)镺到A、D、E三點(diǎn)的距離相等，

所以O(shè)點(diǎn)為圓心，OA為半徑.

所以該圓的半徑長(zhǎng)為2.

分析三：從解法2得到啟示，當(dāng)△ODE是等邊三角形時(shí)OD=DE=2該圓的半徑長(zhǎng)可求.

解法三：如圖6，作出圓心O，并連接OD，OE，AD，AE.

因?yàn)榈冗叀鰽BC和正方形BDEC，

所以∠DBC=90°，∠ABC=∠BAC=60°，AB=BD.

圖6

所以∠ABD=150°，可得∠BAD=15°

同理：可得∠CAE=15°，∠DAE=30°，

∠DOE=2∠DAE=60°.

又因?yàn)镺D=OE，所以△ODE是等邊三角形.所以O(shè)D=DE=2，可得該圓的半徑長(zhǎng)為2.

從上面問(wèn)題的解決中可看出，對(duì)于一個(gè)問(wèn)題，從不同的角度出發(fā)，可以得到不同的解題思路，通過(guò)一題多解，我們學(xué)會(huì)的不僅僅是解題，更重要的是對(duì)概念有了更深刻的理解.

（2）通過(guò)一題多變培養(yǎng)探索問(wèn)題的能力：思維的創(chuàng)造性表現(xiàn)在抓住事物的規(guī)律與本質(zhì)，能夠深入地分析思考問(wèn)題，進(jìn)而把握對(duì)象的本質(zhì).復(fù)習(xí)課中，教師要精心選編課本的典型例題進(jìn)行一題多變，教師要對(duì)數(shù)學(xué)概念、性質(zhì)、判定方法、課本習(xí)題、幾何作圖方法等內(nèi)容通過(guò)整合，啟發(fā)學(xué)生從多角度、多方面、多層次探究，進(jìn)行創(chuàng)造性地學(xué)習(xí).

例4 （人教版八年級(jí)上冊(cè)教材P58第11題）如圖7，△ABD和△AEC都是等邊三角形.求證：BE=DC.

圖7

分析：證明△ABE和△ADC全等，從而得BE=DC.

變化1 如圖7，△ABD和△AEC都是等邊三角形.BE與DC有什么關(guān)系？你能用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)說(shuō)明上述關(guān)系成立的理由嗎？

（人教版九年級(jí)上冊(cè)教材P61第10題）

分析：證明△ABE是由△ADC以A為旋轉(zhuǎn)中心逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到，△ABE和△ADC全等從而得BE=DC.

變化2 如圖8，△ABC和△DEC都是等邊三角形.

△EBC可以看成是△DAC經(jīng)過(guò)平移、軸對(duì)稱或旋轉(zhuǎn)得到的，

說(shuō)明得到△EBC的過(guò)程.（人教版九年級(jí)上冊(cè)教材P75第5題）

分析：解法類同變化1，不再贅述.

圖8

圖9

變化3 如圖9，A、B、C三點(diǎn)在同一直線上，分別以AB、BC為邊，在直線AC的同側(cè)作等邊△ABD和等邊△BCE，連接AE交BD于點(diǎn)M，連接CD交BE于點(diǎn)N，連接MN得三角形試判斷△BMN的形狀，并說(shuō)明理由.

分析：本題中求得BM=BN是解題的關(guān)鍵.首先證明△ABE≌△DBC，可得到能使△ABM≌△DBN的條件，即可求得BM=BN.

根據(jù)∠MBN=60°即可求得△BMN為等邊三角形（解略）.

變化4 （2011年廣東梅州）如圖10，已知線段AB的長(zhǎng)為2a，點(diǎn)P是AB上的動(dòng)點(diǎn)（P不與A，B重合），分別以AP、PB為邊向線段AB的同一側(cè)作正△APC和正△PBD.

（1）當(dāng)△APC與△PBD的面積之和取最小值時(shí)，求AP的值.（直接寫(xiě)結(jié)果）

（2）連接AD、BC，相交于點(diǎn)Q，設(shè)∠AQC=α，那么α的大小是否會(huì)隨點(diǎn)P的移動(dòng)而變化？請(qǐng)說(shuō)明理由.

（3）如圖11，若點(diǎn)P固定，將△PBD繞點(diǎn)P按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)（旋轉(zhuǎn)角小于180°），此時(shí)α的大小是否發(fā)生變化？（只需直接寫(xiě)出你的猜想，不必證明）

分析：本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，以及全等三角形的判定與性質(zhì).正確證明兩個(gè)三角形全等是解題的關(guān)鍵.此題正是來(lái)源于前面的習(xí)題，學(xué)生也會(huì)覺(jué)得很親切.

（1）當(dāng)P是AB的中點(diǎn)時(shí)，兩個(gè)三角形的面積的和最小，可以設(shè)AP的長(zhǎng)是x，然后利用x表示出兩個(gè)三角形的面積的和，利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可求得x的值

當(dāng)x=a時(shí)面積S取最小值.

（2）首先證明△APD≌△CPB，然后根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)即可求解.

（3）旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，由（2）中得兩個(gè)三角形的全等關(guān)系不變，因而角度不會(huì)變化.

解：（1）a.（2）α的大小不會(huì)隨點(diǎn)P的移動(dòng)而變化.

理由：因?yàn)椤鰽PC是等邊三角形，所以PA=PC，∠APC=60°.

因?yàn)椤鰾DP是等邊三角形，所以PB=PD，∠BPD=60°.所以∠APC=∠BPD.

所以∠APD=∠CPB.所以△APD≌△CPB.

所以∠PAD=∠PCB. 因?yàn)椤螿AP+∠QAC+∠ACP=120°，所以∠QCP+∠QAC+∠ACP=120°，所以∠AQC=180°-120°=60°.

（3）此時(shí)α的大小不會(huì)發(fā)生改變，始終等于60°.

從以上對(duì)中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)的選題的探究來(lái)看，通過(guò)教師對(duì)教學(xué)內(nèi)容的精心設(shè)計(jì)和整合，通過(guò)探究選編復(fù)習(xí)題可以在做好中考復(fù)習(xí)的同時(shí)也更好地激活學(xué)生的潛能，體現(xiàn)學(xué)生是學(xué)習(xí)的主人，教師是教學(xué)的組織者、引導(dǎo)者與合作者，實(shí)現(xiàn)不同的學(xué)生有不同的發(fā)現(xiàn)，體現(xiàn)不同的學(xué)生學(xué)習(xí)不同的數(shù)學(xué)，讓每個(gè)學(xué)生在數(shù)學(xué)上都得到不同的發(fā)展，.

1.數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)［S］.北京：北京師范大學(xué)出版社，2001.

2.數(shù)學(xué)（八、九年級(jí)上冊(cè)教材）［M］.北京：人民教育出版社，2009.

3.王麗娟.數(shù)學(xué)課堂審題教學(xué)觀察與思考［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2011（4）.

4.高峰.深度挖掘異彩紛呈——對(duì)一道課本習(xí)題的探究［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2011（11）.