關(guān)于課本一道分式方程練習(xí)的思考

☉廣東省惠州市鐵路學(xué)校 陸 鋼

義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)實驗教科書人教版八年級（下）P32題2解方程求x：

一、分式方程增根的產(chǎn)生原因與檢驗方法

通常分式方程是通過“在方程兩邊同乘各分母的最簡公分母”去掉分母轉(zhuǎn)化為一個整式方程（這里實際是一個一元一次方程）來求解，在這個去分母的過程中，未知數(shù)原來在分式中的取值有限制（不能使分母的值為零），到了整式中它的取值就不再受限制了，這樣就產(chǎn)生了所求出的整式方程的解未必恰好是分式方程的解的問題，這就是增根產(chǎn)生的根本原因.所以解分式方程最后都需要檢驗，這里的檢驗并不是判斷解題過程是否正確，而是要判斷所求的解是否符合要求.

在解分式方程時，當(dāng)我們確信自己的求解過程沒有問題時，我們并不需要代入原方程的左、右兩邊去檢驗（可能更麻煩），我們只要代入最簡公分母（若代入后求出的值恰好為零，說明這個解會使原分式方程的某個分母為零，這樣方程中的那個分式就沒有意義，這個解就是增根，要舍去；若代入最簡公分母后，所求的值不為零，說明這個解能保證方程中各分式有意義，且使方程左、右兩邊的值相等，這個數(shù)才是分式方程真正的解）.

二、分式方程解的情況探討

任何一個一元一次方程，通過去分母、去括號、移項、合并同類項等變形手段都可以化為ax=b的形式.顯然x的值是由a、b來確定的.當(dāng)系數(shù)a≠0時，x有唯一值（即方程只有一個解x=；當(dāng)系數(shù)a=0時，又分兩種情況：1.若b=0，即0x=0，則x可取任何實數(shù)（即方程有無數(shù)多個解）；2.若b≠0，即0x=b，此時x無解.

對于含字母系數(shù)的分式方程，若去分母后轉(zhuǎn)化的是一元一次方程，它們解的關(guān)系為：1.若這個一元一次方程無解，則分式方程也無解；2.若一元一次方程只有一個解，則要進一步判斷這個解會不會使分式方程的分母為零，若使分母為零，則是增根，舍去，這樣分式方程無解了；若不會使分母為零，它就是分式方程的根，此時分式方程只一個解；3.若一元一次方程有無數(shù)個解，則分式方程也有無數(shù)個解（需說明的是這無數(shù)個解中必然存在使分式方程的分母等于零的數(shù)，也就是分式方程的增根，應(yīng)排除）.

三、問題的提出

課本兩道分式方程中的系數(shù)都含有字母，并且題后附加了一定的條件，大多數(shù)學(xué)生在解這兩個方程時，對條件不知道怎么用，甚至假裝“視而不見”.究其深層原因是對分式方程的解缺乏深刻理解，表層原因是只習(xí)慣于模仿性的解題，不會主動分析數(shù)量關(guān)系，缺乏理解、思考的意識與能力.事實上，不僅是學(xué)生，就是許多老師解這種題型也常常丟三落四，漏洞百出.現(xiàn)在我們?nèi)サ纛}后附加條件來探討一下這兩道方程的解的情況：

1.當(dāng)b-1=0時（即b=1時）：

（1）若ab-2a=0（即a=0時），則對于方程②來說x可取任意實數(shù)，即當(dāng)b=1且a=0時，方程②有無數(shù)個解（含x=0），但對于方程①來說，x=0是增根，應(yīng)舍去.即在b=1且a=0的條件下，方程①的解為除0外的任意實數(shù).

（2）若ab-2a≠0（即a≠0）時，方程②無解，這樣方程①也無解.

1.當(dāng)n-m=0時：

（1）若m=0（n=m=0時），方程④有無數(shù)個解（含x=0，x=-1，而這兩個對于方程③來說是增根，應(yīng)舍去），所以當(dāng)n=m=0時，方程③的解為除0和-1外的任意實數(shù)；

（2）若m≠0（即n=m≠0時），方程④無解，則方程③也無解.

從以上兩題的解題過程可看出，保證題1有唯一解的條件是b≠1且a≠0；保證題2有唯一解的條件是n≠m且mn≠0.然而課本在題1所附條件中就缺少了條件a≠0.

四、問題的思考

不少同學(xué)懼怕幾何題的推理論證，因為幾何證明技巧性強，變通性差，事實上代數(shù)推理比幾何推理更難掌握，更可以考查一個人的智力水平，代數(shù)題的解法通常多種多樣，只要有理，殊途同歸.學(xué)生之所以認(rèn)為難，跟這方面題型“出鏡率”低，練得少有一定的關(guān)系，另外跟一些老師本身的專業(yè)素質(zhì)也有關(guān)，有些老師遇到此類問題時，常常回避不講或講不清楚，學(xué)生當(dāng)然就更難學(xué)好了.教師面對類似問題不應(yīng)該回避，應(yīng)該注意通性通法，把道理講清楚，原理講透徹.原理性的東西學(xué)生掌握了，就可以以不變應(yīng)萬變，觸類旁通，舉一反三.

分式方程無解有兩種情況：（1）是去分母后所得整式方程無解；（2）是所得整式方程的解使分式的分母為零，即解為增根）.只有學(xué)生理解了分式方程無解的道理才可能得到準(zhǔn)確答案（a=-2或1），否則就會漏掉答案-2.

數(shù)學(xué)知識其實并不多，知識原理弄懂了，“放之四海而皆準(zhǔn)”，很多頭腦聰明靈活的學(xué)生為什么偏愛數(shù)學(xué)，一個重要原因就是數(shù)學(xué)要記要背的東西少，花的時間少，學(xué)得輕松，容易找到成就感.作為老師，提高數(shù)學(xué)專業(yè)素養(yǎng)，任重而道遠(yuǎn).