求四邊形未知頂點(diǎn)坐標(biāo)例析

☉江蘇省鹽城市高級(jí)職業(yè)學(xué)校初中部 汪榮躍

平行四邊形是初中階段非常重要的幾何圖形，探求平行四邊形未知頂點(diǎn)坐標(biāo)又是近幾年中考的熱點(diǎn)話題，備受命題者的青睞.但許多學(xué)生由于不得其法而一籌莫展.現(xiàn)以近年來(lái)的中考試題為例，介紹一些求平行四邊形未知頂點(diǎn)坐標(biāo)的方法，供大家參考.

一、尋找相等關(guān)系，建立方程模型

例1 如圖1，已知二次函數(shù)圖像的頂點(diǎn)坐標(biāo)為C（1，0），直線y=x+m與該二次函數(shù)的圖像交于A、B兩點(diǎn)，其中A點(diǎn)的坐標(biāo)為（3，4），B點(diǎn)在y軸上.

（1）求m的值及這個(gè)二次函數(shù)的關(guān)系式.

（2）P為線段AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)P與A、B不重合），過(guò)P作x軸的垂線與這個(gè)二次函數(shù)的圖像交于點(diǎn)E，設(shè)線段PE的長(zhǎng)為h，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為x，求h與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出自變量x的取值范圍.

（3）D為直線AB與這個(gè)二次函數(shù)圖像對(duì)稱軸的交點(diǎn)，在線段AB上是否存在一點(diǎn)P，使得四邊形DCEP是平行四邊形？若存在，請(qǐng)求出此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

圖1

解析：（1）由點(diǎn) A（3，4）在直線 y=x+m上得4=3+m，則m=1.由于二次函數(shù)圖像的頂點(diǎn)為C（1，0），因此其函數(shù)關(guān)系式可設(shè)為y=a（x-1）2，由點(diǎn) A（3，4）在拋物線 y=a（x-1）2上得 4=a（3-1）2，則 a=1，所以二次函數(shù)關(guān)系式為 y=（x-1）2，即 y=x2-2x+1.

（2）設(shè) P、E 兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)分別為 yP和 yE，則 yP=x+1，yE=x2-2x+1，所以 PE=h=yP-yE=（x+1）-（x2-2x+1）=-x2+3x.由于點(diǎn) P 是線段 AB 上的動(dòng)點(diǎn)，因此 0＜x＜3.

（3）因?yàn)?PE⊥x軸，DC⊥x軸，所以 PE∥DC.因而要使四邊形DCEP是平行四邊形，只需PE=DC.由xD=1得yD=xD+1=2，則DC=yD=2.根據(jù) PE=DC，PE=-x2+3x，DC=2.可得-x2+3x=2，解得 x1=1，x2=2.當(dāng)x=1時(shí)，PE與DC重合，不符合要求，故舍去；當(dāng)x=2時(shí)，y=x+1=3，所以滿足要求的點(diǎn) P 坐標(biāo)為（2，3）.

點(diǎn)評(píng)：在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，四邊形DCEP始終保持著對(duì)邊PE與DC的平行關(guān)系，但PE的長(zhǎng)度卻隨著P點(diǎn)橫坐標(biāo)x的變化而變化.要使四邊形DCEP是平行四邊形，P點(diǎn)必須運(yùn)動(dòng)到PE=PC的特殊位置，從而為建立關(guān)于P點(diǎn)橫坐標(biāo)x的方程提供了相等關(guān)系.

二、借助平移變換，溝通坐標(biāo)關(guān)系

例 2 如圖 2，點(diǎn) A（m，m+1）、B（m+3，m-1）都在反比例函數(shù)的圖像上.

（1）求 m、k的值.

（2）如果M為x軸上一點(diǎn)，N為y軸上一點(diǎn)，以點(diǎn)A、B、M、N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，試求頂點(diǎn)M、N的坐標(biāo)及直線MN的函數(shù)表達(dá)式.

圖2 圖3 圖4

解析：（1）由點(diǎn) A（m，m+1）、B（m+3，m-1）在反比例函數(shù) y=的圖像上可得，k=m（m+1）且 k=（m+3）（m-1），從而有 m（m+1）=（m+3）（m-1），解得 m＝3.所以 A、B 兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（3，4）、（6，2），且 k＝3×4=12.

（2）由于以點(diǎn)A、B、M、N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，因此線段MN可看做由線段AB平移所得.由于點(diǎn)A平移后的位置可能在x軸上，也可能在y軸上，故存在兩種情況：

①當(dāng)點(diǎn)A平移后的位置在y軸上時(shí)（如圖3），為了能讓點(diǎn)A平移到y(tǒng)軸上，點(diǎn)B平移到x軸上，可以先將線段AB向左平移3個(gè)單位，到達(dá)線段A1B1位置，再向下平移2個(gè)單位，到達(dá)線段 NM 位置，此時(shí) N 點(diǎn)坐標(biāo)為（3-3，4-2），即 N（0，2）；M 點(diǎn)坐標(biāo)為（6-3，2-2），即 M（3，0）.設(shè)直線 MN 的函數(shù)表達(dá)式為 y=k1x+b1，由 M（3，0）、N（0，2）在直線 y=k1x+b1上，得，解得所以直線MN的函數(shù)表達(dá)式為

②當(dāng)點(diǎn)A平移后的位置在x軸上時(shí)（如圖4），為了能讓點(diǎn)B平移到y(tǒng)軸上，點(diǎn)A平移到x軸上，可以先將線段AB向左平移6個(gè)單位，到達(dá)線段A2B2位置，再向下平移4個(gè)單位，到達(dá)線段 MN 位置，此時(shí) M 點(diǎn)坐標(biāo)為（3-6，4-4），即 M（-3，0）；N 點(diǎn)坐標(biāo)為（6-6，2-4），即 N（0，-2）.設(shè)直線 MN 的函數(shù)表達(dá)式為 y=k2x+b2，由 M（-3，0）、N（0，-2）在直線 y=k2x+b2上，得解得

點(diǎn)評(píng)：由于平行四邊形對(duì)邊平行且相等，因此可借助平移變換，溝通平移前后對(duì)應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)之間的關(guān)系.

三、構(gòu)造全等圖形，探求線段關(guān)系

圖5

例3 如圖5，拋物線y=x2-2x-3與x軸交于A、B兩點(diǎn)（A點(diǎn)在B點(diǎn)左側(cè)），直線l與拋物線交于A、C兩點(diǎn)，其中C點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2.

（1）求A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)及直線AC的函數(shù)表達(dá)式.

（2）點(diǎn)G是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，在x軸

上是否存在點(diǎn)F，使A、C、F、G為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？如果存在，求出所有滿足條件的F點(diǎn)坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

解析：（1）把 y=0 代入 y=x2-2x-3，得 x2-2x-3=0，解得 x1=-1，x2=3，所以 A、B 兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為（-1，0）、（3，0）.把 x=2 代入 y=x2-2x-3，得 y=-3，所以 C 點(diǎn)坐標(biāo)為（2，-3）.由 A、C 兩點(diǎn)坐標(biāo)易求得直線AC的函數(shù)表達(dá)式為y=-x-1.

（2）在以A、C、F、G為頂點(diǎn)的平行四邊形中，已經(jīng)確定的線段AC可能是平行四邊形的對(duì)角線；也可能是平行四邊形的邊，此時(shí)AC對(duì)邊GF可能在直線AC上方，也可能在直線AC下方.所以本題可分三種情形討論.

①若AC是平行四邊形的對(duì)角線（如圖5）.此時(shí)AF∥CG，則yG=yC=-3.把 y=-3 代入 y=x2-2x-3，得 x2-2x-3=-3，解得 x1=0，x2=2，所以點(diǎn) G 的坐標(biāo)為（0，-3）.又因?yàn)?AG∥FC，所以線段 CF 可看做線段GA向右平移2個(gè)單位所得.從而由點(diǎn)A的坐標(biāo)（-1，0）可得點(diǎn) F 的坐標(biāo)為（-1+2，0），即 F（1，0）.

②若AC是平行四邊形的邊，且GF在直線AC下方（如圖6）.此時(shí)點(diǎn) G 和①中的 G 重合，即 G（0，-3），且有 AC∥FG.運(yùn)用①中的方法，可得 F（-3，0）.

③若AC是平行四邊形的邊，且GF在直線AC上方（如圖7、圖8）.作CM⊥x軸，GN⊥x軸，垂足分別為點(diǎn)M、點(diǎn)N.由?ACFG得 GF=CA，GF∥CA，所以∠GFA=∠CAF.又因?yàn)椤螦MC=∠FNG=90°，所以△ACM≌△FGN.從而有 GN=CM=3，NF=AM=3.把y=3代入y=x2-2x-3，得x2-2x-3=3，解得由于 NF=3，點(diǎn)F可看做點(diǎn) N向右平移3個(gè)單位所得，因而點(diǎn)F的坐標(biāo)為或所以滿足條件的點(diǎn) F 的坐標(biāo)為（1，0）或（-3，0）或

圖6 圖7 圖8

點(diǎn)評(píng)：本題情形①、②中的平行四邊形都有邊與坐標(biāo)軸垂直，借助平移變換可求出未知頂點(diǎn)坐標(biāo).情形③中的平行四邊形的邊都不與坐標(biāo)軸垂直，此時(shí)可以構(gòu)造兩個(gè)全等的直角三角形（其斜邊為平行四邊形的一組對(duì)邊，直角邊與坐標(biāo)軸垂直），進(jìn)而溝通相關(guān)線段的關(guān)系.