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    學(xué)會逆向運(yùn)用『冪的運(yùn)算性質(zhì)』

    2012-08-28 02:35:24河南省新鄉(xiāng)市第十中學(xué)魏秋菊
    中學(xué)數(shù)學(xué)雜志 2012年12期
    關(guān)鍵詞:乘方底數(shù)式子

    ☉河南省新鄉(xiāng)市第十中學(xué) 魏秋菊

    冪的運(yùn)算有四個性質(zhì),即同底數(shù)冪的乘法性質(zhì)、冪的乘方性質(zhì)、積的乘方性質(zhì)和同底數(shù)冪的除法性質(zhì).它們是整式乘法的基礎(chǔ)和主要依據(jù),四個運(yùn)算性質(zhì)反過來也是成立的,在解題時能正反靈活地運(yùn)用冪的運(yùn)算性質(zhì),會給解題帶來很大的幫助.

    一、同底數(shù)冪的乘法公式的逆向運(yùn)用

    逆用同底數(shù)冪的乘法法則,可以把一個冪分解成兩個(或兩個以上)同底數(shù)冪的積.用式子表示為:am+n=am·an(m,n都是正整數(shù)).其中,拆分所得的(兩個或兩個以上)同底數(shù)冪的底數(shù)與原來冪的底數(shù)相同,指數(shù)之和等于原來冪的指數(shù).

    例1 若5m=x,5n=y,則5m+n+3=_________.

    分析:注意到已知式與未知式之間的底數(shù)是相同的,而指數(shù)存在著和的關(guān)系,于是,逆用法則進(jìn)行計算.

    解 :5m+n+3=5m·5n·53=125xy.

    二、冪的乘方運(yùn)算性質(zhì)的逆向運(yùn)用

    例2 若a=2555,b=3444,c=5333,d=6222,試比較a、b、c的大小.

    分析:只要將這幾個數(shù)化為同指數(shù)或同底數(shù)進(jìn)行比較即可,而各個指數(shù)均是111的倍數(shù).

    解:a=2555=(25)111=32111;

    b=3444=(34)111=81111;

    c=5333=(53)111=125111;

    d=6222=(62)111=36111.因為32<36<81<125,所以a<d<b<c.

    三、積的乘方運(yùn)算性質(zhì)的逆向運(yùn)用

    積的乘方性質(zhì)反過來用式子表示為:an·bn=(ab)n(n是正整數(shù)).要準(zhǔn)確把握式子的特點(diǎn),具備能轉(zhuǎn)化為相同指數(shù)的冪的積的式子能應(yīng)用這一法則,如.靈活地正、反使用本法則可以簡化計算.

    例3 計算(-0.125)2005·82007.

    分析:當(dāng)?shù)讛?shù)間互為倒數(shù)時,通常逆用“積的乘方的運(yùn)算性質(zhì)”,靈活整合,使得它們的指數(shù)相同,使指數(shù)都化為2005,這樣就會使運(yùn)算過程變得簡便,也會使運(yùn)算結(jié)果變得較為簡單.

    四、同底數(shù)冪的除法公式的逆向運(yùn)用

    逆用同底數(shù)冪的除法法則,可以把一個冪分解成兩個(或兩個以上)同底數(shù)冪的商.用式子表示為:am-n=am÷an(m,n都是正整數(shù)).其中,拆分所得的(兩個或兩個以上)同底數(shù)冪的底數(shù)與原來冪的底數(shù)相同,指數(shù)之差等于原來冪的指數(shù).

    例4 已知am=9,an=27,求a3m-2n的值.

    分析:將指數(shù)相減恢復(fù)為冪的除法,將指數(shù)相乘恢復(fù)為冪的乘方.

    解:a3m-2n=a3m÷a2n=(am)3÷(an)2=93÷272=36÷36=1.

    五、冪的運(yùn)算性質(zhì)綜合運(yùn)用

    例5 已知ax=2,ay=5,求a3x-2y的值.

    分析:該題可先將同底數(shù)冪除法性質(zhì)反過來運(yùn)用后得到a3x-2y=a3x÷a2y,這時再將冪的乘方性質(zhì)逆用一次,得到a3x-2y=a3x÷a2y=(ax)3÷(ay)2,再代入已知條件就可求出所求代數(shù)式的值.

    例6 若整數(shù)N=2m×58是一個11位數(shù),試探求m的所有可能取值.

    分析:用一個具體的數(shù)字代入顯然是不可取的,應(yīng)把58設(shè)法轉(zhuǎn)化為108即可.

    解:N=2m×58=2m-8×2m×58=2m-8×2×()

    58=2m-8×108,要使整數(shù)2m-8×108是一個11位數(shù),只要使2m-8是一個三位數(shù)即可,而27,28,29都是三位數(shù),所以m-8的值為7,8,9.所以m的值為15,16,17.

    點(diǎn)評:本題靈活運(yùn)用了積的乘方的逆向運(yùn)用及同底數(shù)冪的乘法的逆向運(yùn)用,使題目化繁為簡,化難為易,收到事半功倍的效果.

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