淺談數(shù)列通項(xiàng)公式的求法

蔣雄偉

各種數(shù)列問題的求解在很多情形下就是對(duì)其通項(xiàng)公式的求解，特別是在一些綜合性比較強(qiáng)的數(shù)列問題中，數(shù)列通項(xiàng)公式的求解往往起著至關(guān)重要的作用.本文給出求解數(shù)列通項(xiàng)公式的幾種常用方法，希望能對(duì)大家有所幫助.

一、 觀察法

已知數(shù)列前若干項(xiàng)，求該數(shù)列的通項(xiàng)時(shí)，一般對(duì)所給的項(xiàng)觀察分析，尋找規(guī)律，從而根據(jù)規(guī)律寫出此數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng).如觀察數(shù)列1，4，9，16，25，…，可知其通項(xiàng)公式為n2.

二、定義法

直接利用等差數(shù)列或等比數(shù)列的定義求通項(xiàng)的方法叫定義法，這種方法適應(yīng)于已知數(shù)列類型的題目.

例1等差數(shù)列{an}是遞增數(shù)列，前n項(xiàng)和為Sn，且a1，a3，a9成等比數(shù)列，S5=a25.求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.

解設(shè)數(shù)列{an}公差為d（d>0）.

∵a1，a3，a9成等比數(shù)列，∴a23=a1a9，

即（a1+2d）2=a1（a1+8d）d2=a1d.

∵d≠0， ∴a1=d.①

∵S5=a25， ∴5a1+5×42·d=（a1+4d）2.②

由①②得：a1=35，d=35，

∴an=35+（n-1）×35=35n.

評(píng)注利用定義法求數(shù)列通項(xiàng)時(shí)要分清數(shù)列所屬類型（是等差數(shù)列還是等比數(shù)列），不要用錯(cuò)定義，先設(shè)法求出首項(xiàng)與公差（公比），然后再寫出通項(xiàng).

三、前n項(xiàng)和法（知Sn求an）

若已知數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn與an的關(guān)系，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)an，可用公式an=S1，

Sn-Sn-1，n=1，

n≥2求解.

例2已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn滿足Sn=2an+（-1）n，n≥1.求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.

解由a1=S1=2a1-1a1=1.

當(dāng)n≥2時(shí)，有an=Sn-Sn-1=2（an-an-1）+2×（-1）n，

∴an=2an-1+2×（-1）n-1 ，

an-1=2an-2+2×（-1）n-2，…，a2=2a1-2.

∴an=2n-1a1+2n-1×（-1）+2n-2×（-1）2+…

+2×（-1）n-1

=2n-1+（-1）n[（-2）n-1+（-2）n-2+…+（-2）]

=2n-1-（-1）n2[1-（-2）n-1]3

=23[2n-2+（-1）n-1].

經(jīng)驗(yàn)證a1=1也滿足上式，所以an=23[2n-2+（-1）n-1]

評(píng)注利用公式an=S1，

Sn-Sn-1，n=1，

n≥2求解時(shí)，要注意對(duì)n分類討論，但若能合寫時(shí)一定要合并.

四、由遞推式求數(shù)列通項(xiàng)法

對(duì)于遞推公式確定的數(shù)列問題，通常可以通過把遞推式變形轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列或等比數(shù)列來求其通項(xiàng)（有時(shí)也用到一些特殊的轉(zhuǎn)化方法與特殊數(shù)列）.

類型1形如an+1-an=f（n）型（累加法）

（1）若f（n）為常數(shù)，即：an+1-an=d，此時(shí)數(shù)列為等差數(shù)列，則an=a1+（n-1）d.

（2）若f（n）為n的函數(shù)時(shí)，用累加法.

例1（1）（2003天津文） 已知數(shù)列{an}滿足a1=1，an=3n-1+an-1（n≥2），證明an=3n-12.

證明由已知得： an-an-1=3n-1，故

an=（an-an-1）+（an-1-an-2）+…+（a2-a1）+a1

=3n-1+3n-2+…+3+1=3n-12.

∴an=3n-12.

（2）已知數(shù)列{an}的首項(xiàng)為1，且an+1=an+2n（n∈N*），寫出數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.答案：n2-n+1

（3）已知數(shù)列{an}滿足a1=3，an=an-1+1n（n-1）（n≥2），求此數(shù)列的通項(xiàng)公式.答案： an=4-1n.

評(píng)注已知a1=a，an+1-an=f（n），其中f（n）可以是關(guān)于n的一次函數(shù)、二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、分式函數(shù)，求通項(xiàng)an.①若f（n）是關(guān)于n的一次函數(shù)，累加后可轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列求和；②若f（n）是關(guān)于n的二次函數(shù)，累加后可分組求和；③若f（n）是關(guān)于n的指數(shù)函數(shù)，累加后可轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求和；④若f（n）是關(guān)于n的分式函數(shù)，累加后可裂項(xiàng)求和.

類型2形如an+1=f（n）an型（累乘法）

把原遞推公式轉(zhuǎn)化為an+1an=f（n），利用累乘法（逐商相乘法）求解.（1）當(dāng)f（n）為常數(shù)，即：an+1an=q （其中q是不為0的常數(shù)），此數(shù)列為等比數(shù)列且an=a1·qn-1.（2）當(dāng)f（n）為n的函數(shù)時(shí)，用累乘法.

例2已知數(shù)列{an}滿足a1=23，an+1=nn+1an，求an.

解由條件知an+1an=nn+1.分別令n=1，2，3，…，（n-1），代入上式得（n-1）個(gè)等式累乘之，即

a2a1·a3a2·a4a3·…·anan-1=12×23×34×…×n-1n

ana1=1n.

又∵a1=23，∴an=23n.

類型3形如an=pan-1ran-1+s（其中p，r，s均為常數(shù)）型（取倒數(shù)法）

例3已知數(shù)列{an}中，a1=2，an=an-12an-1+1（n≥2），求通項(xiàng)公式an.

解取倒數(shù)： 1an=1an-1+21an-1an-1=2.

∴1an=1a1+（n-1）·2=2n-32，∴an=24n-3.

類型4形如an+1=paqn（p>0，an>0）型（取對(duì)數(shù)法）

在原遞推式an+1=paqn兩邊取對(duì)數(shù)，得lgan+1=qlgan+lgp，令bn=lgan得：bn+1=qbn+lgp，化歸為an+1=pan+q型，求出bn之后得an=10bn（注意：底數(shù)不一定要取10，可根據(jù)題意選擇）.

例4在數(shù)列{an}中，a1=2，an=a2n-1（n≥2），求數(shù)列{an}通項(xiàng)公式.

解析∵a1=2，an=a2n-1（n≥2）>0，兩邊同時(shí)取對(duì)數(shù)得，lgan=2lgan-1.

∴l(xiāng)ganlgan-1=2， 根據(jù)等比數(shù)列的定義知，數(shù)列{lgan}是首項(xiàng)為lg2，公比為2的等比數(shù)列，根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式得lgan=2n-1lg2=lg22n-1

∴數(shù)列通項(xiàng)公式為an=22n-1

評(píng)注本例通過兩邊取對(duì)數(shù)，變形成logan=2logan-1形式，構(gòu)造等比數(shù)列{logan}，先求出logan的通項(xiàng)公式，從而求出an的通項(xiàng)公式.

類型5形如an+1=pan+f（n）型（構(gòu)造新的等比數(shù)列法）

（1）若f（n）=kn+b一次函數(shù)（k，b是常數(shù)，且k≠0），則所設(shè)待定系數(shù)的函數(shù)式也用一次函數(shù)式.

例5在數(shù)列{an}中，a1=32，2an=an-1+6n-3，求通項(xiàng)an.

解原遞推式可化為2（an+kn+b）=an-1+k（n-1）+b

比較系數(shù)可得：k=-6，b=9，上式即為2bn=bn-1

所以{bn}是一個(gè)等比數(shù)列，首項(xiàng)b1=a1-6n+9=92，公比為12.

∴bn=92（12）n-1， 即：an-6n+9=9·（12）n，故an=9·（12）n+6n-9.

評(píng)注待定系數(shù)法是構(gòu)造數(shù)列的常用方法.

（2）若f（n）=qn（其中q是常數(shù)，且n≠0，1）

①若p=1時(shí)，即：an+1=an+qn，累加即可

②若p≠1時(shí)，即：an+1=p·an+qn，后面的待定系數(shù)法也用指數(shù)形式.

兩邊同除以qn+1. 即：an+1qn+1=pq·anqn+1q，

令bn=anqn，則可化為bn+1=pq·bn+1q.然后轉(zhuǎn)化為類型5來解.例6 在數(shù)列 中， ，且 .求通項(xiàng)公式 解：由 得 .設(shè) ，則b . 即： ，所以 是首項(xiàng)為 ，公比為 的等比數(shù)列.則 = ，即： ，故 評(píng)注：本題的關(guān)鍵是兩邊同除以3 ，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為類型5，構(gòu)造出新的等比數(shù)列，從而將求一般數(shù)列的通項(xiàng)問題轉(zhuǎn)化為求等比數(shù)列的通項(xiàng)問題.類型6形如 （其中p，q為常數(shù)）型（1）當(dāng)p+q=1時(shí)，用轉(zhuǎn)化法例7數(shù)列 中，若 ，且滿足 ，求 .解：把 變形為 .則數(shù)列 是以 為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列，則 利用類型6的方法可得 .（2）當(dāng) 時(shí)，用待定系數(shù)法.例8已知數(shù)列 滿足 ，且 ，求 .解：令 ，即 ，與已知 比較，則有 ，故 或 由 得， ，則數(shù)列 是以 為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列，故 ，即 ①由 得， ，則數(shù)列 是以 為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，故 ，即 ②由①②可解得 . 評(píng)注：形如 的遞推數(shù)列，我們通常采用特征根的方法求解：設(shè)方程 的二根為 ，設(shè) ，再利用 的值求得p，q的值即可.總之，求數(shù)列通項(xiàng)公式可根據(jù)數(shù)列特點(diǎn)采用以上不同方法求解，對(duì)不能轉(zhuǎn)化為以上方法求解的數(shù)列，可用歸納、猜想、證明方法求出數(shù)列通項(xiàng)公式

在原遞推式an+1=paqn兩邊取對(duì)數(shù)，得lgan+1=qlgan+lgp，令bn=lgan得：bn+1=qbn+lgp，化歸為an+1=pan+q型，求出bn之后得an=10bn（注意：底數(shù)不一定要取10，可根據(jù)題意選擇）.

例4在數(shù)列{an}中，a1=2，an=a2n-1（n≥2），求數(shù)列{an}通項(xiàng)公式.

解析∵a1=2，an=a2n-1（n≥2）>0，兩邊同時(shí)取對(duì)數(shù)得，lgan=2lgan-1.

∴l(xiāng)ganlgan-1=2， 根據(jù)等比數(shù)列的定義知，數(shù)列{lgan}是首項(xiàng)為lg2，公比為2的等比數(shù)列，根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式得lgan=2n-1lg2=lg22n-1

∴數(shù)列通項(xiàng)公式為an=22n-1

評(píng)注本例通過兩邊取對(duì)數(shù)，變形成logan=2logan-1形式，構(gòu)造等比數(shù)列{logan}，先求出logan的通項(xiàng)公式，從而求出an的通項(xiàng)公式.

類型5形如an+1=pan+f（n）型（構(gòu)造新的等比數(shù)列法）

（1）若f（n）=kn+b一次函數(shù)（k，b是常數(shù)，且k≠0），則所設(shè)待定系數(shù)的函數(shù)式也用一次函數(shù)式.

例5在數(shù)列{an}中，a1=32，2an=an-1+6n-3，求通項(xiàng)an.

解原遞推式可化為2（an+kn+b）=an-1+k（n-1）+b

比較系數(shù)可得：k=-6，b=9，上式即為2bn=bn-1

所以{bn}是一個(gè)等比數(shù)列，首項(xiàng)b1=a1-6n+9=92，公比為12.

∴bn=92（12）n-1， 即：an-6n+9=9·（12）n，故an=9·（12）n+6n-9.

評(píng)注待定系數(shù)法是構(gòu)造數(shù)列的常用方法.

（2）若f（n）=qn（其中q是常數(shù)，且n≠0，1）

①若p=1時(shí)，即：an+1=an+qn，累加即可

②若p≠1時(shí)，即：an+1=p·an+qn，后面的待定系數(shù)法也用指數(shù)形式.

兩邊同除以qn+1. 即：an+1qn+1=pq·anqn+1q，

令bn=anqn，則可化為bn+1=pq·bn+1q.然后轉(zhuǎn)化為類型5來解.例6 在數(shù)列 中， ，且 .求通項(xiàng)公式 解：由 得 .設(shè) ，則b . 即： ，所以 是首項(xiàng)為 ，公比為 的等比數(shù)列.則 = ，即： ，故 評(píng)注：本題的關(guān)鍵是兩邊同除以3 ，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為類型5，構(gòu)造出新的等比數(shù)列，從而將求一般數(shù)列的通項(xiàng)問題轉(zhuǎn)化為求等比數(shù)列的通項(xiàng)問題.類型6形如 （其中p，q為常數(shù)）型（1）當(dāng)p+q=1時(shí)，用轉(zhuǎn)化法例7數(shù)列 中，若 ，且滿足 ，求 .解：把 變形為 .則數(shù)列 是以 為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列，則 利用類型6的方法可得 .（2）當(dāng) 時(shí)，用待定系數(shù)法.例8已知數(shù)列 滿足 ，且 ，求 .解：令 ，即 ，與已知 比較，則有 ，故 或 由 得， ，則數(shù)列 是以 為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列，故 ，即 ①由 得， ，則數(shù)列 是以 為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，故 ，即 ②由①②可解得 . 評(píng)注：形如 的遞推數(shù)列，我們通常采用特征根的方法求解：設(shè)方程 的二根為 ，設(shè) ，再利用 的值求得p，q的值即可.總之，求數(shù)列通項(xiàng)公式可根據(jù)數(shù)列特點(diǎn)采用以上不同方法求解，對(duì)不能轉(zhuǎn)化為以上方法求解的數(shù)列，可用歸納、猜想、證明方法求出數(shù)列通項(xiàng)公式

在原遞推式an+1=paqn兩邊取對(duì)數(shù)，得lgan+1=qlgan+lgp，令bn=lgan得：bn+1=qbn+lgp，化歸為an+1=pan+q型，求出bn之后得an=10bn（注意：底數(shù)不一定要取10，可根據(jù)題意選擇）.

例4在數(shù)列{an}中，a1=2，an=a2n-1（n≥2），求數(shù)列{an}通項(xiàng)公式.

解析∵a1=2，an=a2n-1（n≥2）>0，兩邊同時(shí)取對(duì)數(shù)得，lgan=2lgan-1.

∴l(xiāng)ganlgan-1=2， 根據(jù)等比數(shù)列的定義知，數(shù)列{lgan}是首項(xiàng)為lg2，公比為2的等比數(shù)列，根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式得lgan=2n-1lg2=lg22n-1

∴數(shù)列通項(xiàng)公式為an=22n-1

評(píng)注本例通過兩邊取對(duì)數(shù)，變形成logan=2logan-1形式，構(gòu)造等比數(shù)列{logan}，先求出logan的通項(xiàng)公式，從而求出an的通項(xiàng)公式.

類型5形如an+1=pan+f（n）型（構(gòu)造新的等比數(shù)列法）

（1）若f（n）=kn+b一次函數(shù)（k，b是常數(shù)，且k≠0），則所設(shè)待定系數(shù)的函數(shù)式也用一次函數(shù)式.

例5在數(shù)列{an}中，a1=32，2an=an-1+6n-3，求通項(xiàng)an.

解原遞推式可化為2（an+kn+b）=an-1+k（n-1）+b

比較系數(shù)可得：k=-6，b=9，上式即為2bn=bn-1

所以{bn}是一個(gè)等比數(shù)列，首項(xiàng)b1=a1-6n+9=92，公比為12.

∴bn=92（12）n-1， 即：an-6n+9=9·（12）n，故an=9·（12）n+6n-9.

評(píng)注待定系數(shù)法是構(gòu)造數(shù)列的常用方法.

（2）若f（n）=qn（其中q是常數(shù)，且n≠0，1）

①若p=1時(shí)，即：an+1=an+qn，累加即可

②若p≠1時(shí)，即：an+1=p·an+qn，后面的待定系數(shù)法也用指數(shù)形式.

兩邊同除以qn+1. 即：an+1qn+1=pq·anqn+1q，

令bn=anqn，則可化為bn+1=pq·bn+1q.然后轉(zhuǎn)化為類型5來解.例6 在數(shù)列 中， ，且 .求通項(xiàng)公式 解：由 得 .設(shè) ，則b . 即： ，所以 是首項(xiàng)為 ，公比為 的等比數(shù)列.則 = ，即： ，故 評(píng)注：本題的關(guān)鍵是兩邊同除以3 ，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為類型5，構(gòu)造出新的等比數(shù)列，從而將求一般數(shù)列的通項(xiàng)問題轉(zhuǎn)化為求等比數(shù)列的通項(xiàng)問題.類型6形如 （其中p，q為常數(shù)）型（1）當(dāng)p+q=1時(shí)，用轉(zhuǎn)化法例7數(shù)列 中，若 ，且滿足 ，求 .解：把 變形為 .則數(shù)列 是以 為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列，則 利用類型6的方法可得 .（2）當(dāng) 時(shí)，用待定系數(shù)法.例8已知數(shù)列 滿足 ，且 ，求 .解：令 ，即 ，與已知 比較，則有 ，故 或 由 得， ，則數(shù)列 是以 為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列，故 ，即 ①由 得， ，則數(shù)列 是以 為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，故 ，即 ②由①②可解得 . 評(píng)注：形如 的遞推數(shù)列，我們通常采用特征根的方法求解：設(shè)方程 的二根為 ，設(shè) ，再利用 的值求得p，q的值即可.總之，求數(shù)列通項(xiàng)公式可根據(jù)數(shù)列特點(diǎn)采用以上不同方法求解，對(duì)不能轉(zhuǎn)化為以上方法求解的數(shù)列，可用歸納、猜想、證明方法求出數(shù)列通項(xiàng)公式