從“雞兔同籠”說(shuō)開(kāi)去
——淺談數(shù)學(xué)思想方法的培養(yǎng)

◆楊建忠

(浙江省云和縣古坊小學(xué))

從“雞兔同籠”說(shuō)開(kāi)去
——淺談數(shù)學(xué)思想方法的培養(yǎng)

◆楊建忠

(浙江省云和縣古坊小學(xué))

在我們的數(shù)學(xué)教學(xué)中，我們通過(guò)數(shù)學(xué)教學(xué)培養(yǎng)學(xué)生有效地分析、判斷事物的能力，對(duì)學(xué)生進(jìn)行思維上的訓(xùn)練，從而促進(jìn)學(xué)生更好地學(xué)習(xí)、生活。說(shuō)到底是對(duì)學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)的思想方法的培養(yǎng)與滲透。但是，數(shù)學(xué)思想方法對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)太過(guò)抽象，于是我們便借助解決問(wèn)題這一載體，在生活情景中、在數(shù)學(xué)問(wèn)題的提煉中，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維、能力，從而滲透數(shù)學(xué)的思想方法。數(shù)學(xué)的思想方法習(xí)得后，我們還要指導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)的思想方法，去解決生活中的各種問(wèn)題，也就是《新課程》中說(shuō)的:從生活中來(lái)，到生活中去。對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)，課堂上習(xí)得的數(shù)學(xué)技能，明白的規(guī)律只是一時(shí)的，只有等他們學(xué)會(huì)了數(shù)學(xué)的思想方法，并運(yùn)用數(shù)學(xué)的思想方法解決生活中的實(shí)際問(wèn)題，學(xué)生的受益才是終身的。

那么在我們的教學(xué)中，如何在“解決問(wèn)題”中去滲透數(shù)學(xué)的思想方法，培養(yǎng)、提升學(xué)生的思維能力呢?

總結(jié)自己多年從事小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的經(jīng)驗(yàn)，我認(rèn)為可以嘗試分三個(gè)步驟來(lái)達(dá)成目標(biāo)。第一步:方法解讀。第二步:形成策略。第三步:建模運(yùn)用。戲稱(chēng)為解決問(wèn)題“三步曲”。

之前教學(xué)過(guò)《雞兔同籠》，印象頗深。它其實(shí)就是滲透一種在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)、研究問(wèn)題上都很重要的數(shù)學(xué)思想方法——解決問(wèn)題從簡(jiǎn)單入手的化歸思想，同時(shí)還涉及假設(shè)思想方法、數(shù)形結(jié)合思想方法等。教學(xué)中是把“雞兔同籠”作為滲透數(shù)學(xué)思想方法的一個(gè)學(xué)習(xí)載體，借助這個(gè)載體，去發(fā)展學(xué)生的思維，提高學(xué)生的能力?，F(xiàn)以此為例，淺談數(shù)學(xué)思想方法培養(yǎng)的“三步曲”。

第一步:方法解讀

當(dāng)把問(wèn)題情境拋給學(xué)生后，由于他們學(xué)習(xí)層次的差異，對(duì)它的解答不同的學(xué)生有不同的方法。老師要做的就是耐心一點(diǎn)，靜靜的等待一下，使學(xué)生在認(rèn)真思考的基礎(chǔ)上，在自主探索中發(fā)現(xiàn)多種解題方法。然后再引導(dǎo)學(xué)生對(duì)不同方法進(jìn)行解讀，進(jìn)而在解讀中溝通方法與方法之間的聯(lián)系。

片段一:

生1作品:假設(shè)兔有10只4×10=40(只)40—32=8(只)

雞:8÷2=4(只) 兔:10—4=6(只)

生:把10只都當(dāng)作兔，共有4×10=40(只)腳，多算了40—32=8(只)

師:“8只”是什么意思?

生:是全當(dāng)作兔后比32只腳多了8只腳。從兔子每次去2只腳，8÷2=4(只)是雞。

師:每次去幾只?

生:2只。

師:為什么是“2只”?

生:(4—2)=2只，雞比兔少2只腳?！?/p>

生2作品:

生:還有一種方法，調(diào)整頭的，全部看成雞，把一只兔子看成兩只雞，那么有16 個(gè)頭，比實(shí)際多了6 只，32 ÷2=16(個(gè))，16—10=6(個(gè))，10—6=4(只)

師:誰(shuí)看明白他的意思了?

生:32÷2=16(個(gè))，如果把一只兔當(dāng)成2只雞，那么全是雞，有16只，總共只有10只，10—6=4(只)是兔，4只是雞。

在課堂上學(xué)生出現(xiàn)的解題方法可能是多種多樣的，要體現(xiàn)這些不同思考方法的價(jià)值，我認(rèn)為引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行到位的解讀是很重要的。我們知道學(xué)生的思維參與度直接影響著數(shù)學(xué)交流的質(zhì)量，如果他們的思維沒(méi)有激活，就很難有高質(zhì)量的交流。如果沒(méi)有合理的引導(dǎo)與解讀，那么學(xué)生之間的數(shù)學(xué)交流就只是膚淺的“說(shuō)話”，實(shí)質(zhì)上沒(méi)有達(dá)到信息交流并引起學(xué)生思維碰撞的效果。

只有在對(duì)方法進(jìn)行比較深入的解讀中，引導(dǎo)學(xué)生交流、思考，在傾聽(tīng)中關(guān)注別人發(fā)言的錯(cuò)誤或是不嚴(yán)密的地方，再進(jìn)行自己的補(bǔ)充或質(zhì)疑，這樣，才能真正通過(guò)對(duì)話，把交流引向深入，引發(fā)更深層次的思維碰撞。

第二步:形成策略

新課程下的“解決問(wèn)題”教學(xué)注重?cái)?shù)學(xué)思考，關(guān)注解決問(wèn)題的方法和策略的形成，使學(xué)生學(xué)會(huì)用多種方法收集和處理問(wèn)題情境的信息，學(xué)會(huì)從問(wèn)題中發(fā)現(xiàn)隱含的數(shù)量關(guān)系，學(xué)會(huì)從多角度思考問(wèn)題，使“用數(shù)學(xué)的方法和策略思考問(wèn)題”逐步成為學(xué)生思維方式的重要組成部分。

片段二:

師:剛才我們用了哪些方法?

生:方程解、假設(shè)法、列舉、畫(huà)圖。

師:不論是畫(huà)圖、列舉，還是假設(shè)法、方程，但關(guān)鍵一點(diǎn)都是通的，都用了什么思想?

生:假設(shè)。

師:是啊，都用到了假設(shè)，所以“雞兔同籠”也被稱(chēng)為“假設(shè)問(wèn)題”。其實(shí)，《孫子算經(jīng)》的原題是這樣的。(“一十頭”改為“三十五頭”，“三十二足”改為“九十四足”)

師:現(xiàn)在你能解答嗎?(能)一般會(huì)用什么方法?

生:假設(shè)法。

在比較細(xì)致的方法解讀基礎(chǔ)上，再引導(dǎo)學(xué)生來(lái)分析、辨別，對(duì)此類(lèi)題的基本方法也有了一個(gè)感性的認(rèn)知，才更能凸顯思維的品質(zhì)，才能對(duì)學(xué)生更有效果。因?yàn)椋暗乃伎?，已?jīng)對(duì)他形成最后的策略奠定了一定的基礎(chǔ)。如果是在沒(méi)有思考的基礎(chǔ)上，沒(méi)有溝通與解讀，只是簡(jiǎn)單接受或是附和了別人的觀點(diǎn)，在這樣的狀態(tài)下，學(xué)生的思維廣度、深度都是跟不上的，更談不上有更多新的想法或是不同意見(jiàn)了。

所以，當(dāng)學(xué)生在交流中形成多種觀點(diǎn)時(shí)，教師要引導(dǎo)他們進(jìn)行梳理、辨析、溝通，當(dāng)他們的觀點(diǎn)漸趨一致時(shí)，可以引導(dǎo)學(xué)生把交流中得到的成果提升到一般方法的層面，引導(dǎo)他們探究解決問(wèn)題的策略，不斷提升他們的學(xué)習(xí)能力。

第三步:建模運(yùn)用

建立模型是指人們?cè)谝詳?shù)學(xué)方式研究具體問(wèn)題時(shí)，通過(guò)一系列的思維活動(dòng)來(lái)探究、挖掘具體事物的本質(zhì)與關(guān)系，最終以符號(hào)、模型等方式將其中的規(guī)律揭示出來(lái)，使復(fù)雜的問(wèn)題本質(zhì)化、一般化，讓同類(lèi)問(wèn)題的解決有了共同的程序與方法。

在知識(shí)競(jìng)賽中，有10道題，每答對(duì)一題得2分，答錯(cuò)一題要倒扣一分。小明同學(xué)雖然答了全部的題目，但最后只得了14分，請(qǐng)問(wèn)，他答錯(cuò)了幾題?

松鼠媽媽采松子，晴天每天可以采20個(gè)，雨天每天只能采12個(gè)，它一連幾天采了112個(gè)松子，平均每天是14個(gè)。問(wèn):這幾天中有幾天是雨天?

現(xiàn)在的數(shù)學(xué)教學(xué)不再是以往的以點(diǎn)為中心，不是一個(gè)個(gè)分散的知識(shí)點(diǎn)，所以在教學(xué)中我們應(yīng)該更注重使知識(shí)點(diǎn)成線成面， 以模型的形式呈現(xiàn)，并使學(xué)生在具體問(wèn)題中能運(yùn)用習(xí)得的方法、策略解決問(wèn)題。

練習(xí)設(shè)計(jì)從古至今、從書(shū)本到生活的概括，使學(xué)生對(duì)于類(lèi)似的題型有個(gè)比較深入的了解，對(duì)于解決此類(lèi)問(wèn)題的策略也有了一定把握。在“解決問(wèn)題”的教學(xué)中，對(duì)這樣一個(gè)建模的過(guò)程，實(shí)質(zhì)就是引導(dǎo)學(xué)生透過(guò)現(xiàn)象看本質(zhì)。在這個(gè)過(guò)程中，學(xué)生經(jīng)歷了思維由淺入深的過(guò)程。而建立了數(shù)學(xué)模型，學(xué)生也就形成了屬于自己的數(shù)學(xué)思維和能力，從而能自主、熟練、有效地解決相應(yīng)問(wèn)題。

因此，在“解決問(wèn)題”的教學(xué)中，我們不能再單純地為教而教，而要試著從更全面、更立體的角度上來(lái)分析、思考。通過(guò)對(duì)方法的解讀、一般策略的形成、模型的建立運(yùn)用“三步曲”，關(guān)注學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中真正發(fā)現(xiàn)了什么、獲得了什么、形成了什么，在具體的情境中是否能比較合理地選擇方法來(lái)解決問(wèn)題。

總之一句話:小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)自始至終對(duì)學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)的思想方法滲透，提高學(xué)生的思維水平，這才是最重要的。